Câu 1:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

a = ( 0;3; −1) , b = i + 2 j + 2k . Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai:
B. a − b = ( −1;1; −3)

A. a.b = 4

C. a + b = (1;5;1)

D. a = b

Đáp án D.

a = ( 0;3; −1)  a = 10

b = (1; 2; 2 )  b = 3 . Vậy D sai.
Câu 2:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

( P ) : 2x − 5 y + z −1 = 0

và A (1;2; −1) . Đường thẳng Δ qua A và vuông góc với

( P)

có

phương trình là:

x = 2 + t

A.  y = −5 + 2t


 x = 3 − 2t

 y = −3 + 5t
 z = −t


Câu 3:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

( S ) : ( x − 1)

2

+ ( y − 2 ) + ( z − 3) = 9 . Đường thẳng d cắt mặt cầu ( S ) tại hai điểm A và B biết
2

2

tiếp diện của ( S ) tại A và B vuông góc. Khi đó độ dài AB là:
A.

9
2

B. 3

C. 3 2

D.


B. ‒8

A. 8

C. 7

D. ‒7

Đáp án B.
- Gọi vecto pháp tuyến của ( P ) là n = ( a; b; c )  0
- d  ( P )  n.ud = 0  a + b − c = 0  c = a + b (1)
- Δ có vecto chỉ phương u = (1;1; 2 ) , góc giữa Δ và ( P ) là 30° nên
n.u

sin 30 =



n . u

Thế (1) vào (2) 

a + b + 2c
1
=
(2)
2
a 2 + b 2 + c 2 . 12 + 12 + 4

3 a+b

Câu 5:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
phẳng ( P ) : 2 x − 2 y − z + 3 = 0 và điểm M (1; −2;13) . Tính khoảng cách d từ điểm M đến mặt
phẳng ( P )


A. d =

4
.
3

B. d =

7
.
3

C. d =

10
.
3

4
D. d = − .
3

Đáp án A
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) là:


 D ( 0; −8;0 )

Đáp án C
Điểm D  Oy nên D ( 0; y;0 ) . Suy ra AD = ( −2; y − 1;1) .
Ta có AB = (1; −1; 2 ) , AC = ( 0; −2; 4 )   AB, AC  = ( 0; −4; −2 ) .
Khi đó VABCD =

2 y −1
1
 . AD = 1 −4 y + 2 =
.
AB
,
AC

6
6
3

Từ giả thiết ta có VABCD = 5 

2 y −1
3

y = 8
=5 
. Vậy
 y = −7

 D ( 0; −7;0 )


bán

kính

R = 12 + ( −2 ) + 32 − 9 = 5 .
2

Câu 8:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt
phẳng có phương trình

( P ) : x − y + 4z − 2 = 0

và ( Q ) : 2 x − 2 z + 7 = 0 . Góc giữa hai mặt

phẳng ( P ) và ( Q ) là
A. 900 .

D. 300 .

C. 600 .

B. 450 .

Đáp án C
Mặt phẳng ( P ) có vectơ pháp tuyến là n( P ) = (1; −1; 4 ) . Mặt phẳng

( Q ) có vectơ pháp tuyến

là n( Q ) = ( 2;0; −2 ) .

2

n( P ) . n( Q )

2

(( P ) , (Q )) = 60 .
0

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay
Nhập vào máy tính các vectơ: VctA = 1; −2;4 , VctB =  2;0; −2 .

Câu 9:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương
trình mặt cầu tâm I ( 3;2;4) và tiếp xúc với trục Oy
A. x 2 + y 2 + z 2 − 6 x − 4 y − 8z + 3 = 0 .

B. x 2 + y 2 + z 2 − 6 x − 4 y − 8z + 1 = 0 .

C. x 2 + y 2 + z 2 − 6 x − 4 y − 8z + 2 = 0 .

D. x 2 + y 2 + z 2 − 6 x − 4 y − 8z + 4 = 0 .

Đáp án D
Gọi M là hình chiếu của điểm I ( 3;2;4) trên Oy, suy ra M ( 0; 2;0 ) . Khi đó IM = ( −3;0; −4 ) .
Mặt cầu tâm I ( 3;2;4) tiếp xúc với trục Oy nên bán kính mặt cầu là R = IM = 5 .
Phương trình mặt cầu ( S ) là ( x − 3) + ( y − 2 ) + ( z − 4 ) = 25
2

2


phẳng

( ABC ) ,

S là điểm di động trên đường thẳng d, G và H lần lượt là trọng tâm của

ABC , trực tâm của SBC . Đường thẳng GH cắt đường thẳng d tại S ' . Tính tích SA.S ' A
A. SA.S ' A =

3
.
2

B. SA.S ' A =

9
.
2

C. SA.S ' A = 12 .

D. SA.S ' A = 6 .

Đáp án C
Nhận thấy AB = BC = CA = 2 6 nên ABC đều. Do G là trọng tâm của

CG ⊥ AB , mà CG ⊥ SA  CG ⊥ ( SAB )  CG ⊥ SB . Lại có CH ⊥ SB (H
là trực tâm của SBC ) nên SB ⊥ ( CHG ) . Suy ra SB ⊥ GH .
Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có BC ⊥ SA, BC ⊥ AM  BC ⊥ ( SAM )  BC ⊥ GH .


B. 1

C. 2

D. 3

Đáp án C.
Tính được AB = BC = CA = 2 .
Do D  ( Oxy )  D ( x0 ; y0 ;0)

 DA = 2

Yêu cầu bài toán  DA = DB = DC = 2   DB = 2

 DC = 2
 x2 + y 2 = 2
 x02 + y02 = 2
0
 0
 x0 = 1
2
2


  x02 + ( y0 − 1) + 1 = 2   x02 + ( y0 − 1) = 1  
 x0 + y0 = 2 .
y0 = 1



C.

x −1 y − 2 z + 3
=
=
2
−3
4

D.

x +1 y + 2 z − 3
=
=
−2
3
−4

Đáp án C.
Đường thẳng AB đi qua điểm A (1; 2; −3) và có một VTCP là AB = ( 2; −3; 4 )
Do đó có phương trình

x −1 y − 2 z + 3
=
=
.
2
−3
4



phương trình đường thẳng (  ) đi qua A ( 2;1; −1) và cắt cả hai đường thẳng d1 :  y = t và
 z = 2t

d2 :

x −1 y + 2 z + 3
=
=
.
3
4
5

x = 2 − t

A.  y = 1 − 3t
 z = −1 − 2t


x = 1+ t

B.  y = 2 − t
 z = 1 − 2t


 x = 2 − 3t

C.  y = 1 − t
 z = −1 − 2t

D.


Câu 16:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

A ( 2;11; −5) và mặt phẳng ( P ) : 2mx + ( m2 + 1) y + ( m 2 − 1) z − 10 = 0 . Biết rằng khi m thay

đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với ( P ) và cùng đi qua A. Tìm tổng bán kính của hai
mặt cầu đó.
A. 2 2

B. 5 2

C. 7 2

D. 12 2

Đáp án D.
Gọi I ( a; b; c ) , r lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu

( b − c ) m2 + 2ma + b − c − 10

 r = d ( I ; ( P )) =

(
(

(m

2


Do A  ( S )  4 + −11 − 5 − r 2

)

2

)

2

+ ( z + 5) = r 2
2

r = 2 2
= r 2  r 2 − 12 2r + 40 = 0  
 r = 10 2

- Xét phương trình (2): ta làm tương tự như trên  không thỏa đề bài.
Vậy tổng bán kính 2 mặt cầu là 12 2 .
Câu 17( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
điểm A ( 2; −1;1) và B (1;1;3) . Đường thẳng AB nhận vectơ nào dưới đây làm vectơ chỉ
phương?
A. u1 = (1; −2; −2 ) .

B. u2 = ( 3;0; 4 ) .

C. u3 = ( −1;0; 2 ) .

D. u4 = ( −1; −2; 2 ) .

h = d ( S , ( P )) =

2.2 + 3 − 2.5 − 3
22 + 12 + ( −2 )

2

=1

1
Suy ra thể tích khối chóp bằng V = .12.1 = 4
3

Phương án B: Sai do HS tính đúng độ dài chiều cao nhưng thiếu

1
trong công thức tính thể
3

tích của khối chóp.
Phương án D: Sai do HS tính sai độ dài chiều cao của hình chóp và thiếu

1
trong công thức
3

tính thể tích của khối chóp.Cụ thể:
h = d ( S , ( P )) =

2.2 + 3 − 2.5 − 3

phương của  . Cụ thể : u = ( −1; 2;0 ) là một vectơ chỉ phương của d. Suy ra  nhận vectơ

−  AB, u  = ( 4; 2;3) làm một vectơ chỉ phương.
Phương án D: Sai do HS xác định sai tọa độ của vecto AB = ( 3;1; −4 ) nên tính sai tọa độ
vectơ chỉ phương của  . Cụ thể  nhận vecto

−  AB, u  = ( 3;11;5) làm một vectơ chỉ

phương.
Câu 20:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
phẳng ( P ) : 2 x + 2 y + z − 3 = 0 và ba điểm A ( 0;1;2) , B ( 2; −2;1) , C ( −2;0;1) . Biết rằng tồn tại
điểm M ( a; b; c ) thuộc mặt phẳng ( P ) và cách đều ba điểm A,B,C. Tính giá trị của biểu thức
T = a 3 + b3 + c 3 .

A. T = 308.

B. T = 378.

C. T = −308.

D. T = 27.

Đáp án C
Ta có M  ( P)  2a + 2b + c − 3 = 0
a 2 + ( b − 1)2 + ( c − 2 )2 = ( a − 2 )2 + ( b + 2 )2 + ( c − 1)2
MA = MB = MC  
2
2
2
2

a + b = 0

Suy ra T = 27.
Câu 21:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam
giác ABC có A ( 2;3;1) , B ( −1;2;0) , C (1;1; −2) . Đường thẳng d đi qua trực tâm của tam giác
ABC và vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) có phương trình là
A.

x −1 y + 5 z − 4
=
=
.
1
−8
5

B.

x − 2 y + 13 z − 9
=
=
.
1
−8
5

C.

x + 1 y − 11 z + 6
=




 2 29 1 
 ( x; y; z) =  ; ; −  .
CH ⊥ AB  CH.AB = 0  3x + y + z = 2
 15 15 3 
 H  ABC
 H  ABC
 x − 8y + 5z = −17
(
)
(
)



 2 29 1 
Suy ra H  ; ; −  .
 15 15 3 

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên nhận  AB, AC = (1; −8;5) làm một
2
29
1
x−
y−
z+
15 =
15 =

Ta có IM =  ; − ; −   IM = .
9
9
3
 9

Do đó MA = MB = MC = IM 2 − R2 =

20
.
3

Suy ra tọa độ của A, B, C thỏa mãn phương trình
2

2

2

59  
32  
2
400

 x − 9  +  y + 9  +  z− 9  = 9

 
 

118

 2
.
2
2
 x + y + z − 2x − 4y − 6z − 11 = 0
Như vậy tọa độ của A, B, C thỏa mãn phương trình −2x + 2y + z + 4 = 0 nên mặt phẳng
(ABC) có phương trình là −2x + 2y + z + 4 = 0.
Suy ra p = −2; q = 2; r = 4. Vậy q + p + r = 4.
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS viết được phương trình 2x − 2y − z − 4 = 0 nên suy ra
p = 2; q = −2; r = −4.

Phương án C: Sai do HS xác định p = −2; q = 2; r = 1.
Phương án D: Sai do HS xác định sai hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (ABC).
Cụ thể H được xác định dựa vào hệ thức vectơ IH = −

R2
 91 64 14 
IM nên H  ; − ; −  .
9
9
IM
 9

Do đó viết được phương trình mặt phẳng (ABC) là −2x + 2y + z + 36 = 0.


Suy ra p = −2; q = 2; r = 36.
Câu 23:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho tam giác ABC có A (1;2) , B (5;4 ) , C (3; −2 ) .
Gọi A ', B ', C ' lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép vị tự tâm I (1;5) , tỉ số k = −3 . Bán kính

2
( a − 1) + ( b − 2 ) = ( a − 3) + ( b + 2 )
2

2

2

−2a − 4b + 5 = −10a − 8b + 41 2a + b = 9
a = 4



→ K ( 4;1) .
 −2a − 4b + 5 = −6a + 4b + 13
a − 2b = 2
b =1
Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC là R = AK =

( 4 − 1) + (1 − 2)
2

2

= 10 .

Gọi K ' là tâm đường tròn ngoại tiếp A ' B ' C ' , do V(1,−3) ( ABC ) = A ' B ' C ' nên
V(1,−3) ( K ) = K ' → IK ' = −3IK . Mà V(1;−3) ( A ) = A ' → IA ' = −3.IA .

(


C. P (1; −1;3) .

D. M ( −1;2;0 ) .


Câu 26:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong khôn gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt
cầu ( S ) : x  + ( y − 4 ) + z 2 = 5 . Tìm tọa độ điểm A thuộc trục Oy, biết rằng ba mặt phẳng
2

phân biệt qua A có các vec-tơ pháp tuyến lần lượt là các vec-tơ đơn vị của các trục tọa độ cắt
mặt cầu theo thiết diện là ba hình tròn có tổng diện tích là 11
 A ( 0;0;0 )
B. 
.
 A ( 0;8;0 )

 A ( 0; 2;0 )
A. 
.
 A ( 0;6;0 )

 A ( 0;0;0 )
C. 
.
 A ( 0;6;0 )

 A ( 0; 2;0 )
D. 
.


S3 = 11 − ( S1 + S2 ) = 11 −10 =  . Bán kính đường tròn này là r =
b = 2
→ d ( I ; ( 3 ) ) = R 2 − r 2 = 2 = 4 − b  
. Vậy
b = 6

S3

= 1.



 A ( 0; 2;0 )
.

 A ( 0;6;0 )

Câu 27:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng

( P ) : ax + by + cz + d = 0, ( a 2 + b 2 + c 2  0 )

đi qua điểm B (1;0;2) , C ( −1; −1;0 ) và cách

A ( 2;5;3) một khoảng lớn nhất. Khi đó giá trị của biểu thức M =
A. M = 1 .

B. M =

3


( P ) . Khi đó AH = d ( A; ( P ))  AI
( P ) qua I và vuông góc với AI.

và AH đạt giá trị lớn nhất khi H  I . Suy ra mặt phẳng


I  BC  I (1 − 2t; −t;2 − 2t )

Từ

và

AI = ( −1 − 2t; −t − 5; −1 − 2t ) .
Lại

có

AI ⊥ BC  AI .BC = 0  2 (1 + 2t ) + ( t + 5) + 2 (1 + 2t ) = 0  t = −1 .
Mặt phẳng ( P ) đi qua I ( 3;1; 4 ) và nhận VTPT là AI = (1; −4;1) nên có phương trình tổng
quát là: x − 4 y + z − 3 = 0 .
Vậy a = 1, b = −4, c = 1, d = −3 → M =

1+1
2
=− .
−4 − 3
7

Câu 28:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho


mặt

phẳng

( P ) , (Q)

lần

lượt

có

phương

trình

x + 2 y + 2 z + 3 = 0; x + 2 y + 2 z + 7 = 0 . Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I thuộc đường

thẳng d, tiếp xúc với hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) .
A. ( x + 3) + ( y + 1) + ( z − 3) =

4
9

B. ( x − 3) + ( y + 1) + ( z + 3) =

4
9


2

2

Đáp án B.
Ta có I  d → I ( t; −1; −t ) . Do mặt cầu ( S ) tiếp xúc với hai mặt phẳng ( P ) và
có d ( I ; ( P ) ) = d ( I ; ( Q ) )

(Q)

nên ta




t − 2 − 2t + 3 t − 2 − 2t + 7
=
 1 − t = 5 − t  t = 3 → I ( 3; −1; −3) .
3
3

Mặt cầu

(S )

có bán kính là

( x − 3) + ( y + 1) + ( z + 3)
2


OA OB OC 2

nhất
A. ( P ) : x + 2 y + 3z − 14 = 0

B. ( P ) : x + 2 y + 3z −11 = 0

C. ( P ) : x + 2 y + z − 14 = 0

D. ( P ) : x + y + 3z − 14 = 0

Đáp án D.
Xét tứ diện vuông OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nên hình chiếu của O lên mặt
phẳng ( ABC ) chính là trực tâm H của tam giác ABC và d ( O; ( ABC ) ) = h

1
1
1
1
1
1
1
=
+
+
+
+
, nên
có giá trị nhỏ nhất khi d ( O; ( ABC ) )
2

B. a + b + c = 0

C. a + b + c =

12
5

D. a + b + c = 12

Đáp án A.
Mặt cầu ( S ) có tâm I (1;1;1) và bán kính R = 1 . Gọi E là điểm thỏa mãn hệ thức

3EA + 2 EB + EC = 0 → E (1; 4; −3) .

(

)

2

(

) (
2

Ta có T = 3MA2 + 2MB2 + MC 2 = 3 ME + EA + 2 ME + EB + ME + EC

)

2

5   2 9
 M 2 1; ; 
  5 5

 8 1
 2 9
Ta có M 1 1; ;  → M 1 E = 4 và M 2 1; ;  → M 2 E = 6 . Vậy M1 E  M 2 E và biểu thức
 5 5
 5 5

 8 1
T = 3MA2 + 2MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi M  1; ; 
 5 5
8
1
14
→ a = 1, b = , c = → a + b + c = .
5
5
5

Câu 32:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
a = (−3;5; 2) , b = (0; −1;3) , c = (1; −1;1) thì tọa độ v = 2a − 3b + 15c là:

A. v = (9; 2;10) .

B. v = (9; −2;10) .

C. v = (−9; 2;10) .



=0
z =
8

 I = (−1; −2;0)

D. 7.


Ta có MA + 2MB + 5MC = MI + IA + 2MI + 2IB + 5MI + 5IC

= 8MI + IA + 2IB + 5IC = 8MI

 MA + 2MB + 5MC min  8 MI min  M là hình chiếu của I lên (P)
Gọi  là đường thẳng đi qua I ( −1;2;0) và vuông góc với

 x = −1 + 2t

(P) : 2 x + 4 y + 3z − 19 = 0 có vectơ chỉ phương là ( 2;4;3)   :  y = −2 + 4t
 z = 3t

Thế vào (P)  2(−1 + 2t ) + 4(−2 + 4 t) + 3(3 t) − 19  t = 1

x = 1

  y = 2  M (1; 2;3)  a + b + c = 6
z = 3

Câu 34:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

x −1 3 − y
=
= z + 1 . Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình
thẳng d :
2
−1
tham số của đường thẳng d?


 x = 1 + 2t

A.  y = 3 − t
 z = −1


 x = 1 + 2t

B.  y = −3 + t
 z = −1 + t


 x = 1 + 2t

C.  y = −3 − t
 z = −1 + t


D.

 x = −1 + 2t

−1

( P ) sao cho d cắt và vuông góc với

 có phương trình là:

A.

x + 3 y −1 z −1
=
=
1
−1
2

B.

x +1 y − 3 z +1
=
=
−1
2
1

C.

x − 3 y +1 z +1
=
=
1

 d ⊥ 


 Đường thẳng d có một vecto chỉ phương ud = u , nP  = ( −1; 2;1)

Vậy d :

x + 3 y −1 z −1
=
=
.
−1
2
1

Câu 38:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt
phẳng ( ) : 2 x + 4 y − 5z + 2 = 0 , (  ) : x + 2 y − 2 z + 1 = 0 và ( ) : 4 x − my + z + n = 0 . Để ba
mặt phẳng đó có chung giao tuyến thì tổng m + n bằng
A. −4

C. −8

B. 8

D. 4

Đáp án A.
Nhìn vào phương trình ( ) , để tính m + n ta cần có y = −1 .

x = 1


 x = 1 + 2t

Dấu “=” xảy ra khi d ⊥ ( ABC ) tại điểm D  d :  y = 1 + 3t  N ( 5;7;3)  d
z = z + t


Câu 40:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hai vectơ u = ( 3; m;0 ) , v = (1;7 − 2m;0 ) lần
lượt là hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng song song khi đó giá trị của m là:
A. 2.
Đáp án D.

B. 1.

C. 0.

D. 3.


Thỏa mãn đề bài suy ra hai vectơ u và v phải cùng phương


3
m
=
 21 − 6m = m  7 m = 21  m = 3
1 7 − 2m

Câu 41:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường
x y −1 z +1

=
=
.
1
−1
2

B.

x +1 y − 3 z +1
=
=
.
−1
2
2

C.

x − 3 y +1 z +1
=
=
.
1
−1
2

D.

x + 3 y −1 z −1

=
=
−1
2
1

Câu 43:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường
thẳng  :

x −1 y z + 2
= =
và mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + z = 0. Gọi C là giao điểm của  và
2
1
−1

( P ) , M là điểm thuộc

 . Tính khoảng cách từ M đến ( P ) , biết MC = 6.

A. d ( M , ( P ) ) = 6.
Đáp án B.

B. d ( M , ( P ) ) =

1
.
6

C. d ( M , ( P ) ) = 3.

điểm A (1;0;0) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) ( b.c  0 ) , mặt phẳng ( P ) có phương trình: y − z + 1 = 0.
Biết mặt phẳng ( ABC ) vuông góc với mặt phẳng ( P ) và khoảng cách từ gốc O đến mặt
phẳng ( ABC ) bằng
A.

1
.
2

1
. Tính b + c.
3

B. 2.

C. 1.

D.

3
.
2

Đáp án C.
x y z
Mặt phẳng ( ABC ) : + + = 1 và ( ABC ) ⊥ ( P )
1 b c


1 1


B. M  − ; − ; 
 6 2 3
5

1 5

C. M  ; − ; 
 6 2 3
5

1 5

D.


3. ( −1) + 4.0 + 2 ( −1)

5

x =
x = − 6
3
+
4
−
1


3.0 + 4. ( −1) − 1. ( −1) 

 z = 2 − 2t


( P ) cách đều hai

đường thẳng d1 và d 2 .
A. ( P ) : 2 x − 2 y + z + 1 = 0

B. ( P ) : 4 x + 5 y + 2 z + 11 = 0

C. ( P ) : 3x − 2 y + z + 2 = 0

D. ( P ) : 3x + 2 y + z + 6 = 0

Đáp án B.
Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương u1 = (1;0; −2 ) và M (1; −3;2)  d1
Đường thẳng d 2 có vecto chỉ phương u2 = (1; −2;3) và N ( −3;1; −4 )  d2
Trung điểm MN là I ( −1; −1; −1) ; u1  u2 = ( −4; −5; −2 )
Mặt phẳng ( P ) cách đều 2 đường thẳng d1 , d2 khi ( P ) qua I ( −1; −1; −1) và có vecto pháp
tuyến n = n1  u2

 ( P ) : −4 ( x + 1) − 5 ( y + 1) − 2 z ( z + 1) = 0  4 x + 5 y + 2 z + 11 = 0

Câu 47:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
phẳng
d:

( P ) : 2 x − 2 y + z + 3 = 0 và mặt cầu ( S ) : ( x − 1)2 + ( y + 3)2 + z 2 = 9 và đường thẳng

x y + 2 z +1


2

=

11
 R nên B sai.
3

Đường thẳng d có vecto chỉ phương u = ( −2;1; 2 ) và M ( 0; −2; −1)  d

 IM = ( −1;1; −1)  d( I ;d )

u , IM 


=
=
u

( −3) + 02 + ( −1)
2
( −2 ) + 12 + 22
2

2

=

10

= a2 +

8x 8x
x x
x x
2
+ + b 2 + + + c 2 + +  3 3 ( 8 x ) + 3 3 x 2 + 3 3 x 2 (Cô – si) (*)
a
a
b b
c c

D. −11


 2 8x
a = a
a = 2 3 x

3 x = 6

3
b 2 = x

b = x


a = 12
b
 c = 3 x


2

cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến là một đường tròn. Đường tròn giao tuyến này có bán

kính r bằng:
C. r = 6.

B. r = 5.

A. r = 6.

D. r = 5.

Đáp án C
Mặt cầu ( S) có tâm I ( 4; −5; −2) , bán kính R = 5
Ta có d ( I ; ( P ) ) =

3.4 + ( −5) − 3. ( −2 ) + 6
32 + 12 + ( −3)

2

= 19

Bán kính đường tròn giao tuyến là: r = R 2 − d 2 ( I ; ( P ) ) = 25 − 19 = 6
Câu 50:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
điểm A ( 2;1; −1) , B ( 0;3;1) và mặt phẳng ( P ) : x + y − z + 3 = 0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc

( P ) sao cho