Bản giao hưởng huyền diệu giữa Lượng Tử và Tương Đối
Phạm Xuân Yêm
1- Phương trình Dirac: Spin và Phản vật chất
Hạt điện electron, thành phần cơ bản của vật chất ra đời và tràn đầy vũ trụ từ thủa Nổ Lớn
(Big Bang), cái hạt cô đơn mà ngày đêm chúng ta giao tiếp từ ánh sáng đèn lân quang thời
xa xưa đến công nghệ thông-truyền tin tân kỳ ngày nay với điện thoại di dộng (bốn tỷ chiếc
đang lưu hành trên trái đất), máy vi tính, truyền thanh, truyền hình, phim ảnh số, iPod... Có
lẽ chỉ vì electron lúc nào cũng ở trong ta và cạnh ta trong mọi khía cạnh của cuộc sống như
nước với cá nên vô hình trung ta không ý thức hết tác động thường xuyên của nó. Ở trong
ta thực không ngoa vì tế bào và gen DNA của da thịt con người đều là phân tử, chuỗi tập
hợp của nguyên tử do trao đổi electron mà thành. Electron cũng chính là sợi dây kết nối
liên ngành lý, hóa và sinh học hiện đại. Đề tài mênh mông, khởi đầu năm 1897 khi J. J.
Thomson (1856-1940)[2] thử nghiệm trên ống phóng tia âm cực, phát hiện ra electron với
điện tích âm –e và khối lượng m, hai tính chất cổ điển của một hạt. Paul Dirac (1902-
1984), một thiên tài tầm cỡ Newton và Einstein, khi kết hợp nhuần nhuyễn thuyết lượng tử
với thuyết tương đối hẹp, đúng tám mươi năm qua (1928) đã khám phá ra định luật cơ bản
chi phối sự vận hành của hạt điện này và của tất cả các fermion khác như neutrino, proton,
neutron, quark. Tại sao kết hợp? Lượng tử là điều dĩ nhiên cho vật thể vi mô như electron,
còn thuyết tương đối hẹp thì tối cần thiết để diễn tả sự dao động với vận tốc rất cao của nó.
Phương trình Dirac là bản giao hưởng tuyệt vời của sự hợp phối nói trên, nó mở ra hai
chân trời kỳ diệu: thứ nhất là electron mang spin ћ/2, thứ hai là sự hiện hữu của phản vật
chất[3]. Có vật chất thì có phản vật chất, thí dụ hạt phản electron hay positron mang điện
tích dương +e. Spin ћ/2 của electron không hề hé lộ trong vật lý cổ điển mà là một đặc
trưng độc đáo của lượng tử. Spin miêu tả tính chất quay vòng nội tại của các hạt vi mô cơ
bản (như trái đất quay chung quanh trục của nó, nhưng spin tinh tế hơn), spin electron bằng
ћ/2 = h/4π nghĩa là hạt điện này phải quay hai vòng 4π mới trở lại vị trí ban đầu, điều
không tưởng trong cơ học cổ điển. Ta mường tượng spin như chiếc kim la bàn nhỏ xíu,
một momen từ tạo ra bởi electron mang điện tích tự quay tròn[4] quanh trục của nó ‘hai
vòng mỗi lần’. Nhờ Faraday, Ampère, Maxwell chúng ta biết điện với từ tuy hai mà một,
điện tích dao động sinh ra từ và ngược lại. Nếu điện tích –e của electron là gốc nguồn và
động cơ mở đường cho ngành điện tử, thì spin ћ/2 của nó đóng vai trò tương tự đối với từ

2
= y, x
3
= z
và đạo hàm ∂
μ
≡ ∂/∂x
μ
đối với x
μ
, tất cả là biểu tượng của thuyết tương đối hẹp. Dirac đã
độc sáng ra bốn ma trận γ
μ
để nối kết hai lý thuyết trên qua căn số của toán tử
d’Alembertien diễn tả năng lượng bình phương E
2
= |k|
2
c
2
+ m
2
c
4
= – c
2
(i(|k| – mc)(i|k|
+mc) của thuyết tương đối hẹp đi vào thế giới vi mô của lượng tử[7]. Trường hợp đặc biệt
E = mc
2

phương trình mang năng lượng dương +(|k|
2
c
2
+ m
2
c
4
)
½
thì một nghiệm khác mang năng
lượng âm –(|k|
2
c
2
+ m
2
c
4
)
½
tất yếu phải kèm theo, một hệ quả chẳng sao né tránh khi lấy căn
của E
2
. Đứng trước sự thể ‘bất đắc dĩ’ của năng lượng âm này, thiên tài của Dirac tỏa hiện,
ông tiên đoán sự hiện hữu của hạt phản electron qua cái nhìn rất độc đáo: trong vật lý cổ
điển ta chỉ có E > 0 như E = mc
2
. Trái lại trong thế giới vi mô của vật lý lượng tử, năng
lượng của một hạt có thể mất đi hay nhận được từng gói hν, vậy không có gì ngăn cản hạt

c
2
+ m
2
c
4
của thuyết tương đối hẹp. Câu hỏi mà chính Niels Bohr -
người khai sáng ra lý thuyết nguyên tử, vị trưởng lão của trường phái Diễn giải
3
Copenhagen trong cơ học lượng tử, thủ đô xứ Đan Mạch quê hương của ông trở thành
‘Thánh Địa La Mekke’ đối với các nhà vật lý thời tiền Thế chiến - cũng đặt ra cho Dirac
khi ông đến thành phố này để trao đổi với Bohr năm 1927 về ý định kết giao lượng tử với
tương đối hẹp đang manh nha trong đầu. Bohr nghĩ (nhầm) và mách cho Dirac rằng sự hợp
phối đó năm trước đã được thực hiện thành công rồi bởi O. Klein và W.Gordon với toán tử
+ (mc/ћ)
2
viết trên, chẳng còn gì phải lưu tâm. Nhưng cái mà Bohr không ý thức hết mà
chỉ có cái nhìn sâu sắc của Dirac nhận ra, là thuyết tương đối đòi hỏi phải có sự thuần nhất
giữa thời gian t và không gian x, y, z gắn quyện trong một thực tại không-thời gian bốn
chiều Minkowski. Chúng phải ở cùng trên một bình diện. Phương trình sóng lượng tử của
Schrödinger[10] không có sự đồng nhất tuyến tính nói trên, vế trái phương trình
Schrödinger có đạo hàm bậc nhất của thời gian t, trong khi vế phải lại có đạo hàm bậc hai
của không gian x, y, z. Còn phương trình Klein-Gordon tuy giữ được sự thuần nhất (đạo
hàm bậc hai của cả thời gian lẫn không gian) nhưng lại mất đi cái tuyến tính đạo hàm bậc
nhất của thời gian t, điều mà ngay từ thuở sơ khai của cơ học lượng tử Schrödinger,
Heisenberg, Dirac đã dựa vào như một tiền đề để phát triển. Đối với Dirac, cái nhất quán
và thuần tuý đến căn cơ là điều tối quan trọng, trong đó toán học giữ vai trò rường cột để
suy luận. Vậy bằng mọi cách Dirac phải lấy căn của phương trình Klein-Gordon để có đạo
hàm bậc nhất cho cả thời gian lẫn không gian, điều mà ông thành công với bốn ma trận γ
μ

năng lượng phóng xạ bởi vật đen phải vô hạn, nôm na như ngồi trước một bếp sưởi hồng,
bất kỳ nhiệt độ cao thấp ra sao ta sẽ bị tan biến hết. Max Planck bằng một hành động hầu
như tuyệt vọng đưa ra giả thiết theo đó các vật thể khi dao động với tần số ν thì năng lượng
E phát ra phải theo từng ‘gói‘ rời rạc như 1hν, 2hν, 3hν ... chứ không tuôn chảy liên tục.
4
Kỳ lạ thay năng lượng phun ra từng gói từng chùm. Cho bất kỳ một tần số sóng ν và một
năng lượng X trung bình quy định bởi nhiệt động học cổ điển, ta chỉ cần p gói hν là đủ đạt
tới X rồi, p(hν) ≈ X , những gói từ (p+1) hν trở lên vì vượt quá đóng góp trung bình nên bị
khử mạnh và làm cho tổng năng lượng trở thành hữu hạn. Điểm then chốt mà Planck giả
thiết là một vật vi mô chỉ có thể tiếp nhận hay mất đi những đơn vị năng lượng hν. Einstein
là người đầu tiên dùng giả thuyết gói ánh sáng hν để diễn giải hiện tượng quang điện. Đặc
tính nội tại rời rạc của lượng tử được Bohr chấp nhận để sáng tạo ra thuyết nguyên tử, tiếp
theo Louis de Broglie vén mở lưỡng tính sóng-hạt của mọi vật thể vi mô, và cơ học lượng
tử hình thành với nguyên lý bất định Heisenberg và phương trình sóng Schrödinger. Giả
thuyết Planck do đó không còn là giả thiết nữa mà trở thành nền tảng của tri thức mà dấu
ấn ngày càng in đậm trong sinh hoạt con nguời từ khoa học, công nghệ rồi lan rộng sang
nhiều khía cạnh của triết học, văn hóa. Hằng số Planck h trong E = hν có gốc nguồn ở tiếng
Đức chữ Hilfe (phụ trợ), chi tiết này nói lên cái khiêm tốn của một nhà bác học lớn. Do
tính toán qua hằng số rất nhỏ h mà ra, danh từ vi mô trong khoa học tự nhiên được hiểu
như những vật chất kích thước bằng hay nhỏ hơn một phần tỷ mét, hay nano-mét. Như vậy
một nguyên tử rộng dài khoảng nano-mét có thể được coi như ngưỡng cửa bắt đầu đi sâu
xuống thế giới vi mô trong đó bao gồm những hạt nhỏ hơn nữa như electron cùng proton
và neutron, hai thành phần của hạt nhân nguyên tử.
2b- Hạt cơ bản.
Ngược dòng thời gian, khái niệm về hạt cơ bản (nghĩa là những đơn vị vi mô nhỏ bé nhất
không sao chia cắt cho nhỏ hơn được nữa) cấu tạo nên vạn vật đã từ lâu tiềm ẩn trong ý
thức nhân loại. Nhưng câu hỏi là làm sao các hạt sơ đẳng gắn bó được với nhau bởi những
lực nào để tạo nên vật chất? Con đường tìm kiếm những định luật cơ bản chi phối sự cấu
tạo vạn vật bởi các hạt sơ đẳng là cả một quá trình gian lao nhưng say đắm trong cuộc
vươn lên điển hình của loài người thôi thúc bởi cái Đẹp và cái Thật. Cái được hiểu là hạt

từng ấy những hạt photon mà chạm tới chúng ta, chắc hẳn con người không thể sinh tồn
dưới trạng thái hiện hữu. May thay neutrino là hạt chỉ có tương tác yếu với quark u, d và
electron, và chúng ta cũng như mọi vật thể khác đều do ba (trong bốn) hạt cơ bản là quark
u, d và electron tạo thành. Vật chất đều do nguyên tử tạo thành, nhân lõi của nguyên tử do
quark gắn bó bởi lực mạnh mà ra, chúng trao đổi gluon với nhau. Với lực điện từ, electron
trao đổi photon với nhau và với proton để hợp thành nguyên tử, phân tử và vật liệu nói
chung. Lực cơ bản thứ ba trong tự nhiên là lực yếu (chi phối phóng xạ nhân lõi nguyên tử
và sự vận hành của neutrino) do tác động của W và Z. Hai tương tác mạnh và yếu chỉ vận
hành trong thế giới vi mô.Thành phần cơ bản của vạn vật là fermion mang spin ћ/2 gồm có
quark và lepton tựa như những viên gạch của lâu đài vật chất, còn boson spin 1ћ (photon,
gluon, W, Z) tựa như hồ vữa để gắn những viên gạch. Boson làm trung gian mang thông
điệp cho fermion tương tác với nhau qua trao đổi photon (lực điện từ), gluon (lực mạnh),
W và Z (lực yếu). Ba lực lượng tử này được diễn tả vô chừng thoả đáng trong Mô hình
Chuẩn (Standard Model), một lý thuyết nhất quán đã vượt qua tất cả các thử thách thực
nghiệm một cách vẻ vang, những tiên đoán suy ra từ Mô hình Chuẩn đều phù hợp và chính
xác đến ngạc nhiên với kết quả thực nghiệm, mang hơn hai chục giải Nobel cho ngành vật
lý hạt cơ bản trong khoảng 30 năm gần đây, không kể năm nay 2008.
Còn lại lực cơ bản thứ tư kéo giữ chúng ta trên mặt đất, đó là trọng lực. Các định luật của
trọng lực - diễn tả bởi thuyết tương đối rộng- và của lượng tử không tương thích với nhau ở
những điều kiện cực độ khi hai thế giới vi mô và vĩ mô cận kề như trong trung tâm sâu
thẳm của lỗ đen, trong trạng thái vũ trụ ở kỷ nguyên Planck (giây phút ban đầu của Big
bang với nhiệt độ kinh hoàng, không gian cực nhỏ, năng lượng cực lớn), hoặc trong các
máy gia tốc năng lượng cao. Ở những điều kiện cực hạn ấy, không-thời gian cong uốn trơn
tru của thuyết tương đối rộng lại xung đột sâu sắc nhất với cái sôi động, thăng giáng lượng
tử, các phương trình của hai thuyết khi kết hợp cho ra những đáp số vô hạn, phi lý. Mô
hình Chuẩn không thể giải đáp cái mâu thuẫn này và thuyết Siêu dây (Superstring) hay
thuyết Màng (M theory), về nguyên tắc, nhằm dung hòa và mô tả nhất quán tất cả bốn
tương tác cơ bản trong cả hai thế giới cực lớn của vũ trụ bao la và cực nhỏ của hạ nguyên
tử, nhằm thống nhất mọi điều về một mối. Đó là vấn đề hắc búa số một của vật lý ngày
nay. Nhưng cần nhấn mạnh là mặc dầu có những tiến bộ ngoạn mục, nhiều khía cạnh của

thích song hành, nó dễ dàng kết hợp hòa đồng với boson khác càng nhiều càng tốt trong
cùng một trạng thái, tập thể của chúng tuân theo phép thống kê Bose-Einstein. Cũng chính
vì đặc tính hòa đồng này của tập thể các boson mà ta có laser, có hiện tượng siêu lỏng, siêu
dẫn (một công nghệ của thế kỷ 21), có chất đông đặc Bose-Einstein tân kỳ kết hợp hàng
triệu nguyên tử trong cùng một trạng thái mà những ứng dụng trong công nghệ nano là một
thí dụ. Hai tính chất trái ngược nhau giữa fermion và boson là một đặc trưng của lượng tử
mà phương trình Dirac với phép phản giao hoán[15] của ma trận γ
μ
và spinor giữ vai trò
chủ yếu. Mối liên hệ kể trên giữa spin và thống kê là một trong vài định lý sâu sắc nhất của
vật lý nói chung mà Wolfgang Pauli - người tiên đoán ra hạt ‘ma‘ neutrino, tên hạt này lại
do Enrico Fermi đặt ra - chứng minh năm 1940. Ngày nay nhìn lại, ta chẳng khỏi sững sờ
nhận thấy trong khoảng thời gian tương đối ngắn, chỉ hơn mười năm ở Âu châu trước thời
phát xít, đã xuất hiện biết bao cây đại thụ đặt nền tảng cho thuyết Lượng tử hiện đại mà
dấu ấn ngày càng in đậm!
3- Lược thuật về thuyết Tương đối
Sau vòng dạo chơi trong thế giới vi mô của Lượng tử, mời bạn đọc quay bước sang thăm
miền đất mênh mang của Tương đối, hai ngọn hải đăng của thế giới vi mô và vĩ mô hội tụ
trong phương trình Dirac và nhiều nữa.
3a- Tương đối đặc biệt (hẹp).
7
Ai trong chúng ta khi đi máy bay cửa sổ đóng kín và không gặp bão lay động mà có thể
cảm thấy mình di chuyển với vận tốc khoảng ngàn cây số trong một giờ ? Khoảng bốn
trăm năm trước đây, Galilei cũng đưa ra một thí dụ tương tự, mở đầu cho nguyên lý tương
đối mang tên ông: trong hầm kín mít không giao tiếp gì với thế giới bên ngoài của một
chiếc tàu thủy di chuyển đều đặn với vận tốc v cố định, ta hãy quan sát những con bướm
bay khắp phía và những giọt nước tí tách rơi. Nay để tàu đứng yên, ta thấy bướm vẫn bay
và nước vẫn rơi hệt như trước, chẳng có gì thay đổi. Rồi tàu lại di chuyển đều đặn, nhưng
với vận tốc và chiều hướng khác, bướm vẫn bay và nước vẫn rơi như khi tàu dừng ở bến.
Nói một cách khác: những định luật miêu tả các hiện tượng thiên nhiên (bướm bay, nước

gắn liền một đồng hồ đo thời gian với nhịp điệu tích tắc khác nhau. Sở dĩ bạn và tôi tưởng
rằng chúng ta chia sẻ một thời gian phổ quát, chỉ vì cộng nghiệp con người trong cái không
gian quá nhỏ bé so với vũ trụ, bạn và tôi đâu có xa nhau gì, vận tốc tương đối giữa chúng
ta thấm gì so với vận tốc ánh sáng (v²⁄c² « 1, ρ ≈ 1). Hơn nữa không có mũi tên thời gian
lạnh lùng trôi của trực giác mà cơ học cổ điển Newton thừa nhận, cũng không có khái niệm
hiện tại, cái bây giờ chẳng thể xác định và giữ vai trò ưu tiên đặc thù nào hết. Đã không có
8
hiện tại thì nói chi đến quá khứ và tương lai, đó là nội dung triết học quá ư kinh ngạc của
thuyết tương đối hẹp và rộng trong nhận thức về thời gian, nó không phải là mũi tên trôi
một chiều từ quá khứ đến tương lai mà chỉ là một trong bốn thành phần của thực tại mang
tên gọi không-thời gian chẳng cứng nhắc mà đàn hồi. Diễn tả hàm súc nhất về nhận thức
này có lẽ nằm trong bức thư Einstein gửi cho con trai của Besso[18] khi nghe tin bạn mất.
Bức thư viết: ‘’Vậy bạn đã trước tôi một chút giã từ cái thế gian lạ lùng này. Điều đó chẳng
nghĩa lý gì. Đối với chúng ta, những nhà vật lý mang xác tín, sự chia cách quá khứ, hiện tại
và tương lai chỉ có giá trị của một ảo tưởng, dẫu nó dai dẳng đến thế nào’’.
3b- Tương đối tổng quát (rộng).
Một ngày tháng Mười Một năm 1907 đang ngồi trong Phòng Đăng ký Bằng Sáng chế của
thành phố Bern, Einstein chợt nẩy ra một ý tưởng mà ông coi như mãn nguyện nhất trong
đời: một người rớt từ trên cao xuống không cảm thấy sức nặng của mình. Ngày nay phi
hành gia lơ lửng trong những hỏa tiễn thám hiểm vũ trụ là hình ảnh quen thuộc của hiện
tượng vô trọng lực. Bất kỳ mỗi điểm trong một thang máy đứt dây và rơi tự do đều có thể
coi như một hệ qui chiếu quán tính trong đó trọng lực như bị xóa đi, phản ánh ý tuởng sung
suớng nhất trong đời Einstein. Thêm bước nữa, ông mường tượng một nơi xa lánh tất cả
mọi thiên hà tinh tú, một không gian ở đó vắng mặt trọng trường. Trong cái không gian vô
trọng lực ấy, có một hòm mà ta đẩy mạnh lên cao với một gia tốc nào đó, ta thấy mọi vật ở
trong hòm bị đẩy rơi ngược chiều xuống thấp với cùng một gia tốc, giống như nó bị hút
xuống bởi một trọng lực, điều quá quen thuộc trên xe hơi khi ta bất chợt nhấn mạnh phanh,
mọi người như bị kéo về phía trước. Vậy thì vận chuyển có gia tốc nào khác gì tác động
của trọng trường, có một mối liên hệ mật thiết giữa gia tốc và sức hút của trọng lực. Những
tác dụng của một trọng trường thực có thể như bị xóa bỏ trong một hệ qui chiếu rơi tự do

(hay hẹp) bảo cho ta đồng hồ tích tắc nhanh (hay chậm) hơn so với mặt đất, mà sự chính
xác khoảng một phần ngàn tỷ giây của đồng hồ là điều kiện tối quan trọng cho GPS thành
công.
Mời bạn coi bức thư Einstein gửi ngày mồng 9 tháng giêng năm 1916 cho Karl
Schwarzschild, nhà vật lý thiên văn Đức đã đầu tiên giải được chính xác phương trình của
thuyết tương đối rộng mà Einstein công bố tháng trước: “cái đặc điểm của lý thuyết mới
này là không gian và thời gian tự chúng chẳng có tính chất vật lý gì cả. Nói đùa thôi, giả
thử vạn vật trên đời biến mất, thì theo Newton ta hãy còn một không gian rỗng tuếch
phẳng lặng mênh mang và một mũi tên thời gian lặng lẽ trôi, nhưng theo tôi thì tuyệt nhiên
chẳng còn chi hết, cả không gian lẫn thời gian và vật chất!”. Không-thời gian chẳng còn là
một sân khấu bàng quan trong đó vật chất vận hành một cách độc lập, không có diễn viên
(vật chất) thì sân khấu (không-thời gian) cũng chẳng còn. Thực là một cuộc cách mạng về
tư duy mà Einstein mang đến cho nhân loại: chính vật chất trong đó có da thịt tâm tư con
người xây dựng ra vũ trụ. Vật chất và không-thời gian chỉ là hai khía cạnh của một bản thể
10