SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT DTNT TỈNH VĨNH PHÚC

CHUYÊN ĐỀ
ÔN THI THPT QUỐC GIA

Tên chuyên đề:
CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN VÀ TƯƠNG GIAO
Môn:

Toán

Họ và tên: Đặng Thị Kim Chung
Chức vụ:

Tổ trưởng tổ Toán-Lý -Tin

Đơn vị:

Trường THPT DTNT tỉnh Vĩnh Phúc

Trang 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Khảo sát hàm số là một phần quan trọng trong các đề thi tốt nghiệp, cao đẳng và đại học
hàng năm, nay hợp nhất thành kì thi THPT quốc gia, bài toán về tiếp tuyến và tương giao là các
chủ đề liên quan đến khảo sát hàm số cơ bản khá điển hình.
Trong quá trình dạy học ôn thi tốt nghiệp, ôn thi đại học hay bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều

* Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm M ( x0 ; y0 ) có phương trình

y − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) với y0 = f ( x0 )
1.1.2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 3 − 3x + 5 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):
a) Tại điểm A (-1; 7).
b) Tại điểm có hoành độ x = 2.
c) Tại điểm có tung độ y =5.
Giải:
a) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M 0 ( x0 ; y0 ) có dạng: y − y0 = f '( x0 )( x − x0 )
Ta có y ' = 3 x 2 − 3  y '(−1) = 0 .
Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(-1; 7) là: y − 7 = 0 hay y = 7.
b) Từ x = 2  y = 7 .
y’(2) = 9. Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2 là:

y − 7 = 9( x − 2)  y − 7 = 9x −18  y = 9 x −11
x = 0

c) Ta có: y = 5  x3 − 3x + 5 = 5  x3 − 3x = 0   x = − 3
x = 3

+) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm (0; 5).
Ta có y’(0) = -3.
Do đó phương trình tiếp tuyến là: y − 5 = −3( x − 0) hay y = -3x +5.

Trang 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


+) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm (− 3;5) .

; y '( x0 ) = y '   =
3
27
3 3
3

Thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: y =
Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y =

2
100
x−
3
27

x+2
tại các giao điểm của (C) với
x −1

đường thẳng (d): y = 3x − 2 .
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):
x+2
= 3x − 2  x + 2 = (3x − 2)( x − 1) (x = 1 không phải là nghiệm phương trình)
x −1

Trang 4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


 3x2 − 6 x = 0  x = 0 ( y = −2)  x = 2 ( y = 4)

x
=
−
2
x
x
+
2
x
=
0
0

0


Vậy điểm B có hoành độ xB = −2 x0

Trang 5 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


1
Ví dụ 5: Cho hàm số y = x 3 − 2 x 2 + 3x (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại
3

điể m có hoành độ x0 thỏa mãn y '' ( x0 ) = 0 và chứng minh d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc
nhỏ nhất.
Giải
Ta có y ' = x 2 − 4 x + 3  y '' = 2 x − 4

Nhận xét: Trong ví dụ 4 và 5, các tiếp điểm đã được khái quát hơn qua hoành độ x0, cần hướng
dẫn học sinh viết PTTT dạng tổng quát để đạt được mục đích của bài toán.
1
m
1
Ví dụ 6: Cho hàm số y = x 3 − x 2 + (Cm). Gọi M là điểm thuộc đồ thị (Cm) có hoành độ
3
2
3

bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) tại M song song với đường thẳng d: 5x-y=0
Giải
Ta có y ' = x 2 − mx
Đường thẳng d: 5x-y=0 có hệ số góc bẳng 5, nên để tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng d

Trang 6 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


trước hết ta cần có y ' (−1) = 5  m + 1 = 5  m = 4
Khi m = 4 ta có hàm số y =

1 3
1
x − 2 x 2 + ta có x0 = −1 thì y0 = −2
3
3

Phương trình tiếp tuyến có dạng y = y ' ( x0 )( x − x0 ) + y0  y = 5( x + 1) − 2  y = 5x + 3
Rõ ràng tiếp tuyến song song với đường thẳng d

1
3
m+2
 | OA || OB |= | OA || OB |= 3 
m + 2 = 3  (m + 2) 2 = 9
2
2
2
3
m + 2 = 3
m = 1


 m + 2 = −3
 m = −5

Vậy m = 1 và m = - 5.
Nhận xét: Phan tích và hướng dẫn học sinh xác định rõ cách giải quyết bài toán: Phải tìm được
tọa độ các điểm A va B
1.2. Dạng 2: Viết tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) (C) khi biết trước hệ số góc của nó
1.2.1. Cách giải:
+ Gọi M ( x0 , y0 ) là tiếp điểm, giải phương trình f ' ( x0 ) = k  x = x0 , y0 = f ( x0 )
+ Đến đây trở về dạng 1,ta dễ dàng lập được tiếp tuyến của đồ thị: y = k ( x − x0 ) + y0

Trang 7 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


Lưu ý: Các dạng biểu diễn hệ số góc k:
*) Cho trực tiếp:

Ta có: y ' = 3 x 2 − 6 x
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điể m  Tiếp tuyến tại M có hệ số góc k = f ' ( x0 ) = 3x02 − 6 x0
Theo giả thiết, hệ số góc của tiếp tuyến k = - 3 nên: 3x02 − 6 x0 = −3  x02 − 2 x0 + 1 = 0  x0 = 1
Vì x0 = 1  y0 = −2  M (1; −2) .
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −3( x − 1) − 2  y = −3x + 1
Ví dụ 9: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 − 3x 2 + 1 (C). Biết tiếp tuyến đó
song song với đường thẳng y = 9x + 6.
Giải:
Ta có: y ' = 3 x 2 − 6 x
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm  Tiếp tuyến tại M có hệ số góc k = f ' ( x0 ) = 3x02 − 6 x0
Theo giả thiết, tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + +6  tiếp tuyến có hệ số góc k

Trang 8 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


 x0 = −1  M (−1; −3)
= 9  3 x02 − 6 x0 = 9  x02 − 2 x0 − 3 = 0  
 x0 = 3  M (3;1)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(-1;-3) là: y = 9( x + 1) − 3  y = 9x + 6 (loại)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(3;1) là: y = 9( x − 3) + 1  y = 9x − 26
Ví dụ 10: Cho hàm số y = x3 − 3x + 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến
đó vuông góc với đường thẳng y =

−1
x.
9

Giải:

1
1
(d) có phương trình: y = − x + 402 nên (d) có hệ số góc là - .
5
5

1
Gọi  là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k thì − .k = −1  k = 5 ( do  ⊥ ( d )) .
5

Ta có: y ' = x 3 + 4 x nên hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình: x3 + 4 x = 5

Trang 9 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


 x3 + 4 x − 5 = 0  ( x − 1)( x 2 + x + 5) = 0  x − 1 = 0  x = 1  y =

9
4

 9
Vậy tiếp điểm M có tọa độ là M  1; 
 4

Tiếp tuyến có phương trình: y −

9
11
= 5( x − 1)  y = 5 x −

 x0 = −1

Với x0 = −1 thì y0 = 1 lúc đó tiếp tuyến có dạng y = − x
Với x0 = −2 thì y0 = −4 lúc đó tiếp tuyến có dạng y = − x − 2
Vậy tiếp tuyến cần tìm là y = − x và y = − x − 2
Ví dụ 13: Cho hàm số y =

2x −1
có đồ thị (C).
x −1

Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại
các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB.
Giải
Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M ( x0 ; y0 )  (C ) cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho OA = 4OB .
Do OAB vuông tại O nên tan A =

OB 1
1
1
=  Hệ số góc của d bằng hoặc − .
OA 4
4
4

Trang 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


3

+
1)
+
y
=
−
x
+

4
2 
4
4
Khi đó có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là: 
.

 y = − 1 ( x − 3) + 5
 y = − 1 x + 13


4
2
4
4

1.3. Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điể m
Cho đồ thị (C): y = f(x). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm

A( ;  ) .
1.3.1. Cách giải:

tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 .
Giải:
Gọi A(a; a3 − 3a + 2) , B(b; b3 − 3b + 2) , a  b là hai điểm phân biệt trên (C).
Ta có: y ' = 3 x 2 − 3 nên các tiếp tuyến với (C) tại A và B có hệ số góc lần lượt là:

y '(a) = 3a2 − 3 và y '(b) = 3b2 − 3 .
Tiếp tuyến tại A và B song song với nhau khi:

y '(a) = y '(b)  3a2 − 3 = 3b2 − 3  (a − b)(a + b) = 0  a = −b (vì a  b  a − b  0)
2

AB = 4 2  AB 2 = 32  (a − b) 2 + (a3 − 3a + 2) − (b3 − 3b + 2)  = 32
2

2

 (a − b)2 + (a3 − b3 ) − 3(a − b)  = 32  (a − b) 2 + (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) − 3(a − b)  = 32
2

 (a − b)2 + (a − b) 2 (a 2 + ab + b 2 ) − 3 = 32 , thay a = -b ta được:
4b2 + 4b2 ( b2 − 3) = 32  b2 + b2 ( b2 − 3) − 8 = 0  b6 − 6b 4 + 10b 2 − 8 = 0
2

2

b = 2  a = −2
 (b 2 − 4)(b 4 − 2b 2 + 2) = 0  b 2 − 4 = 0  
b = −2  a = 2

-

 là cặp điểm trên đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
a +1 
b +1


Với điều kiện: a  b, a  −1, b  −1 .
Ta có: y ' =

y '(a) =

3
nên hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B là:
( x + 1)2

3
3
và y '(b) =
2
(a + 1)
(b + 1) 2

Tiếp tuyến tại A và B song song khi: y '(a) = y '(b) 

3
3
=
2
(a + 1)
(b + 1) 2


 b + 1 −b − 1 
 b +1
2

(b + 1) 2 = 1
b + 1 = 1  b + 1 = −1
 (b + 1) − 10(b + 1) + 9 = 0  

b + 1 = 3  b + 1 = −3
2

(b + 1) = 9
4

2

b = 0  a = −2
b = −2  a = 0

 b = 2  a = −4

b = −4  a = 2
Cặp điểm A và B cần tìm có tọa độ là: (−2;5) và (0; −1) ; (2;1) và (−4;3)
Ví dụ 17: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ (Cm); (m là tham số). Xác định m để (Cm) cắt
đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0, 1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (C m) tại D và E
vuông góc với nhau.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y = 1 là:
x3 + 3x2 + mx + 1 = 1



(3xD + 2m)(3xE + 2m) = 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1



9m + 6m  (–3) + 4m2 = –1; (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo định lý Vi-t).



4m2 – 9m + 1 = 0  m =

ĐS: m =

(

)

(

1
9
8

(

1
1
9 − 65 hay m = 9
8
8


Vậy  : y −

2a − 2
4
=
( x − a)  4 x − (a + 1) 2 y + 2a 2 − 4a − 2 = 0 (*)
2
a + 1 (a + 1)

d ( I;) =

4(−1) − (a + 1) 2 .2 + 2a 2 − 4a − 2
4 + (a + 1) 4

=

8 a +1
4 + (a + 1) 4

.

2

Ta có: 4 + (a + 1)4 = 22 + (a + 1)2   2.2(a + 1)2  4 + (a + 1)4  2.2(a + 1) 2 = 2 a + 1

Trang 14 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải



. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết
2x + 1

tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung tương ứng tại các điểm A, B thỏa mãn  OAB
vuông cân tại gốc tọa độ O.
Giải:
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Tiếp tuyến với (C) tại M phải thỏa mãn song song với các
đường thẳng y = x hoặc y = -x.
Ta có: y ' = −

1
1
0
nên tiếp tuyến với (C) tại M có hệ số góc là: y '( x0 ) = −
2
(2 x0 + 1) 2
(2 x + 1)

Vậy tiếp tuyến với (C) tại M song song với đường thẳng d: y = -x
Do đó, −

1
1
= −1  (2 x0 + 1) 2 = 1 ; ( x0 = − không là nghiệm phương trình)
2
(2 x0 + 1)
2

 2 x0 + 1 = 1
 x0 = 0  y0 = 1

Phương trình tiếp tuyến (d) tại M0: y − y0 = −

4
( x − x0 )
( x0 − 1) 2

Giao điểm của (d) với các tiệm cận là: A(2 x0 − 1;1), B(1;2 y0 − 1) .


x A + xB
y + yB
= x0 ; A
= y0  M0 là trung điểm AB.
2
2

Ví dụ 21: Cho hàm số: y =

x+2
(C)
x −1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một tam
giác có diện tích không đổi.
Giải
a) Tự làm
 a+2
b) Giả sử M  a;
  (C).

 a −1 

Trang 16 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


Diện tích IAB : S IAB =

1
IA.IB = 6 (đvdt)  ĐPCM.
2

Ví dụ 22: Cho hàm số y =

2x − 3
.
x−2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại
A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại
tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
Giải

 2x − 3 
−1
Giả sử M  x0 ; 0
 , x0  2 , y '( x0 ) =
2
x0 − 2 

y + yB 2 x0 − 3
=
= x0 = xM , A
=
= yM suy ra M là trung điểm của AB.
2
2
2
x0 − 2

Mặt khác I(2; 2) và IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích
2

 2 x0 − 3
 


1
2
− 2   =  ( x0 − 2) 2 +
 2
S =  IM =  ( x0 − 2) + 
2
x
−
2
(
x
−
2)

giải



3 
Nếu M  x0 ; 2 −
  (C ) thì tiếp tuyến tại M có phương trình
x0 + 1 

y−2+

3
3
=
( x − x0 ) hay
x0 + 1 ( x0 + 1) 2

3( x − x0 ) − ( x0 + 1)2 ( y − 2) − 3( x0 + 1) = 0

Khoảng cách từ I (−1;2) tới tiếp tuyến là

3(−1 − x0 ) − 3( x0 + 1)

d=

9 + ( x0 + 1)

4

Theo bất đẳng thức Côsi

( x0 + 1)

(

Vậy có hai điểm M: M −1 + 3;2 − 3
Ví dụ 24: Cho hàm số y =

)

(

hoặc M −1 − 3;2 + 3

)

2x + 1
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp
x +1

tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(−4; −2).
Giải
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ( x0  −1 ).
PTTT (d) là y =

2x + 1
1
( x − x0 ) + 0
 x − ( x0 + 1)2 y + 2 x02 + 2 x0 + 1 = 0
2
( x0 + 1)

Giải:
Gọi M ( x0 , y0 )  (C ) → y0 =

2 x0
,
x0 + 1

y' =

2
( x + 1)2

Tiếp tuyến tại M có dạng:

y = y '( x0 )( x − x0 ) + y0  y =

2 x0
2 x02
2
2
(
x
−
x
)
+

y
=
x



2 x02
2
y
=
x
+

( x0 + 1) 2
( x0 + 1) 2

x = 0


 x = 0 2 x02
2 x02

 B(0,
)
2
( x0 + 1) 2
 y = ( x0 + 1)

Tam giác OAB vuông tại O ; OA = − x02 = x02 ; OB =
Diện tích tam giác OAB:

S=

2 x02

4
0

2

1
Vậy tìm được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán: M 1 (− ; −2)
2

;

M 2 (1,1)

❖ Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 2 x − 5 (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

Trang 19 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


x=1
1
2
Bài 2. Cho hàm số y = x 3 − x + , viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với
3
3

1
2
đường thẳng y = − x + (d )

có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
x−2

Bài 7. Cho hàm số: y =
A(-6,5)

Bài 8. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = 2x3 + 3x2 - 12x - 1 kẻ từ điểm
 23

A  ; −2 
 9


Bài 9. Cho hàm số y =

2x − 3
có đồ thị (C).
x−2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)
b) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại
A, B sao cho AB ngắn nhất
Bài 10. Cho hàm số: y =

x +1
. CMR:
x −1

a) Nếu tiếp tuyến của đồ thị cắt hai đường tiệm cận tại A và B thì tiếp điểm là trung điểm


Chú ý:

Trang 21 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


+ Nếu đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0) và có hệ số góc k thì phương trình d có Dạng:
y – y0 = k(x – x0).
+ Khai thác tọa độ giao điể m ( M ( xM ; yM ) của (C) và d, ta cần chú ý: xM là nghiệm của
(1); M thuộc d nên yM = axM + b
+ Nếu (1) dẫn đến một phương triǹ h bâ ̣c hai, ta có thể sử dụng định lý Viet
* Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ
Cho phương trình: f ( x) = an xn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0 = 0 .
Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ x =

p
và (p, q)=1 thì q \ an và p \ a0 .
q

* Phương pháp hàm số
Chuyển phương trình hoành độ tương giao về: g(x) = m.
Khi đó số nghiệm chính là số giao điểm của đồ thị y = g(x) và đường thẳng y = m.
2.2. Các ví dụ:
Ví dụ 1. Cho hàm số y = − x 3 + 3 x 2 − 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 − 3x2 + m = 0 .
Giải
a) Học sinh tự làm.
Đồ thị: CĐ(2; 3), CT(0; -1)


a) Học sinh tự làm:
Đồ thị:

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
Lập luận để suy từ đồ thị (C) sang đồ thị y =

x +1
= m.
− x +1

x +1
− x +1

(1)

( C ') .

Trang 23 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời
giải


Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của đthị y =

x +1
và đường thẳng y = m.
− x +1

Suy ra đáp số: m  −1; m  1: phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

m = 1: phương trình có 1 nghiệm.

2x −1
có đồ thị (C).
x−2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x – m luôn cắt đồ thị (C) tại hai
điểm phân biệt.
Giải
a) HS tự trình bày.
b) Đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
2x −1
= x − m có hai nghiệm phân biệt.
x−2

• Xét phương trình:

2x −1
= x − m ( x  2)
x−2

 2 x − 1 = ( x − m)( x − 2)
 x 2 − 4 x − mx + 1 + 2m = 0
 x 2 − (4 + m) x + 1 + 2m = 0
Có  = (4 + m) 2 − 4(1 + 2m)

= m2 + 8m + 16 − 4 − 8m
= m2 + 12  0 m
• Vậy với mọi m thì đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 5: Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + 4