(Gv Đặng Thành Nam 2018) Trong không gian Oxyz, một véctơ chỉ phương của

Câu 1

x = 1 + t

đường thẳng d :  y = 2 − 3t là
 z = −1 + t

A. u1 (1;2; −1).

B. u2 (1;2;1).

C. u3 (1;3;1).

D. u4 (1; −3;1).

Đáp án D
(Gv Đặng Thành Nam 2018 )Trong không gian Oxyz, mặt phẳng qua ba điểm

Câu 2:

M (−1;0;0), N (0; 2;0), P(0;0; −3) là

A.

x y z
x y z
+ +
= −1. B. + + = −1.
−1 2 −3

C. 8 .

D.

8
.
3

Đáp án A
Câu 4

(Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình

mặt phẳng qua A(2;1;3) và vuông góc với đường thẳng Δ :

x y z
= = là
1 2 3

A. x + 2 y + 3z − 14 = 0.

B. 2 x + y + 3z − 13 = 0.

C. x + 2 y + 3z − 13 = 0.

D. 2 x + y + 3z − 14 = 0.

Đáp án C
Câu 5


D.  y = −2 .
z = 3 − t



x = 1+ t

Có u =  nP , nQ  = (2;0; −2)   :  y = −2 .
z = 3 − t

(Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

Câu 6

A(1; −2;3), B(−3;0;1) và đường thẳng d :

x − 2 y +1 z +1
=
=
. Điểm M (a; b; c) thuộc d sao
1
2
−2

cho MA2 + MB 2 nhỏ nhất. Giá trị biểu thức a + b + c bằng
A. −1.

B. 2.

C. 1.


Đáp án D
Tứ diện OABC là tứ diện vuông do đó góc nhị diện

(( ABC ) , (OBC ))  90 .

Mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng phân giác của góc nhị diện này có điểm O, A nằm khác phía
với

(P).

x y z
Có ( ABC ) : + + = 1; ( OBC ) : x = 0.
1 2 3

Vậy mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi hai mặt phẳng này có phương trình:
x y z
+ + −1
1 2 3
2

2

1  1   1 
  +  + 
1  2   3 

2

=

3
3
Ta có OI = OA  MI − MO = MA − MO  MO = 3MA − 2MI .
2
2

Do đó MO 2 = 3MA2 − 2MI 2 + 6 IA2  4 = 3MA2 − 2MI 2 + 24  3MA2 − 2MI 2 + 20 = 0
Đặt MA = a, MI = b có
4
 a − b = MA − MI  IA = 2
2
2
2
 3 a  b  2a

 2
2
b
−
3
a

5
a
−
b

(
)
2


C. P(0; −1;0).

Đáp án D
Câu 10

(Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt

phẳng ( P) : 2 x − 2 y + z + 5 = 0. . Mặt phẳng ( P ) có một véctơ pháp tuyến là
A. n1 = (2; −2;1).

B. n2 = (1;1;0).

C. n3 = (2; −2;5).

D. n4 = (−2;1;2).

Đáp án A
Câu 11

(Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt

phẳng ( P) : 2 x − y + 2 z − 3 = 0,(Q) : x + y + z − 3 = 0.

Giao

tuyến

của


Mặt phẳng cần tìm có phương trình 2( x − 1) − 2 y + 1( z − 1) = 0  2 x − 2 y + z − 3 = 0.
Câu 13 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường
thẳng d1 :

x +1 y −1 z
x −1 y −1 z +1
=
= . Đường thẳng qua điểm M (1;1;1) và
=
=
và d 2 :
2
−1 2
1
1
1

cắt d1, d2 lần lượt tại A, B. Tính tỉ số
A.

MA 3
= .
MB 2

B.

MA
.
MB


 a + kb = 0,
 kb = − .
MA = k MB  a = −kb
3
a − 2kb + k = 2

a − 2 = k (2b − 1)


k = −2


Khi đó

MA
= k = 2.
MB

Câu 14:

(Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm

A(1; −2;1), B(−2; 2;1), C (1; −2; 2). Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt mặt

phẳng (Oyz) tại điểm nào dưới đây ?
4 8

A.  0; − ;  .
3 3


2
2
2
AB
AC
 5 5 
(−3) + 4 + 0
0 + 0 +1


3

x = 1 − 5 t

4
5
2 8


 AM :  y = −2 + t  (Oyz ) : x = 0  t =  M  0; − ;  .
5
3
3 3


z = 1 + t


Câu 15


(Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt

phẳng ( P) : x + y − z − 3 = 0 và hai điểm A(1;1;1), B(−3; −3; −3). Mặt cầu ( S ) đi qua A, B và
tiếp xúc với

(P) tại C. Biết rằng C luôn thuộc một đường tròn cố định. Tìm bán kính R của

đường tròn đó.
A. R = 4.

B. R =

2 33
.
3

C. R =

2 11
.
3

D. R = 6.

Đáp án D
Gọi M = AB

( P), khi đó dễ có M (3;3;3). Gọi tâm mặt cầu là điểm I ta có

MA.MB = MI 2 − R 2 = MI 2 − IC 2 = MC 2 = 36  MC = 6.

2t

 (a − 1)2 + (b − 1)2 + (c − 1)2 − 4(3 + a + b + c) = 0
 (a − 3)2 + (b − 3)2 + (c − 3)2 = 36.
2

3+3−3−3
Vậy bán kính đường tròn giao tuyến là r = 36 − 
 = 6.
 1+1+1 
Câu 17 (Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 2;1).
Tính độ dài đoạn thẳng OA.
A. OA = 5.

B. OA = 3.

C. OA = 9.

D. OA = 5.

Đáp án B
Câu 18 (Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình nào
dưới đây là phương trình của mặt phẳng toạ độ
A. x = 0.

B. y + z = 0.

(Oyz)?
C. y − z = 0.


 z = -2 + t


Đáp án B

x = 1+ t

Ta có: u = AB(1;1; −2)  AB :  y = 2 + t
 z = 1 − 2t

Câu 20

(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường

thẳng cắt nhau d1 :

x −1 y +1 z
x − 3 y z +1
=
=
, d2 :
= =
. Viết phương trình mặt phẳng
2
1
−1
−1
2
1



B. T = 8.

C. T = −7.

D. T = 13.

Đáp án A
 a + 3 2a − 3c + 2 −a + 4c − 1 
Gọi A ( a;1 + 2a; −1 − a )  d1 , C ( 3;1 − 3c; 4c )  d 3  B 
;
;
.
2
2
 2


a+3
2a − 3c + 2
−a + 4c − 1
−1
+1
7
2
2
Vì B  d 2 nên 2
=
=
 a = − , c = 0.

b
c
 2
Theo giả thiết ta có 
OB = 1 + OC
 b = 1+ c


4b

c = b + 3
b = 3, c = 2


b = −4 − 13, c = 3 + 13
 b = 1 + 4b

b+3
Vậy có tất cả hai mặt phẳng thoả mãn.

D. 3.


(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

Câu 23

( P ) : x + 2 y + z − 4 = 0. Có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng

(P) và tiếp

 x = −2, y = z = 2
x = y = z
x
+
2
y
+
z
−
4
=
0

 

  x = y = −z
  x = y = z = 1

 x = y = z
 x = z = − y
 x = y = 2, z = −2

  y = z = − x
Vậy có tất cả 3 mặt cầu thoả mãn.
(Gv Đặng Thành Nam)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm

Câu 24

A(1; 2; −1), M (2; 4;1), N (1;5;3). Tìm toạ độ điểm C nằm trên mặt phẳng ( P) : x + z − 27 = 0


(1; 2; 2 ) + ( 0;3; 4 ) =  ; ;  // (5;19; 22).
3
5
 3 15 15 

Nên AC = (5t ;19t ; 22t ) và suy ra điểm C (1 + 5t;2 + 19t; −1 + 22t ) .
Mặt khác C  ( P) : x + z − 27 = 0  27t − 27 = 0  t = 1  C (6; 21; 21).
Câu 25:

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

A ( 0;0; −2) , B ( 4;0;0) . Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là
A. M ( 0;4; −2) .

B. N ( 4;0; −2 ) .

C. P ( 2;0; −1) .

D. Q ( 0;2; −1)


Đáp án C
Tam giác OAB vuông tại O nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh AB, tức điểm
P(2;0; −1).

Câu 26:
d:

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng



(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

M ( 3; −1;1) . Gọi M1M 2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục yOy, zOz .
Đường thẳng M1M 2 có véctơ chỉ phương nào dưới đây ?
A. u1 ( 0;1;1) . B. u2 ( 3;1;0 ) . C. u3 ( 0; −1;1) . D. u4 ( 3; −1;0 ) .
Đáp án A
Ta có M1 (0; −1;0), M 2 (0;0;1)  M1M 2 = (0;1;1).
Câu 29

(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm

A (1;2;1) , B ( −2;1;3) , C ( 2; −1;3) , D ( 0;3;1) . Mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz − 10 = 0 đi qua hai
điểm A, B và cách đều hai điểm C, D và hai điểm C, D nằm khác phía so với mặt phẳng ( P )
. Tính S = a + b + c .
A. S = 7 .

B. S = 15 .

C. S = 6 .

D. S = 13 .

Đáp án A
Vì

(P) cách đều hai điểm C,D và hai điểm C,D nằm khác phía so với mặt phẳng

(P) đi qua điểm E (1;1; 2) là trung điểm của đoạn thẳng CD.
Vậy mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1; 2;1), B(−2;1;3), E (1;1; 2) có phương trình là

Đáp án B
Vì

(S) tiếp xúc

(d) tại I nên IA = R = 6 và IA ⊥ (d ). Gọi (Δ) là đường thẳng qua A,

nằm trong (P) và vuông góc với

(d). Khi đó (Δ) có véctơ chỉ phương

uΔ =  nP , ud  = (−2;1;1)(  nP = (1;1;1), ud = (2;1;3)).

 x = 3 − 2u

Suy ra (Δ) có phương trình:  y = 1 + u
z = 3 + u

Vì I  ( P),   IA ⊥ (d )  I  (Δ)  I ( 3 − 2u;1 + u;3 + u )  AI = ( −2u; u; u ) .
Suy ra AI 2 = 6u 2 = 6  u = 1  I (1; 2; 4), I (5;0; 2).
Đối chiếu điều kiện có a = 1, b = 2, c = 4 và a + 2b + 3c = 1 + 4 +12 = 17.
Câu 31

(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn đường

thẳng có phương trình
d1 :

x −1 y − 2
z


C. −

3
.
2

Đáp án B
Ta có d1 //d2 . Gọi

(P) là mặt phẳng chứa d1,d2 ta có

A(1; 2;0)  d1 , B(2; 2;0)  d 2 , A, B  ( P) và n( P ) =  AB, u1  = (0; 2; 2).

Do đó ( P) : y + z − 2 = 0.
Tọa độ giao điểm M = d3  ( P) là nghiệm của hệ

D. −

1
.
2


 x y z −1
1
3
 = =
 1 3
1  x = 1, y = , z =  M 1; ;  .

MA + 2 3
bằng
MB

B. 3 3 + 78 .

A. 3 6 + 78

C.

Đáp án C

Theo giả thiết và hệ thức lượng cho tam giác, ta có
P=

=

=

MA + 2 3 MA + AB 2 R sin B + 2 R sin M
=
=
MB
MB
2 R sin A

sin B + sin M
=
sin A





cos

54 + 6 78 .

D. 3 3 .


Trong đó sin( AB,( P)) =
Câu 33

1.2 − 2.2 + 2.2
3.2 3

=

 AB,( P) 
3
18 − 2 78
 sin 
.
 =

9
6
 2 

(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

x −1 y −1 z
=
=
. Hỏi d song song với mặt phẳng nào dưới đây ?
2
1
−2

A. 2 x + y − 2 z = 0 .

B. x + z −1 = 0 .

C. x + 2 y + 2 z − 3 = 0 . D. 2 y + z = 0 .

Đáp án D

 A  ( P)
Đường thẳng d qua điểm A(1;1;0), u (2;1; −2). Để d / /( P)  

u .nP = 0

Câu 36

(Gv Đặng Thành Nam)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình

mặt phẳng đi qua điểm M (1;1;1) và vuông góc với hai mặt phẳng ( Oxy ) , ( Ozx ) .
A. y − 1 = 0 .

B. x −1 = 0 .


3
2
1
1
3 −2

dưới đây là đường thẳng qua M và vuông góc với  và   .
A.

x +1 y −1 z −1
=
=
.
−1
1
3

B.

x
y −1 z − 3
=
=
.
−1
1
1

C.


A ( 2;0;0) , M (1;2;3) . Có bao nhiêu mặt phẳng qua A, M và cắt các trục toạ độ yOy , z Oz lần
lượt tại B,C khác gốc toạ độ O và toạ độ các điểm B và C là các số nguyên.
A. 8.

B. 15.

C. 13.

D. 16.

Đáp án B
Gọi B(0; b;0), C (0;0; c) phương trình mặt phẳng là
Vì M (1; 2;3) thuộc mặt phẳng nên

x y z
+ + = 1.
2 b c

1 2 3
6b
24
+ + =1 c =
= 6+
.
2 b c
b−4
b−4

Do đó b, c  Z  b − 4 là ước của 24.
Do đó b − 4  24; 12; 8; 6; 4; 3; 2; 1 với chú ý b  0  b − 4  −4.

Gọi M (a; b; c) có d ( M , Ox) = b2 + c 2 và d ( M , d ) = a 2 + (c − 1) 2 .
Vậy d (M , Ox) = d (M , d )  b2 + c 2 = a 2 + (c − 1)2  a 2 = b2 + 2c − 1.
Khi đó AM = a 2 + (b − 4) 2 + c 2 = b 2 + 2c − 1 + (b − 4) 2 + c 2
= 2(b − 2) 2 + (c + 1) 2 + 6  6.

Dấu bằng đạt tại b = 2, c = −1, a = 1.
Câu 40:

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

H ( a; b; c ) với a,b,c là các số thực thay đổi thoả mãn ab + bc + ca = −1 . Mặt phẳng ( ) qua


H và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B,C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Mặt
cầu tâm O tiếp xúc với ( ) có bán kính nhỏ nhất bằng
A. 1.

B. 2.

C.

2.

D.

3.

Đáp án C
Vì H là trực tâm tam giác ABC nên OH ⊥ ( ), do đó R = OH = a2 + b2 + c2 .
Ta có a 2 + b 2 + c 2 = (a + b + c)2 − 2(ab + bc + ca ) = (a + b + c ) 2 + 2  2  R  2.


C.

x y z
− + = 1.
1 2 3

D.

x y z
+ + = −1.
1 2 3

Đáp án C
Câu 43 (Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt cầu tâm O và
tiếp xúc với mặt phẳng ( P) : x + 2 y − 2 z + 18 = 0 có bán kính bằng
A. 2.

B. 6.

C. 18.

D. 9.

Đáp án B
Có R = d (O, ( P)) =

18
= 6.
1+ 4 + 4



9
7 1
Mặt khác B  ( P)  (4t + 1) + 3(−2t − 4) − 2(2t + 9) + 2 = 0  t = −  C (−8; ; − ).
2
2 2

Do đó a + b + c = −8 +

7 1
− = −5.
2 2

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm

Câu 45:

A(6; −3; 4), B(a; b; c). . Gọi M,N,P lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các mặt

phẳng toạ độ

(Oxy),

(Oyz),

(Ozx) sao cho M,N,P nằm giữa A và B thoả mãn

AM = MN = NP = PB. . Giá trị của biểu thức a+b+c bằng
B. −34

2
2


3
3c 
3 3b
 3 3a 3 3b
AB  P  + ; − + ;1 +   (Ozx)  − +
= 0  b = 1.
4
4 4
4
4 4
2 4

Khi đó a + b + c = −17.
Câu 46: (Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba mặt phẳng
( ) : x + 2 y − z − 1 = 0, (  ) : 2 x + y − z − 3 = 0, ( ) : ax + by + z + 2 = 0 cùng đi qua một đường

thẳng. Giá trị của biểu thức a + b bằng
A. 3.

B. 0.

C. −3. D. 6.

Đáp án C
Ta tìm hai điểm thuộc giao tuyến của ( ), (  ) và điều kiện để ba mặt phẳng này cắt cùng đi
qua một đường thẳng là hai điểm này thuộc ( ).

Suy ra a + b = −3.


Câu 47:

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC

với A(1; −2;1), B(−2; 2;1), C (1; −2; 2). Hỏi đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC
cắt mặt phẳng (Oyz) tại điểm nào sau đây ?
4 8

A.  0; − ;  .
3 3


2 4

B.  0; − ;  .
3 3


 2 8
D.  0; ; −  .
 3 3

2 8

C.  0; − ;  .
3 3



 AM :  y = −2 + t  (Oyz ) : x = 0  t =  M  0; − ;  .
5
3
3 3


z = 1+ t


Câu 48

(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, xét ba điểm

A(a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c) với a,b,c là các số thực thay đổi thoả mãn

rằng mặt cầu ( S ) : ( x − 2)2 + y 2 + ( z − 4)2 = 25 cắt mặt phẳng

1 2 2
− + = 1. Biết
a b c

(ABC) theo giao tuyến là một

đường tròn có bán kính bằng 4. Giá trị của biểu thức a + b + c bằng
A. 5.

B. 1.

C. 2.


M (−2;1;3). Đường thẳng qua M và vuông góc với mặt phẳng ( ) : x − 2 y + 2 z − 1 = 0 là


 x = 1 − 2t

A.  y = −2 + t .
 z = 2 + 3t


 x = −2 + t

B.  y = 1 − 2t .
 z = 3 + 2t


x = 1 + t

D.  y = −2 + 2t .
 z = 2 + 3t


 x = −2 + t

C.  y = 1 + 2t .
 z = 3 − 2t


Đáp án B
Câu 50 (Gv Đặng Thành Nam)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng qua ba

dưới đây song song với mặt phẳng ( ) : x + y + z − 3 = 0.

 x = 1 + 2t

A.  y = 1 − t .
 z = 1− t


 x = 2+t

B.  y = −1 + t .
 z = −1 + t


 x = −1 + 2t

C.  y = −1 − t .
 z = −1 − t


x = 3 + t

D.  y = −2t .
 z=t


Đáp án C
Câu 52:

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm

x y z
+ + − 1 = 0  R = d ( I , ( ABC )) =
1 2 3

Câu 53:

2 2 2
+ + −1
1 2 3
2

1 1
1+   +  
 2  3

2

=

16
.
7

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm

A(−3; −1;3) và đường thẳng d :

x −1 y −1 z − 5
=
=

 t = 0.
2

Vậy a = 1, b = 1, c = 5 và T = 7 .
Câu 54 (Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng
( P) : 2 x + z − 2 = 0, (Q) : 4 y + 5 z − 8 = 0. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa giao tuyến của

(P),

(Q) và cắt các trục x Ox, z Oz lần lượt tại A, B thoả mãn OA = OB  0.
A. 3.

B. 4.

C. 2.

D. 1.

Đáp án C
Mặt phẳng cần tìm có phương trình
a(2 x + z − 2) + b(4 y + 5 z − 8) = 0  2ax + 4by + (a + 5b) z − 2a − 8b = 0.

2a + 8b 
 a + 4b
 
Toạ độ các giao điểm với các trục Ox, Oz lần lượt là A 
;0;0  , B  0;0;
.
a + 5b 
 a


 x = 5+t

B.  y = 3 − 2t .
 z = 1+ t


 x = 2+t

C.  y = 1 − 2t .
 z = 3+t


 x = 4+t

D.  y = 5 + 2t .
 z=t


Đáp án B
Gọi I là trung điểm MN. Theo giả thiết có
Δ BNM = Δ AMN (c − g − c)  IA = IB.

Do đó I thuộc mặt phẳng trung trực (Q) của AB. Mặt khác I thuộc
Do đó I  d = (Q)  ( P) là đường thẳng cố định. Ta có:

 x = 5+t

(Q) : x + y + z − 9 = 0   y = 3 − 2t .
 z = 1+ t

Theo điều kiện vuông góc có 1.(1 − ma) = 0  a =

1
.
m

Suy ra:
2
1

( P) : 2 x +  − m  y + 2m + = 0  ( P) : 2mx + (1 − m 2 ) y + 2m 2 + 2 = 0.
m
m


2mx + (1 − m2 ) y + 2(m2 + 1) = 0
Khi đó:  : 
= ( P)  (Oxy).
z=0

Trong mặt phẳng (Oxy ) có d (O, Δ) =

2(m 2 + 1)
(2m) 2 + (1 − m 2 ) 2

= 2  Δ luôn tiếp xúc với đường

tròn tâm O bán kính bằng 2 trong mặt phẳng toạ độ ( Oxy ) .
Câu 57:


Có cos a, b =

Câu 58:

a.b
a b

=

2−2−4
4
=− .
3.3
9

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm

A(2;3; 4). . Khoảng cách từ A đến trục toạ độ Ox bằng

A. 2.

B. 4.

C. 3.

D. 5.


Đáp án D
Hình chiếu vuông góc của A lên Ox là H (2;0;0)  d ( A, Ox) = AH = 32 + 42 = 5.

Đáp án A
Câu 60

(Gv Đặng Thành Nam)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt

phẳng trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm A(2;1;3), B(−2;1; −1) là
A. y + z − 2 = 0.

B. x − z + 1 = 0.

C. x + z + 2 = 0.

D. x + z − 1 = 0.

Đáp án D
Câu 61 (Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A,B,C
lần lượt di động trên ba trục toạ độ Ox,Oy,Oz
1
1
1
1
+
+
= . Biết mặt phẳng
2
2
2
4
OA
OB

4
d (O, ( ABC )) OA
OB
OC
2

luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm O có bán kính bằng 2.
Câu 62

(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm

A(2;0; 2), B(0; 2; −2). Các điểm M, N lần lượt di động trên các đoạn thẳng OA, OB sao cho

MN chia tam giác OAB thành hai phần có diện tích bằng nhau. Khi MN ngắn nhất thì toạ độ
trọng tâm của tam giác OMN là
 2 2 
;
;0  .
A. 
 4 4


 2 2 
;
;0  .
B. 
 3 3


Đáp án B

2

MN = 4m 2 +

1 
1
2
2
+  2m +  = 8m 2 + 2 + 4  2 8m 2 . 2 + 4 = 2 3.
2
m
m 
m
m

 0  m 1
1
1

Dấu bằng xảy ra khi  2
n=
.
2 m=
2
2
8m = m 2

Câu 63:

(Gv Đặng Thành Nam)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm

Đáp án D
Gọi G (1;1;1) là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó

(

) + (GB − GM ) + (GC − GM )
− 2GM ( GA + GB + GC )

MA2 + MB2 + MC 2 = GA − GM
= 3MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2

2

2

2

= 3MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2  3d 2 (G,( P)) + GA2 + GB 2 + GC 2 = const.

Dấu bằng đạt tại M là hình chiếu của G lên

(P), toạ độ là nghiệm của hệ

 x+ y− z−6 = 0

8 8 2
 x − 1 y − 1 z − 1  ( x; y; z ) =  ; ; −  .
3 3 3
 1 = 1 = −1
2



Đáp án C
3

Ta có 4 =

V
OA OB OC
OA OB OC
3
+
+
 33
.
.
= 3 3 OABC  VOMNP    VOABC .
OM ON OP
OM ON OP
VOMNP
4

Dấu bằng đạt tại

OA OB OC 4
3
3
3
=
=

2 2 2
Do đó S = − − − = −2.
3 3 3