GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHỐI 10
MÔN: ĐẠI SỐ
I – PHƯƠNG TRÌNH.
1. (BT_364_10/07) Tìm m để phương trình x
2
– x + m = 0 có hai nghiệm dương x
1
, x
2
sao cho P =
4 4 5 5
1 2 1 2
x x x x+ − −

đạt GTLN.
HD: P = x
1
x
2
(1 – 3x
1
x
2
). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy.
2. (BT_363_9/07) Cho a ≠ 0. Giả sử b, c là hai nghiệm phân biệt của phương trình x
2
– ax -
2
1
2a

4
– 1)(x
2
+ 2) + 1 = 0.
HD: Chuyển về A
2
= 0.
6. (BT_366_12/07) Giải phương trình
2 2
2
2
2 2 4
20 5 20 0
1 1
1
x x x
x x
x
− + −
   
+ − =
 ÷  ÷
+ −
−
   
.
HD: Đặt u =
2
1
x

2
– 3x – 4 = 0.
10. (Olympic 95 - 05) Cho ba phương trình x
2
+ ax + 1 = 0(1), x
2
+ bx + 1 = 0 (2) , x
2
+ cx + 1 = 0 (3). Biết tích một
nghiệm của phương trình (1) với một nghiệm của phương trình (2) là một nghiệm của phương trình (3). Chứng
minh rằng a
2
+ b
2
+ c
2
+ abc = 4.
HD: Áp dụng Định lí viét.
1
1
2
2
1 2
1 2
1
(4)
1
(5)
(6)
1

1 2
1 1
2 ; 2x a x b
x x
+ = − + = −
. Nhân lại ta có
2 2
2 2
1 2
1 2
1 2 2 1
1
( 2)( 2) 4
x x
a b x x
x x x x
   
− − = + + + −
 ÷  ÷
   
.
11. Nghiệm của phương trình x
2
+ ax + b + 1 = 0 là các số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng a
2
+ b
2
cũng là số tự
nhiên.
12. Có thể có hay không biệt số ∆ của phương trình bậc hai ax

(x) + bf(x) + c =
x vô nghiệm.
17. Cho f(x) = ax
2
+ bx + c, a ≠ 0 thoả mãn |f(x) ≤ 2008 khi | x | ≤ 1 . Chứng minh rằng |a| + |b| + |c| ≤ 4.2008
18. Giả sử |ax
2
+ bx + c| ≤ 1 khi |x| ≤ 1.Chứng minh rằng |cx
2
+ bx + a| ≤ 2 khi |x| ≤ 1.
HD: Giả sử a ≥ 0.
19. Cho f(x) = ax
2
+ bx + c, a ≠ 0.
a) Chứng minh rằng: Nếu ac < 0 thì Phương trình f(f(x)) = 0 có nghiệm.
HD: ay
1
> 0 ⇒ PT: ax
2
+ bx + c = y
1
có nghiệm.
b) Cho a = 1. Giả sử phương trình f(x) = x có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng phương trình f(f(x)) = x có
4 nghiệm phân biệt nếu (b + 1)
2
> 4(b + c + 1).
20. Cho f(x) = ax
2
+ bx + c. Thoả mãn |f(- 1) |≤ 1, |f(1) |≤ 1, |f(0) |≤ 1. Chứng minh rằng.
a) |a| + |b| + |c| ≤ 3.

1 1 2x x x x− − + + − =
HD: Đặt t =
4
2
1x x+ −
. Tính
4
2
1x x− −
theo t. Chuyển về phương trình ẩn t.
3. (BT_364_10/07) Giải phương trình
2 2 2
7 22 28 7 8 13 31 14 4 3 3( 2)x x x x x x x− + + + + + + + = +
HD:
2 2 2
7 22 28 (2 1) 3(3 ) 3(3 )x x x x x− + = − + − ≥ −
2 2 2
7 8 13 (2 1) 3( 2) 3( 2)x x x x x+ + = − + + ≥ +
2 2 2
31 14 13 (2 1) 3(3 1) 3( 2)x x x x x+ + = − + + ≥ +
4. (BT_363_9/07) Giải phương trình
4 1 5
2x x x
x x x
+ − = + −
HD: C1: Đặt u =
1
x
x
−

4 2 2 4 3 6 5x y z x y z+ + + = − + − + −
.
HD: Chuyển về A
2
+ B
2
+ C
2
= 0.
Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008 Page 2
GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An
8. (BT_366_12/07) Giải phương trình
1 1
2
2 4
x x x+ + + + =
.
HD: Đặt t =
1
4
x +
. Chuyển về phương trình ẩn t.
9. (BT_366_12/07) Giải phương trình
4 2
2008 2008x x+ + =
.
HD: Đặt y =
2
2008x +
. Chuyển về hệ phương trình.

3
6 6 6x x− + + =
.
HD: Đặt z =
3
6x +
, y =
3
6z +
. Chuyển về hệ phương trình “Hoán vị vòng quanh”. Giả sử x ≥ y ≥ z.
14. (BT_361_7/07) Tìm m để phương trình
2
4
1 3 1 2 1m x x x+ = − − + −
có nghiệm.
HD: Đặt t =
4
1
1
x
x
−
+
. Do t =
4
2
1
1x
−
+

2
2 2 1 4 1x x x+ + = +
.
19. (BT_368_2/08) Giải phương trình
2
4 3 4 3 10 3x x x− = − −
.
20. (Olympic 04) Giải phương trình
1 1 1
2 1 3
x
x x
x x x
−
+ = − + −
.
HD: Đặt t =
1
1
x
−
.Chuyển về phương trình bậc 2 ẩn t, xem x là tham số.
PT ⇔
1 1 1
2 1 3 1
x x
x x
x x x
− −
+ = − + +

.
HD: Đặt y =
3
3 2x −
. Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y.
23. (Olympic 95 - 05) Giải phương trình
2
4 2 2x x x− + = +
HD: Đặt
2x +
= y – 1. Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y.
24. (Olympic 95 - 05) Giải phương trình
2 2 2
4 6 2 5 3 3 9 5x x x x x x− + = − + + − + −
.
HD: Giải PT bằng phương pháp đánh giá. VT ≥ 2 ≥ VP.
25. (Olympic 95 - 05) Giải phương trình
2
3
2 4
2
x
x x
+
+ =
, x ≥ - 1.
HD: Đặt
3
2
x +

x x x
+ + +
+ − + − + − =
.
HD: Đặt t =
1
x
x
+
; t ≥ 2. Chuyển về tam thức bậc hai.
30. (Olympic 95-05) Giải phương trình
2 3 3 2
4
4 4 4
(1 ) (1 ) 1 (1 )x x x x x x x x+ − + − = − + + −
.
HD: Đặt ẩn phụ u =
4
x
, v =
4
1 x−
. Chuyển về phương trình tích.
31. (Olympic 95-05) Giải phương trình
2 2 2
19 7 8 13 13 17 7 3 3( 2)x x x x x x x− + + + + + + + = +
.
HD: Phân tích trong các căn (2x – 1)
2
. Áp dụng BĐT

2
2 4 8 2x x x x m+ + − − + − =
.
HD: Đặt ẩn phụ
2 4t x x= + + −
,
6
≤ t ≤
2 3
.
2 3 3m = −
36. (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm
2 2
1 1x x x x m+ + − − − =
.
HD: Xét
1 3 1 3
( ; ), ( ; ), ( ;0)
2 2 2 2
A B M x−
. Ta có AB = 1 và PT ⇔ |AM – BM| < AB = 1
37. (Olympic 06) Giải phương trình
2 2
( 1) 2 3 1x x x x+ − + = +
.
Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008 Page 4
GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An
HD: Đặt t =
2
2 3x x− +

+
HD: Chuyển vế. Bình phương. Chuyển về phương trình đối xứng bậc 4
41. (Olympic 06) Giải phương trình
1 3
1 0
4 2
x
x x
+
− =
+ +
.
HD: Quy đồng. Nhân liên hợp
42. (BT) Tìm m để phương trình sau có nghiệm.
3 2 4 4 4x x x x m− − − + − − =
.
43. (BT) Tìm m để phương trình sau có nghiệm.
4 4 4x x x x m+ − + + − =
.
44.
III - BẤT PHƯƠNG TRÌNH.
1. (BT_359_5/07) Giải bất phương trình
2 2
2 3 6 11 3 1x x x x x x− + − − + > − − −
.
2. (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình
2
9 16 2 2 4 4 2x x x+ ≥ + + −
.
HD: Bình phương hai vế. Đặt t =

BPT ⇔ M ≡ O.
4. (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình
2
35
12
1
x
x
x
+ >
−
.
HD: Đặt x =
1
a
, Đặt t = a +
2
1 a−
.
5.
IV - HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
1. (BT_364_10/07) Giải hệ phương trình
2 2
2 2
( 1)( 1) 8 0
1
4
1 1
x y xy
x y

= +

HD: Giải PT(1). Thế vào PT(2).
TH1: x = 2 v x =
1 13− ±
. TH2: C/m PT vô nghiệm.
Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008 Page 5