Phương trình lượng giác NXT - FIT
Lượng giác
Phần 1: Hàm số lượng giác
A. Kiến thức cần nhớ
1. Các hằng đẳng thức cơ bản
a)
1cossin
22
=+
xx
b)
x
x
x
cos
sin
tan
=
c)
x
x
x
sin
cos
cot
=
d)
x
x
2
2

−=−
=−
xx
xx
xx
xx
cot)cot(
tan)tan(
cos)cos(
sin)sin(
−=−
−=−
−=−
=−
π
π
π
π
xx
xx
xx
xx
cot)2cot(
tan)2tan(
cos)2cos(
sin)2sin(
=+
=+
=+
=+

sin
2
cos ; cos
2
sin
=






−=






−
=






−=



−
3. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
oooo
540cos3990sin41170cos2540tan5
−++
b)
3
19
cos2
4
13
tan3
6
25
sin3
πππ
+−

c)
oooo
75sin55sin35sin15sin
2222
+++
d)
oooo
75cos55cos35cos15cos
2222
+++
e)

12
5
cos
12
3
cos
12
cos
222222
ππππππ
+++++
g)






++−+






+−+
aaaa
2
3
tan)2cot(






+
=
j)
oo
ooo
C
342cot252tan
156cos530tan).260tan(696cos
22
22
+
−−+
=
k)
( )
2
2
7cot
4
13
cot
2
7
tan
4





−
+
−
+
−








−
+
−
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x







+−






−
−−−
xxx
xxx
2
3
cot).cot(.
2
sin
)2sin().2cos().sin(
π
π
π
πππ
q)
22
)2cos(



−
xxxx
π
π
π
π
r)






−++






+






+

ba
t)
oooooo
700tan.400tan.260tan.250tan.190tan.50tan
4. Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh:
a)
-cosAC)cos(B ;sin)sin(
=+=+
CBA
c)
-cotCB)cot(A ;tan)tan(
=+−=+
BCA
b)
2
sin
2
CB
cos ;
2
cos
2
BA
sin
AC
=
+
=
+
d)

+−
++
=
xx
xx
y
.
7. Gọi a, b, c là các cạnh đối diện với các góc tương ứng của tam giác ABC.
a) Cho
ACB
222
sin2sinsin
=+
. Chứng minh
o
60A
≤
.
b)
ABCcbaCcBbAa
∆⇒++=++
)coscoscos(2
đều.
c) Chứng minh:
1sinC.sinA-sinB.sinC-sinA.sinB-Csinsinsin0
<++<
BA
Phần 2: Các công thức lượng giác
I. Công thức cộng
A. Kiến thức cần nhớ



−=+
aaaa
4
sin2
4
cos2sincos
ππ
b)






−=






+=−
aaaa
4
sin2
4
cos2sincos
ππ

−−−
3. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
a)
tanCtanA.tanB.tanCtanBAtan
=++
b)
1
2
tan.
2
tan
2
tan.
2
tan
2
tan.
2
tan
=++
ACCBBA
c)
1cot.cotcot.cotcot.cot
=++
ACCBBA
d)
2
cot.
2
cot.

a
tan
tan1
tan1
−=
+
−
.
b) Cho
4
π
=+
ba
, chứng minh:
2)tan1)(tan1(
=++
ba
và
2)cot1)(cot1(
=−−
ba
c) Cho
nya
max
=−
=+
)tan(
)tan(
. Chứngminh:
ab


)
2
(
π
π
<<
a
và
3tan
=
b

)
2
0(
π
<<
b
. Tìm a + b.
f) Cho
3
2
1tan
=
a
,
4
1
tan

12
π
và
o
75
hoặc
12
5
π
.
6. Cho
γβα
, ,
thoả mãn điều kiện:
2
π
γβα
=++
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
αγγββα
tan.tan1tan.tan1tan.tan1
+++++=
A
7. Chứng minh rằng nếu các góc của tam giác A, B, C thoả mãn một trong các đẳng thức sau thì tam giác
ABC cân:
a)
)cot(cot
2
1
sinsin

II. Công thức nhân đôi nhân ba.
A. Lý thuyết cần nhớ
aaa
aaa
a
a
a
aaaaa
aaa
cos3cos43cos
sin4sin33sin
tan1
tan2
2tan
1sco2sin21sincos2cos
cossin22sin
3
3
2
2222
−=
−=
−
=
−=−=−=
=
B. Bài tập
1. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
aaaa

−

c)
ooo
80cos.40cos.20cos
d)
)sin(coscossin2
22
aaaa
−
e)
aaaa
4224
sincossin6cos
+−
f)
2
cos
2
sin4cos
222
aa
a
−
g)
aa
22
cossin81
−
h)

−
+
o)
aa
aa
3sinsin
3coscos
+
−
2. Chứng minh:
a)
aaaa 3sin
4
1
3
sin
3
sinsin
=






+





=
oo
e)
aaaa 3cos
4
1
3
cos
3
coscos
=






+






−
ππ
. Tính:
18
7
cos


+






−
ππ
. Chứng minh:
5210
15
66tan54tan6tan
+
−
=
ooo
.
3. a) Cho
)0,(
2
sin
>
+
=
ba
ba
ab
α

c) Cho
4
5
cossin
=+
αα
. Tìm
α
2sin
,
α
2cos
,
α
2tan
.
4. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số sau:
a)






−






sin22cos1
cos22cos1
=−
=+
2
1
2
sin
t
t
a
+
=
2
2
1
1
cos
t
t
a
+
−
=
2
1
2
tan
t
t

4
tan
2cos2sin1
2cos2sin1
π
c)
2
cos4)cos(cos)sin(sin
222
ba
baba
+
=+++
d)
a
aa
cot2
2
cot
2
tan
−=
e)






−=

−
=−+−
i)
a
a
a
a
sin1
24
sin
sin1
24
sin
+






−
−
−






+

1
2
1
+−
)0(
πα
≤<
c)
2
cot1
2
cot2
2
a
a
+
d)
4
tan
4
cot
2
tan
2
cot
aa
aa
+
−
2K2+ - 4 -

αα
sin2sin
2coscos1
−
+−
h)
α
α
α
α
cos1
cos
.
2cos1
2sin
++
3. Tìm giá trị biểu thức
a)
a
a
cos23
sin
−
biết
2
2
tan
=
a
b)






−=
π
IV. Công thức biến đổi tổng và tích
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Công thức biến đổi tích thành tổng
[ ]
[ ]
[ ]
)cos()cos(
2
1
sinsin
)cos()cos(
2
1
coscos
)sin()sin(
2
1
cossin
bababa
bababa
bababa
+−−=
−++=

−+
=−
−+
=+
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
sinsin
)sin(
cotcot
sinsin
)sin(
cotcot
coscos
)sin(
tantan
coscos
)sin(
tantan
−
−=−

cos2
6
2cos
6
2cos
cos






+−






−
−
ππ
e)
2
cotcot
3
cos
3
cos
a

22
−+
h)
)158sin112(sin203sin291sin1sin
ooooo
+++
i)
)140sin130(sin185sin2125cos35cos
ooooo
+++
j)
oooo
80sin60sin40sin20sin
k)
oooo
80tan60tan40tan20tan
2. Chứng minh:
a)
16
3
80sin60sin40sin20sin
=
oooo
2K2+ - 5 -