ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Số buổi: 5 buổi
Buổi 1: Tính đơn điệu của hàm số
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định lý: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K. Khi đó:
f ’ ( x )  0 x  K  Hàm số đồng biến trên K.
f ’ ( x )  0 x  K  Hàm số nghịch biến trên K.

( Dấu “ ” chỉ xảy ra hữu hạn trên K ).
Chú ý: Nếu f ' ( x) = 0, x  K thì f(x) không đổi trên K.
2. Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số
1. Tìm tập xác định.
2. Tính f’(x). Tìm các điểm xi (i=1,2...n) mà f’(x)=0 hoặc f’(x) không xác định.
3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và xét dấu f’(x).
4. Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hs.
II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN

1. Dạng 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Ví dụ 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: y = x3 − 2x 2 + x − 1
GIẢI
TXĐ:

y’ = 3x 2 − 4x + 1

1

x
=

3

TXĐ:
y' =

\{-1}

( x + 1) − ( x − 1)
2
=
2
( x + 1)
( x + 1) 2

y ' xác định với x 

\ −1

y '  0, x  (−; −1)  (−1; +)

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−; −1) và (−1; +)
Bài tập rèn luyện tại lớp
Bài 1: Khoảng đồng biến của y = −x4 + 2x2 + 4 là
A. (-1; 0)

C.(1; + )

B.(3;4)

D. (-∞; -1) và (0; 1).

Bài 2: Hàm số y = − x3 + 3x 2 − 2 đồng biến trên khoảng:

D. (−; −1)

Bài 5: Cho hàm số y = x3 − 2 x 2 + x + 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
1
1
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1  .B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  −;  .
3 



3

C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1  . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+ ) .
3
1





Trang 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Bài 6: Hàm số y = x4 − 2 x2 + 1 đồng biến trên khoảng nào ?
C. ( −; −1) và ( 0;1)

B. ( −1;0 ) và (1;+ )

A. ( −1;0 )


C. m  2

Bài giải: Ta có y = − x2 + 2 ( m −1) x + 2m − 5 . Vì y là hàm bậc hai nên y = 0 tại hữu hạn
các điểm. Hàm số đã cho nghịch biến trên

khi chỉ khi


a  0
−1  0

 m2 − 4  0  −2  m  2


2



0


( m − 1) + 2m − 5  0
1
3

Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = x3 − mx 2 − ( 3m + 2 ) x + 1 đồng biến trên
.
 m  −1

A. 

x3
+ ( m + 1) x 2 + ( m + 1) x + 1 đồng biến trên tập xác đinh
3

A. −2m−1

B. −2m−1

C. −2m−1

D. −2m−1
1
3

Bài 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − (m − 2) x 2 + m 2 x − 2m + 1
đồng biến trên tập xác định của nó.
C. m  0

B. m  1

A. m  1

D. m  1

mx+3

Bài 3: Với giá trị nào của m thì hàm số y =3x+m nghịch biến trên từng khoảng xác định
của nó ?
B. −3m3



C. ( −;

B. (−; −1).

10
)
3

D. ( −;

10
]
3

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 1: Cho hàm số y = x3 − 2x 2 + x + 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
1
1
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1  B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  −; 
3
3






Trang 4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

C. y = − x3 − 3x2 + 2017

Bài 4: Hàm số y = x 2 + 2x 2 + 1 nghịch biến trên khoảng sau
A. (-  ;0)

1
2

Câu 5. Tìm m để hàm số y =
A. ( −1; + )

C.(-  ;1)

B.(-  ; )

D.(-  ; −

1
)
2

x −1
đồng biến trên khoảng ( 2;+ )
x+m

B. ( 2;+ )

C. [ − 1; +)

D. ( −; −2)

4) Kết luận về điểm cực đại, điểm cực tiểu.
Định lí 2:
Giả sử hàm số y=f(x) và có đạo hàm cấp hai trên khoảng K=(x0-h;x0+h) với h>0. Khi đó:
a) Nếu f’(x0) = 0, f’’(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
b) Nếu f’(x0) = 0, f’’(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.
Để tìm điểm cực đại, cực tiểu của hàm số y=f(x) ta có
Quy tắc II:
1) Tìm TXĐ.
2) Tính f’(x).
Tìm những điểm xi mà f’(xi)=0 hoặc f’(xi) không tồn tại.
3) Tính f’’(x) và f’’(xi)
4) Dựa vào dấu của f’’(xi) kết luận về điểm cực đại, điểm cực tiểu.
II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN
1. Dạng toán 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số
Trang 7 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Ví dụ 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số theo quy tắc 1: y =

x3 5 x 2
−
+ 6x − 4 .
3
2

Giải TXĐ:
y ' = x2 − 5x + 6

y’ xác định với mọi x thuộc


f’(x) = 0  x =  2; x = 0.
• Tính f”(x) = 3x2 - 4 nên ta có

f”(  2) = 8 > 0  hàm số đạt cực tiểu tại x =  2 và fCT = f( 2) = 2.
f”(0) = - 4 < 0  hàm số đạt cực đại tại x = 0 và fCĐ = f(0) = 6.

Bài tập rèn luyện tại lớp
1
2

Bài 1. Điểm cực đại của hàm số : y = x 4 − 2 x 2 − 3 là
A. x = − 2

B. x =  2

C. x = 2

D. x = 0

Bài 2: Giá trị cực đại của hàm số y = x3 − 3x + 2 là
A. 0

B. -1

C. 1

D. 4

Trang 8 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


3

C.  3; 2 
3

B. (1;2)



D. (1;-2).



Bài :6 Hàm số y = − x3 – 3x 2 + 2 có giá trị yCT là:
C. yCT = −4 .

B. yCT = −2 .

A. yCT = 2 .

Câu 6: Cho hàm số y =

D. yCT = 4 .

x2 + 3
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x +1

A. Cực tiểu của hàm số bằng −3.



C. yCT = 2 yCD .

B. 2 yCT = yCD .
1
2

3
2

D. yCT = yCD .

1
2

Bài 10: Cho hàm số y = − x 4 + x 2 + . Khi đó:
A. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 , giá trị cực tiểu của hàm số là y(0) = 0
B. Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = 1 , giá trị cực tiểu của hàm số là y(1) = 1

Trang 9 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


C. Hàm số đạt cực đại tại các điểm x = 1 , giá trị cực đại của hàm số là y(1) = 1
D. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 , giá trị cực đại của hàm số là y (0) =

1
2

Câu11: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:



Với m = 1  y = − x3 + x 2 − x + 1 . Lập bảng biến thiên suy ra m = 1 loại.
1
3

Với m = 2 , ta có y = − x3 + 2 x 2 − 3x + 1 . Lập bảng biến thiên, ta nhận được kết quả đúng.
( Cách 2: Sử dụng Đl 2)
Ví dụ 2: Hàm số y = x 3 + (m + 3)x 2 + 1 − m đạt cực đại tại điểm x = −1 khi
A. m = −

3
2

2
3

B. m  − .

C. m < −

3
2

D. m = −

2
3

Trang 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải



B. m = 1

C. m = 2

D. m  1 .

Bài 3: Hàm số y = x3 − mx + 1 có 2 cực trị khi
B. m  0

A. m  0

D. m  0

C. m = 0

4
2
=
−
x
+
4
mxm
−
5
5
(
)2−+
Bài 4: Với giá trị nào của m thì hàm số y


1
D. m  .
3

Câu 6. Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + m . Tìm tất cả giá trị m để hàm số có cực đại và cực
tiểu
A. m  0.

B. m  0.

C. m  0.

D. m  0.

Câu 7: Hàm số y = x3 − mx + 1 có 2 cực trị khi :
A. m  0

B.

m0

C. m  0

D. m  0 .

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

Câu 1. Cho hàm số f ( x) = x3 − 3x + 2 . Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
A. ( 0;2)


Câu 4. Tìm giá trị của m để hàm số f ( x) = x3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x đạt cực đại tại x = 1
A. m  0 và m  2

C. m = 0 , m = 2

B. m = 0

D. m = 2

Câu 5. Hàm số y = x3 − 3x 2 + mx đạt cực tiểu tại x = 2 khi :
A. m  0

B. m  0

C. m = 0

D. m  0

1
3

Câu 6. Tìm giá trị của m để hàm số f ( x) = x3 + (m 2 − m + 2) x 2 + (3m 2 + 1) x + m − 5 đạt cực
tiểu tại x = −2
A. m = 1

B. m  1 và m  3 C. m = 3

D. m = 1 , m = 3


I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. QUY TẮC TÌM GTLN, (GTNN) CỦA MỘT HÀM SỐ:

Quy tắc 1: (Sử dụng định nghĩa)
Giả sử f xác định trên D  . Ta có

 f ( x )  m x  D
 f ( x )  M x  D
M = max f ( x )  
; m = min f ( x )  
.
xD
xD


x
x


D
D
:
:
f
f
x
x
=
=
M

x a ;b 

x a ;b 

Quy ước. Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số f mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên
tập nào thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của f .
II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN:

1. Dạng toán 1:
Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 2 x3 − 3x 2 + 3 trên đoạn 0;2 .
Trang 13 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Giải. TXÑ D= . Ta có
y ' = 6x 2 − 6 x

Với mọi x  ( 0; 2) , ta có
y ' = 0  6x 2 − 6x = 0 

 xx ==10

Vậy
min y = min  y ( 0) ; y (1) ; y ( 2 ) = min 3;2;7 = 2 , đạt được  x = 1 .
max y = max  y ( 0) ; y (1) ; y ( 2) = max 3;2;7 = 7 , đạt được  x = 2

Ví dụ 2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 − 3x2 − 9 x − 2 trên đoạn  −2;2 là:
A. −24

B. -2




C. 54 và 1

C. max y = 4.

2
3

y= .
D. max
2;5


 2;5



Bài 3 : Hàm số y = x3 - 3x 2 + 3 đạt GTNN trên 1;4 tại
A. x = 2

B. x= 4

C. x=0

D. x=1

Bài 4 : Tổng GTLN, GTNN của hàm số y = x2 - 2 x + 5 trên 0;3 là
A. 9.


B. – 41

A. 8

C. 40

D. 15

Câu 8: GTNN của hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 3 trên  −3;2 là
A. −2

B. −3

Câu 9: Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) = x +
A. -3

C. −5

D. 2

4
trên [−4; −1] là
x

B. -4

C. -1

D. -5


4

B.

2

C. 4.

D. 5.

1
, giá trị lớn nhất của hàm số trên  −1;2 là
x+2

1
2

C. -2

D. 0.

Bài 14: Tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 4 − x 2 là:
A. −4 2 .

B.-4.

C.0.

D. 4 2 .



Câu 18: Cho hàm số y = − x2 + 2 x . Giá trị lớn nhất của hàm số bằng
A. 0

B. 1

D. 3

C. 2

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1. Hàm số y = x3 - 3x 2 + 3 đạt GTNN trên 1;4 tại
A. x = 2

B. x= 4

C. x=0

D. x=1

Bài 2.Tổng GTLN, GTNN của hàm số y = x2 - 2 x + 5 trên 0;3 là
A. 9.

B. 13

C. 17

D. 12

Bài 3. Trong các hàm số sau hàm số nào tồn tại GTNN trên tập xác định của nó :

C. m=-1 hoặc m =

5
7

D. m =

Bài 6. GTNN của hàm số y = x + 12 − 3x 2 là
Trang 16 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

5
7


A. 2

B. 3

Bài 7. Cho hàm số y =

C. 1

D. 4

mx − 2
. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt GTNN trên 1;3 bằng 2
x+m

A. m = 2


f ( x ) = y0
 xlim
→−
y = f ( x)  
f ( x ) = y0
 xlim
→+

Định nghĩa:
Đường thẳng thẳng x = xo là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu một trong các
điều kiện sau được thoả mãn:
lim f ( x ) = +, lim− f ( x ) = −,

x → xo+

x → xo

lim f ( x ) = −, lim− f ( x ) = +.

x → xo+

x → xo

II. Một số dạng toán cơ bản
1. Dạng 1. Tìm tiệm cận ngang
Trang 17 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Ví dụ 1: Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
B. y = −1


1
2

B. x = −

1
2

C. y = −

Câu 2: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. y = 7

B. y = 14

B. y = 3

B. y = 3

D. y =

1
2

3
2

D. y = 2


8 x − 2017
là:
4x − 6

C. y =

25
8

D. y = 2

f ( x) = 2 và lim f ( x) = 2 . Khẳng định nào sau đây là
Câu 5. Cho hàm số y = f ( x) có xlim
x →−
→+

khẳng định đúng ?
A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 2
D. Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang là các đường thẳng x = 2
Bài 6: Cho hàm số y =

3x + 1
. Khẳng định nào sau đây đúng ?
2x −1

Trang 18 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải



2

C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = − . D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
Bài 8: Cho hàm số y =

6x + 9
3x 2 + 5

( C ) . Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C) là:

A. y = 2 3

B. y = −2 3

C. y = 2 3 và y = −2 3

D. x = 2 3 và x = −2 3

Dạng 2: Tìm tiệm cận đứng
Ví dụ 1: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. x = 7

B. x = 14

2x − 3
là:
x−7

C. x =



3
2

D. x = 3

8 x − 2017
là:
4x − 6

Trang 19 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


A. x = 7

C. x =

B. x = 14

Bài 3:Đồ thị hàm số y =

x+2

3
2

D. x = 3

phương trình tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần


Ví dụ 3: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
A. 1

3x + 1
là
x −4

B. 2

2x + 3
x +1
2

D. 3
là

C. 0

D. 3

Bài tập rèn luyện tại lớp
Bài 4: Tìm số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. 0

B. 1

C. 2

−2 x − 1
x2 + x + 5


C. 2

D. 3

Trang 20 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Câu 8. : Đồ thị hàm số y =

3x − 9 x 2 + 2
có số tiệm cận là:
x

A. 3.

B. 1.

Câu 19: Cho hàm số y =

C. 2.

D. 0

x2 − 4 x + 3
x2 − 2 x + 6
và y =
. Tổng số đường tiệm cận của hai đồ
x2 − 9
x −1

1
;y=m
m

1
=1 m =1
Vì đồ thị hàm số có tiệm cận đi qua điểm A(1;4) nên ta có  m
. Chọn A
 m = 4 ( loai )

mx3 − 2
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường cong y = 3
có hai tiệm cận
x − 3x + 2

đứng ?
1
A. m  2; 

 4

Giải: Để hàm số y =

1
B. m  3; 

 2

C. m  −1



đứng.
A. m4;36

B. m2;1

C. m3;4

Giải: Ta có x2 − 4 x + 3 = ( x −1)( x − 3) .Để đường cong y =

D. m  −1

4x2 − m
có hai tiệm cận đứng thì
x2 − 4 x + 3

phương trình g ( x ) = 4 x2 − m  0 và phương trình g ( x ) = 4 x2 − m = 0 có nghiệm khác 1 và 3
 g (1) = 4 − m  0
m  4

Suy ra 
. Chọn A

 g ( 3) = 36 − m  0

Ví dụ 4: Cho hàm số y =

m  36

x−2


C. m 

1
16

D. m 

1
16

Trang 22 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Buổi 5: Sự tương giao của hai đồ thị
Tóm tắt kiến thức cơ bản:

I.

Cho hai hàm số y = f ( x) và y = g ( x) có đồ thị lần lượt là (C1 ) và (C2 ) . Khi đó hoành độ
giao điểm của (C1 ) và (C2 ) là nghiệm của phương trình:
f ( x) = g ( x)

(1)

- Nếu (1) vô nghiệm thì (C1 ) và (C2 ) không cắt nhau.
- Nếu (1) có n nghiệm phân biệt x1 , x2 ,..., xn thì (C1 ) và (C2 ) cắt nhau tại n điểm phân
biệt ( x1; f ( x1 )), ( x2 ; f ( x2 )),...( xn ; f ( xn ))
II.

Giải phương trình ( x + 3) ( x + 3x + 2 ) = 0   x = −2
 x = −3
2

Vậy số giao điểm là 3 .
Ví dụ 3: Số điểm chung của đồ thị hàm số y = x3 − 2 x2 + x − 12 với trục Ox là
A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Hướng dẫn giải: Lập phương trình hoành độ giao điểm: x3 − 2 x 2 + x − 12 = 0  x = 3
ta tìm được x = 3 là nghiệm duy nhất.
Vậy chọn 1
Bài tập rèn luyện tại lớp
Câu 1.

Đường thẳng (d ) : y = x − 1 cắt đồ thị hàm số (C ) : y =

2x −1
tại các điểm có tọa độ
x +1

là
B. ( −1;0) , ( 2;1)

A. ( 0; −1) , ( 2;1)

2

2

)

(2 )

C. ( −1; − 5) và 3 ; 0

(2 )

D. 1 ; − 2

Hướng dẫn giải
x = 2
 x  −1
2x − 1
Phương trình hoành độ giao điểm:

= 2x − 3   2
1
x +1
x = −
2
x
−
3
x
−

C. 2

D. 0 .

Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm:
x = 0
2 x 4 + x3 + x 2 = 0  x 2 (2 x 2 + x + 1) = 0   2
 2 x + x + 1 = 0(VN )

Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm.
Câu 4.

Cho hàm số y = 2 x3 − 3x 2 + 1 có đồ thị (C ) và đường thẳng (d ) : y = x − 1 . Số giao
điểm của (C ) và (d ) là:
A. 3

B. 1

C. 2

D. 0

Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm:
x = 1
2 x − 3x + 1 = x − 1  2 x − 3 x − x + 2 = 0  ( x − 1)(2 x − x − 2) = 0  
 x = 1  17

4

x2 − 4 x + 3
=0
x+2
x = 3

Vậy số giao điểm là 2 .
Câu 6.

Số giao điểm của đồ thị hàm số y = ( x − 1) ( x 2 − 3x + 2 ) với trục Ox là:

Trang 25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải