Chuyên đề về tích phân
1. Tích phân hàm phân thức
các dạng cơ bản
Các trường hợp đơn giản nhất có:
I.1 =
I.2 = với n tự nhiên khác 1
I.3 =
I.4 = với a > 0
Nguyên hàm I.1, I.2 tính được dễ dàng bằng cách áp dụng công thức có trong bảng Nguyên hàm của
các hàm số hợp (SGK trg 116). Nguyên hàm I.3 là bài tập 3d (SGK trg 118) – cũng chỉ là nguyên
hàm dạng (với .
I.4 là bài tập 4a (SGK trg 142). Để tính tích phân này ta đổi biến: đặt x = atgt.
Trường hợp tổng quát
Nếu P có bậc lớn hơn hoặc bằng bậc của Q thì phân thức có thể viết thành P/Q = T + R/Q (T, R lần
lượt là thương và dư trong phép chia P : Q), tính tích phân hàm P/Q qui về tính tích phân của đa
thức T và tích phân của hàm hửu tỉ R/Q. Việc tính tích phân của đa thức T không có gì khó khăn.
Sau đây ta xét cách tính tích phân của phân thức R/Q trong đó R là đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của
đa thức Q.
Trừong hợp 1. Q là tam thức bậc hai: Q =
Có ba khả năng:
(i). Q có hai nghiệm phân biệt
Khi đó có Q = . Biến đổi:
, ở đây m, n là hai hằng số.
Bài toán qui về tính tích phân dạng I.1
(ii). Q có nghiệm kép
Khi đó có Q = . Biến đổi:
Bài toán qui về tính tích phân dạng I.1 và I.2
(iii). Q vô nghiệm.
Khi đó Q = (k là hằng số). Biến đổi:
trong đó Q’ là đạo hàm của Q.
Bài toán qui về tính tích phân dạng I.3 và I.4

G. đặt t =
Thêm mấy bài trích từ đề thi TS ĐH & CĐ mấy năm gần đây để các bạn làm quen
H =
I =
J =
K =
2.Tích phân hàm lượng giác
Các dạng thường gặp
J.1 = .
J.2 = .
J.3 =
J.4 =
Trên là 4 nguyên hàm lượng giác cơ bản đã học (có trong Bảng các nguyên hàm SGK).
Từ các nguyên hàm cơ bản này ta dễ dàng tính được , …
Các nguyên hàm sau cũng khá thường gặp, hơn nữa cách tính chúng rất điển hình cho cách tính tích
phân các hàm lượng giác, nên cần nắm vững:
J.5 =
J.6 =
J.7 =
J.8 =
J.9 =
J.10 =
J.11 =
Tính J.5: tgx = sinx/cosx. Đặt u = cosx, đưa về tính nguyên hàm hửu tỉ dạng u’/u.
Trình bày gọn: = -ln|cosx| + C.
Hoàn toàn tương tự với
J.6: biến đổi , đưa về tính nguyên hàm dạng J.1
Tương tự với .
( Nói chung, ta chỉ phát biểu bài toán với sin, tang. Bài toán với cos, cotg là tương tự, từ nay sẽ
không nhắc lại

ví dụ với J.11. Một số ví dụ khác:

J.20 =

J.21 =

Hướng dẫn giải các ví dụ

J.12: Mẫu = 1+cosx =

Chú ý dạng tổng quát cũng thường gặp:
J.13: f(x) =

J.14: f(x) =

J.15: biến đổi hàm dưới dấu tích phân g(x) = – 2cos2x.
Suy ra f(t) = sin2t = 0.

J.16: đặt t = tg(x/2).
Tổng quát: nguyên hàm dạng có thể hửu tỉ hóa bằng cách đặt t = tg(x/2).
Tuy nhiên khi tính tích phân của f(x) trên đoạn [a;b] phải chú ý t = tg(x/2) có được xác định trên
đoạn ấy? nếu không, phải tìm cách đổi biến khác.

J.17: Gọi M = mẫu thức, M’ = đạo hàm của M. Biến đổi:
f(x) =

Tổng quát: : tính tương tự