KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
VÙNG DUYÊN HẢI BẮC BỘ NĂM 2009
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn: TOÁN
Lớp 10
Bài 1. Phương trình đã cho tương đương với:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
ax x y x z
by y x y z
cz z x z y
= − −

= − −


= − −

Trường hợp 1: Nếu x, y, z dương. Không mất tính tổng quát giả sử
x y z≥ ≥
. Suy ra
( ) ( )
0by y z y x= − − ≤
(vô lý)
Trường hợp 2: Nếu x, y, z có 2 số dương, 1 số âm. Giả sử z < 0 và x, y > 0. Khi đó ta có
( ) ( )
0 0cz z x z y> = − − >
(loại)
Trường hợp 3: Nếu x, y, z có 2 số âm và 1 số dương. Giả sử x, y < 0 và z > 0. Khi đó
( )

( , , ) ( , , )f a b c f a b c
λ λ λ
=
nên không làm mất tính tổng
quát giả sử a
2
+ b
2
+ c
2
= 3.
BĐT cần chứng minh trở thành:
2 2 2
3
3 3 3 2
a b c
a b c
+ + ≥
− − −
với
a,b,c
(0; 3)∈

Ta có:
2 2
2 2
( 1) ( 2)
0
3 2 2(3 )
a a a a a

Từ (1) và (2) suy ra MD = ME
hay M là trung điểm của DE.
Vậy BF đi qua trung điểm của DE.
Bài 4:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 3 2 2 3
1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 0
y y
x x x y x x x y x x
⇔ + + + + + − + − + + − =
( ) ( ) ( )
2 2 3 3
2 1 2 2 2 1 2 0
y y
x y x x x x
⇔ + + + − − + + − =
( ) ( )
2 2 3
2 2 1 2 0
y
x y x x
⇔ + − + + − =
( )
( )
2 2
3
2 2
2 1 2 3
y

( )
2
2 2 1
y
x x
+ = −
Do
( )
( ) ( ) ( )
2
2 3 2 1 mod3 3 1 1 mod3
y
y
x x y
+ ⇒ ≡ ⇔ − = ⇒
M
ch½n.
Tõ (3) l¹i cã
( )
( )
2
1 3 2 2
y
x x x
+ − + = +
Gi¶ sö p lµ mét íc nguyªn tè cña
2
3x x− +
p
⇒

1
1
2
8
2 1 mod
p
P
p
−
−
≡ −
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
1 1 1
2
2 8 2
2 . 1 1 . 1 mod
p
p p p
p
−
− − −
⇒ − ≡ − −
( ) ( ) ( )
2
1 4 5
2 8
2 1 mod
p p p

¥
Tõ (3)
( )
3
2 1 0 mod8x x
⇒ + + ≡
( ) ( )
2
5 mod8 3 7 mod8x x x
⇒ ≡ ⇒ − + ≡
2
3x x⇒ − +
cã íc nguyªn tè d¹ng
8 7m
+
( m©u thuÉn)
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ (1;1) vµ (1;2).
Bài 5:
Bổ đề : Cho 0 <
1 2 3 4 5 6 7 8 1
3x x x x x x x x x≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
. Khi đó

( )
1 3 5 7 2 4 6 8 1 3 5 7
3
2
x x x x x x x x x x x x+ + + ≤ + + + ≤ + + +

Chứng minh:

, ,...,a a a
thành 75 nhóm
{ }
75 150 225
, , , , 1,75
i i i i
a a a a i
+ + +
=
. Xét hai nhóm bất kì:
(1,5đ)

{ }
{ }
75 150 225
75 150 225
75 75 150 150 225 225
, , ,
, , , ,( 75)
3
m m m m
n n n n
m n m n m n m n m
a a a a
a a a a m n
a a a a a a a a a
+ + +
+ + +
+ + + + + +
< <