LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong số các phép biến đổi afin như phép quay, phép tịnh tiến, phép thấu xạ…thì
phép vị tự củng là một phép biến đổi với nhiều ứng dụng quan trọng đặc biệt trong
việc giải các bài toán sơ cấp. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu về phép vị tự
và ứng dụng của nó nhawmf giúp người đọc hiểu rõ hơn về phép vị ttuwj và ứng
dụng của nó để giải các bài tooans hình học sơ cấp như tìm quỹ tích điểm, dựng
hình, tìm tâm và tỉ số vị tự…Chúng tôi hi vọng bài tập lớn này sẽ giúp bạn đọc có
thêm tài liệu để hiểu rõ hơn ề phép vị tự.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu sâu hơn về phép vị tự củng như các tính chất và ứng dụng của nó trrong
việc giải các bài toán hình học sơ cấp, đồng thời trang bị thêm kiến thức để phục vụ
cho việc học tập hiện hiện tại và công tác giảng dạy sau này của bản thân
3. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu tài liệu
4. Gỉa thuyết khoa học
Nếu lĩnh hội tốt các kiến thức trong đề tài thì kết quả học tập môn hình học afin
và hình học oclit sẽ tốt hơn đồng thơi giải quyết nhanh các bài toán sơ cấp về phép
vị tự.
5. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là “Phép vị tự và ứng dụng giải toán sơ cấp”
Chương I: Cơ sở lý thuyết
Trong chương này chúng tôi trình bày một cách khái quát về định nghĩa, tính
chất của phép biến đổi afin củng như của phép vị tự trong không gian afin.
Chương II: Ứng dụng giải toán sơ cấp
Các ứng dụng này tập trung vào giải các bài toán về tâm và tỉ số vị tự, quỹ tích của
bài toán qua phép vị tự, dựng hình qua phép vị tự hay chứng minh một biến đổi afin
là một phép vị tự.
Với nội dung đó chúng tôi hy vọng đề tài là tài liệu tham khảo tốt đối với các
bạn sinh viên khoa sư phạm tự nhiên của trường đại học Hà Tĩnh và các bạn say mê
học toán.

Phép đẳng cấu afin f: A � A từ không gian afin A lên chính nó được gọi là
một biến đổi afin, hay cho gọn là phép afin.
2. Phép vị tự trong không gian afin
2.1. Định nghĩa phép vị tự
Trong không gian afin A cho điểm O�A và số k�K \  0 . xét ánh xạ f:A � A biến
uuur uuuu
r
mỗi điểm M thành điểm N sao cho ON =k OM . Phép f như thế goi là phép vị tự tâm
O tỉ số k.
2.2. Tính chất
a) Phépr vị tự tâm O tỉ số k; f: A � A là một biến đổi afin với ánh xạ tuyến tính liên
kết là f  kId Aur
Thật vậy với mọi điểm M, N �A
uuuu
r
uuuu
r
uuur uuuu
r
uuur
uuuu
r uuuu
r uuuur uuuuur
u
r
f MN  kId A MN  k ON  OM  kON  kOM  ON'  OM'  M ' N'
r
Ngược lại, nếu f là phép biến đổi afin của A có ánh xạ tuyến tính liên kết là f  kId Aur
, k �0, 1..thì f là phép vị tự tỉ số k. Thật vậy, f có điểm bất động O và lấy I�A. Xét


1r k
r uur uuuuuuuu
uur
OI )  f (OI)  f (O)f (I) nên suy ra O = f(O). Khi đó với mọi điểm M�A,
uuuuuuu
r uuuuuuuuuur r uuuu
r
uuuu
r
uuuu
r
Of (M)  f (O)f (M)  f (OM)  kId Aur (OM)  kOM



Tức f là phép vị tự tâm O tỉ số k.
b) Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M’ và N’
uuuuur
uuuu
r
thì : M ' N '  kMN và M ' N '  k MN .
Chứng minh:
uuuur
uuuu
r uuuu
r
uuur
Nếu O là tâm của phép vị tự thì theo định nghĩa ta có OM '  kOM , ON '  kON .
uuuuur uuuu
r uuuur

rA, B, C lần lượt thành
b,ta có B'A'  kBA,B'C'  kBC
uuuuu
r
uuur
uuu
r
uuuur
Từ đó suy ra B'A '  kBA  k mBC  mB'C' ,tức là 3 điểm A ',B',C' thẳng hàng
với B' nằm giữa A ' và C' (đpcm).
d) Phép vị tự tỉ số k biến đường thẳng thành đường thẳng song song (hoặc trùng)
với đường thẳng đó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài
được nhân lên với k , biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là
k , biến góc thành góc bằng nó.
e) Phép vị tự tỉ số k biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính là
k R.
Nếu có phép vị tự tâm O biến đường tròn này thành đường tròn kia thì O được gọi là
tâm vị tự của 2 đường tròn đó .
Nếu phép vị tự đó có tỉ số dương thì điểm O gọi là tâm vị tự ngoài, nếu phép vị tự đó
có tỉ số âm thì điểm O gọi là tâm vị tự trong.
f) Đặc biệt, nếu phép vị tự có tỉ số k=1 thì đó là phép đồng nhất, nếu k=-1 thì đó là
phép đối xứng.





CHƯƠNG II. ỨNG DỤNG CỦA PHÉP VỊ TỰ
TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP
3


O

(Trên hình vẽ bên , phép vị tự V1 tâm I biến điểm M thành M’, phép vị tự V2 tâm I
biến M thành M’’)
TH2: I không trùng với I’ nhưng R = R’
Khi đó k= �1, điểm O phải thõa mãn điều
kiện
uuu
r
uur
OI'  kOI nên k chỉ có thể bằng -1 và O
là trung điểm của đoạn thẳng II’
Vậy trong tường hợp này chỉ có một phép
vị tự tâm O tỉ số k=-1

M'
I

O

I'

M

TH3: I không trùng với I’ và R �R’
M''
M
O'
O

O1

O3
I

O2

uuur
uuuuur
�
Nếu k1,k2 1 ta chọn điểm O3 sao cho O3I = k1k2 O3O1
uuuuuu
r uuur uuuu
r
uuuuu
r
uuuur
uuuuu
r
Khi đó, O3M2 = O3M 2  O3I  IM 2  k1k 2 O3O1  k1k 2 O1M  k1k 2 O3M
Vậy F là phép vị tự tâm O3 tỉ số k1k2.
Chú
tâm
uuur ý rằnguu
uur O3 của phép vị tự đó được xác định bởi đẳng thức:
O3I  k1k 2 O3I1
uuuuur uuuuur uuur
uuuuur
Hay O3O1  O1O 2  O2 I  k1k 2 O3O1
Suy ra:

uuuu
r
uuuu
r
1 uuur
1 uuur
GC'   GC , GD'   GD
3
3
1
Suy ra phép vị tự V tâm G tỉ số k =  biến
3
các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm
A’, B’, C’, D’

A

C'
D'

j

B'

G

D

B
A'


O'

G

O


uur 1 uur
IG = IA
3
1
biến điểm A thành điểm G.
3
Từ đó suy ra khi A chạy trên (O,R) thì quỹ tích G là ảnh của đường tròn đó qua phép
vị tự V.
uuu
r 1 uur
1
Tức là đường tròn (O’,R’) mà IO'  OI và R '  R
3
3
Như vậy phép vị tự V tâm I tỉ số k =

Bài 2: Cho (O, R) và I cố định �0. M thay đổi trên (O). Tia phân giác của góc
� cắt IM tại N. Tìm quỹ tích N
MOI
Giải:
M
N

IN 
IM. Nếu gọi V là phép vị
dR
d
tự tâm I tỉ số k=
thì V biến điểm
dR
M thành điểm N. Khi M ở vị trí M 0
A

7

C

O
C'


� = 0o thì tia phân giác của góc IOM
�
trên đường tròn (O, R) sao cho IOM
0
0 không cắt
IM. Điểm N không tồn tại. Vậy thì M chạy trên (O, R) (M �M 0 ) thì quỹ tích điểm N
là ảnh của (O,R) qua phép vị tự V bỏ đi ảnh của điểm M 0 .
Bài 3: Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm trong đường tròn đó. Một đường
thẳng
uuur thay
uuu
r đổi

đường tròn đó. Dựng hình vuông ABCD. Tìm quỹ tích điểm B và điểm D
G
Trên đoạn thẳng AC lấy điểm M sao cho

B

AM=AB=AD
AM AB
2


AC AC 2
Ngoài ra (AM, AB)=45 0 và (AM, AD)=-45 0
2
Suy ra phép vị tự V tâm A tỉ số k 
biến
2
điểm C thành điểm M và phép quay Q tâm A
góc quay 45 0 biến điểm M thành điểm B. Vậy
nếu gọi I là phép hợp thành của V và Q thì F biến C
thành B.
Khi đó ta có:

8

A

O
C


M là một điểm thay đổi trên d, từ M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP đến đường tròn
(O). AN và AP lần lượt cắt (O’) tại N’ và P’. Chứng minh rằng N’P’ đi qua một điểm
cố định.
2.3. Bài toán dựng hình
Phương pháp:
Bước 1: Phân tích
Bước 2: Dựng hình
Bước 3: Chứng minh
Bước 4: Biện luận
Bài 1: Cho đường tròn (O) với dây cung PQ. Dừng hình vuông ABCD có hai đỉnh
A, B nằm trên đường thẳng PQ và hai đỉnh C, D nằm trên đương tròn.
Giải:

9


N

+) Phân tích :
Giả sử đã dựng được hình vuôngABCD thỏa mãn
D
C
điều kiện của bài toán
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng PQ thì OI là
đường trung trực của AB.
Từ đó suy ra, nếu dựng hình vuông PQMN thì có
O
phép vị tự tâm I biến hình vuông PQMN thành hình
vuông ABCD.
B'

Vì
uuurM làutrung
uuu
r điểm AN nên
AN  2AM
Vậy phép vị tự tâm A tỉ số k=2
biến điểm M thành điểm N

A

O'

O

M

B
N

10

O''


Khi đó ta có phép vị tự tâm A tỉ số k=2 biến (O) thành (O”) và (O”) phải đi qua N.
Vậy N là giao điểm của (O’) và (O”)
+) Cách dựng:
Dựng (O”) là ảnh của (O) qua phép vị tự tâm A tỉ số k=2
Gọi N là giao điểm của (O’) và (O”), N �A
Kẻ AN cắt (O) tại M

OA

+) Cách dựng:
Dựng đường tròn tùy ý (I1 ,R1 ) tiếp xúc với 2 cạnh của góc xOy
Gọi A1 là 1 trong hai giao điểm của đường thẳng OA và đường tròn (I1 ,R1 ) . Dựng
ảnh (I, R) của đường tròn (I1 ,R1 ) qua phép vị tự tâm O tỉ số k=OA:O A1
Đường tròn cần dựng chính là (I, R)
+) Biện luận:
Như vậy từ sự phân tích trên và cách dựng ta thấy bài toán có 2 nghiệm hình
* Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A. Dựng qua A 1 đường thẳng cắt
(O) và (O’) lần lượt tại B và C sao cho AB=kAC (k là số dương cho trước).

11


Bài 2: Dựng tam giác ABC biết góc A bằng  , tỉ số

AB
 k và chu vi tam giác
AC

bằng m
Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC. Dựng hình vuông MNPQ có 2 điểm M, N nằm trên
cạnh BC, hai đỉnh còn lại nằm trên 2 cạnh AB và AC
1.1.

Chứng minh một phép biến đổi afin là phép vị tự

Bài 1: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ không bằng nhau nhưng có các cạnh tương

Bài 2: Chứng mình rằng nếu phép afin f biến đường thẳng a thành đường thẳng
a’ song song hoặc trùng với a thì f là phép tịnh tiến hoặc phép vị tự.
Giải: r
Giả sử f là phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép afin f, ta chứng mình rằng
r
r
r r
tồn tại một số k sao cho với mọi véctơ u bất kì ta đều có f ( u )=k. u
r
uuuu
r r
Thật vậy, với vectơ u bất kì ta lấy hai điểm M, N sao cho MN  u , nếu gọi
uuuuur ur
r
r r ur
M’=f(M) và N’=f(N) và M ' N ' = u ' thì theo định nghĩa của f ta có f ( u )= u ' . Nhưng
vì f biến đườngr thẳng
MN
r
ur thành đường thằng M’N’ nên theo giả thiết MN song song
M’N’ bởi vậy f ( u )=k u '
r
r
r r
Tương tự như vậy, đối với vectơ v , ta cũng có f ( v )=k’ v
12


ur r r
r

r
r
r r
r
r
r
f (z)  kz và vì z cũng không cộng tuyến với v nên f (v)  kv
uuuu
r uuuuur
+) Nếu k=1 thì với mọi điểm M, N và ảnh của chúng M’, N’ ta có MN  M ' N ' ,
uuuuu
r uuuur
vậy MM '  NN '
uuuuu
r r
Vậy f là phép tịnh tiến theo vec tơ MM '  v
+) Nếu k �1 (k �0) thì với mọi cặp điểm M, N và ảnh của chúng, ta có
uuuuur
uuuu
r
. Suy ra hai đường thẳng MM’ và NN’ cắt nhau tại O và
M
'
N
'

kMN
uuuur
uuuu
r uuuu

uuunhau
uur thì : uuuur
uuuuu
r
O 2M ''  kO2 M ''  k 2 O1M '  k1k 2 O1M  k 2k1 O 2M
Vậy f là phép vị tự tâm O2 tỉ số k1k2 .
+) Nếu O1 không trùng với O2 : Ta hãy tìm điểm bất động của f, tức là điểm I sao
cho
Vuu
2 biến I’ thành I , hay là :
uuur V1 biến
uuu
r I thành
uuurI’ thì u
u
r
O1I'  k1 O1I và O 2I  k 2 O�
I
2 '
13


Từuđó
uursuy rauu:uu
r
uuu
r uuur
k 2 O1I'  k 2 O 2 I'  k1k 2 O1I  O 2I
uuuuur
uuu

uuuuuu
r
  k1 O1M  k1 O1O 2  k1 O 2M ''
uuuuur
uuuuur
uuuur
 O1M '  k1 O1O 2  k1k 2 OM '
uuuuur
uuuuur uuuuur
 O1M '  k1 O1O 2  O 2 M '
uuuuur
= (k1  1)O1O2
Ta suy ra :
uuuuur k  1 uuuuur r
MM ''  1 O1O 2  v không đổi
k1
r
Như vậy trong trường hợp này f là phép tịnh tiến theo vecto v .
Nếu k1k 2 �1 , ta có duy nhất một điểm I thỏa mãn điều kiện () .
Ta chứng minh rằng trong trường hợp này f là phép vị tự tâm I tỉ số k1k2.
Ta vẫn kí hiệu M, M’, M’’ như trên , ta có:

14


uuuu
r uuuuur uuu
r
IM ''  O1M ''  O1I
uuuuur uuuuuu

r
uuu
r
Do đẳng thức () ta suy ra IM ''  k1k 2 IM
Vậy f là phép vị tự tân I tỉ số k1k2.
r
b) Giả sử T là phép tịnh tiến theo vecto v , V là phép vị tự tâm O tỉ số k.
ta hãy xét tích : V0T
Nếu k = 1 thì V là phép đồng nhất nên V0T = T
Trong trường hợp k �1 ta chứng minh rằng tích V0T luôn có điểm bất động duy
nhất. Thật vậy, nếu I là điểm bất động thì:uu
r r
I = V0T(I) = V(I’), trong đó I’ = T(I), tức II'  v . e
uur
uuu
r
uur uu
r
uur r
Như vậy, OI  kOI'  k(OI  II')  k(OI  v)
uur
r
Từ đó suy ra : OI(1  k)  kv
uur
r
()
OI(1  k)  kv
Điểm bất động I hoàn toàn được xác định bởi đẳng thức (  )
Bây
M

* Bài tập tương tự

15


Bài 1: Chứng minh rằng tích của một phép đồng dạng nghịch với chính nó là một
phép vị tự hoặc tịnh tiến.
Bài 2: Cho phép afin f của không gian afin A n ( n 2 ), biết rằng f biến đổi đường
thẳng của A n thành đường thẳng song song với nó. Chứng minh rằng f là phép tịnh
tiến hoặc là phép vị tự.
r r
Bài 3 : Cho phép vị tự V tâm O, tỉ số K �1 và phép tịnh tiến T theo vecto v �0
.Gọi f là phép hợp thành của V và T. điểm I được xác định sao cho f biến I thành
chính nó. Chứng minh rằng f là phép vị tự tâm I tỉ số k.

16


KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Phép biến hình nói chung và phép vị tự nói riêng có nhiều là một phép
biến hình có nhiều ứng dụng trong cuộc sống củng như trong tính toán.
Chúng tôi đã khai thác phép vị tự trong việc ứng dụng nó để giải các bài
toán sơ cấp như dựng hình, tìm quỹ tích của điểm củng như các vấn đề liên
quan đến phép vị tự như tìm tâm và tỉ số vị tự và chứng minh một phép
biến đổi là một phép vị tự. Qua thời gian nghiên cứu, tìm hiểu về phép vị
tự chúng tôi nhận thấy rằng phép vị tự là một phép biến đổi afin và việc
nghiên cứu về phép vị tự là rất cần thiết, nó giúp chúng tôi hiểu sâu hơn về
phép biến đổi afin và có them tài liệu để phục vụ cho công tác giảng dạy
sau này. Hy vọng đề tài sẽ giúp bạn đọc hiểu them về phép vị tự củng như

- Nguyễn Mộng Hy

18