ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN BÁ NAM

VỀ HỆ SỐ NHỊ THỨC, HỆ SỐ ĐA THỨC
VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN BÁ NAM

VỀ HỆ SỐ NHỊ THỨC, HỆ SỐ ĐA THỨC
VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 84 60 113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. Trần Xuân Quý


4
4
6
8
8
10
13

.
.
.
.
.
.
.
.

16
17
18
22
24
30
33
38
43

Chương 3. Một số bài toán áp dụng
3.1 Một số bài toán về hệ số nhị thức và hệ số đa thức . . . .
3.2 Một số bài toán liên quan trong các kỳ thi học sinh giỏi . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

Qn
Hrn
Cnn1 ,n2 ,...,nm
MO
IM O
AP M O
V MO

=
=
=
=
=
=
=
:
:
=
:
=

Tập hợp các số tự nhiên
{0, 1, 2, 3...}
Tập hợp các số tự nhiên khác 0
{1, 2, 3...}
Tập hợp các số nguyên
{..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3...}
Tập hợp các số thực
a là ước của b
a không là ước của b

n!
số hoán vị vòng quanh của tập n phần tử
(n − 1)!
r
Cr+n−1

n!
(n−r)!

n!
n1 !.n2 !...nm !

Olympic
Olympic
Olympic
Olympic

Toán
Toán
Toán
Toán

học
Quốc tế
Châu Á Thái Bình Dương
Việt Nam


2



Chương 3. Một số bài toán áp dụng. Chương 3 trình bày hệ thống các
bài toán sơ cấp liên quan đến hệ số nhị thức, hệ số đa thức và một số bài
toán trong các kỳ thi học sinh giỏi.
Để hoàn thành bản luận văn này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới TS. Trần Xuân Quý, người thầy nhiệt huyết đã truyền thụ kiến
thức, đã chỉ ra hướng đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình
làm luận văn. Đồng thời, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô phản biện
đã dành thời gian đọc và đóng góp những ý kiến quý báu cho bản luận văn
này.
Tôi xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy cô trong Khoa ToánTin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình hướng
dẫn, truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian theo học, thực hiện và hoàn
thành luận văn. Qua đây, tôi cũng gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu Trường
THPT Yên Phong số 1 và các thầy cô giáo trong Tổ Toán của nhà trường,
nơi tôi đang công tác, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong công tác và
giảng dạy để tôi được tập trung hoàn thành chương trình học, cũng như
bản luận văn.
Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đặc biệt là người vợ
của tôi, cũng như các con tôi đã luôn động viên, giúp đỡ và là nguồn động
lực cho tôi trong quá trình học, cũng như hoàn thiện bản luận văn này.

Thái Nguyên, ngày 22 tháng 4 năm 2018
Tác giả luận văn

Nguyễn Bá Nam


4

Chương 1


5

(1 ≤ i ≤ n, i = j), thì sẽ có

n
k=1

mk cách chọn đối tượng a1 , hoặc a2 ,...,

hoặc an .
Quy tắc cộng theo ngôn ngữ tập hợp được phát biểu như sau:
Cho n tập hợp Ak (1 ≤ k ≤ n) với |Ak | = mk và ∀i, j (1 ≤ i, j ≤ n)
Ai ∩ Aj = ∅, khi i = j. Khi đó, số cách chọn a1 , hoặc a2 ,..., hoặc an sẽ
bằng số cách chọn các phần tử a thuộc

n
k=1

Ak và bằng

n
k=1

Ak =

n
k=1

|Ak |.


|Si | =1 + 4 + 4 + 0 + 4 + 8 = 21.
i=1

Ví dụ 1.1.3. (Tài liệu [1], trang 12). Với các chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có
thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và
trong mỗi số phải nhất thiết có mặt chữ số 1?


6

Lời giải: Gọi số cần lập là abcd. Vì trong abcd nhất thiết phải có mặt chữ số
1, nên ta xét các tập A1 , A2 , A3 , A4 là tập các số dạng 1bcd, a1cd, ab1d, abc1
tương ứng.
1. Xét A1 khi lập số 1bcd, b có 6 cách chọn từ các chữ số 0, 2, 3, 4, 5, 6;
c có 5 cách chọn từ các chữ số thuộc tập {0, 2, 3, 4, 5, 6} \ {b}; d có 4
cách chọn từ các chữ số của tập {0, 2, 3, 4, 5, 6} \ {b, c}. Do đó, số cách
lập các số dạng 1bcd là 6.5.4 = 120 hay |A1 |=120.
2. Xét A2 , A3 , A4 .
• Xét A2 . Chữ số a đứng đầu của số a1cd, nên nó không được là chữ
số 0, nên a chỉ có thể chọn từ 1 trong 5 chữ số 2, 3, 4, 5, 6; c có 5
cách chọn từ các chữ số thuộc tập {0, 2, 3, 4, 5, 6} \ {a}; d có 4 cách
chọn từ các chữ số của tập {0, 2, 3, 4, 5, 6} \ {a, c}. Do đó, số cách
lập các số dạng a1cd là 5.5.4 = 100 hay |A2 |=100. Lập luận tương
tự, ta cũng có |A3 | = |A4 | = 100.
• Vì các số thuộc các dạng khác nhau đều khác nhau, nên với mọi
i, j với (1 ≤ i, j ≤ 4) , i = j, ta đều có Ai ∩ Aj = ∅. Do đó, số các
số cần tìm được tính theo quy tắc cộng, ta có
|A1 | + |A2 | + |A3 | + |A4 | = 120 + 100 + 100 + 100 = 420.


chọn đường đi từ A đến B và có 2 cách chọn đường đi từ B đến D, nên
theo quy tắc nhân, số cách chọn đường đi từ A đến D qua B là 4.2=8.
Tương tự, số cách chọn đường đi từ A đến D qua C là 3.4=12.
Vì cách chọn đường đi từ A sang D qua B và cách chọn đường đi từ A
sang D qua C không phụ thuộc lẫn nhau, nên theo quy tắc cộng, ta có số
con đường để đi từ A sang D là 8+12=20.
Ví dụ 1.1.5 (Tài liệu [2], trang 5). Tìm số các ước số dương của số 600
(kể cả 1 và chính nó).
Lời giải: Trước hết, ta thấy rằng số 600 có sự phân tích thành tích duy
nhất qua các thừa số nguyên tố, đó là
600 = 23 .31 .52 .
Do đó, một số nguyên dương m là ước của 600 khi và chỉ khi m có dạng
m = 2a .3b .5c , với a, b, c ∈ Z sao cho 0 ≤ a ≤ 3, 0 ≤ b ≤ 1, 0 ≤ c ≤ 2.
Vậy, số các ước số dương của 600 là số cách để tạo thành bộ ba (a, b, c),
với a ∈ {0, 1, 2, 3} , b ∈ {0, 1} , c ∈ {0, 1, 2} .
Khi đó, theo quy tắc nhân, ta có tất cả 4x2x3=24 ước số dương của số
600.
Nhận xét 1.1.6. Bằng cách áp dụng quy tắc nhân một cách tương tự, ta
có được kết quả tổng quát sau đây:
Nếu một số tự nhiên n có sự phân tích thành các thừa số nguyên tố dạng
n = p1k1 .pk22 ...pkr r , trong đó, pi là các số nguyên tố phân biệt và ki là các số
r
nguyên, thì số các ước số dương của n bằng
(ki + 1).
i=1

Trong các ví dụ trên, chúng ta đã thấy các quy tắc cộng và nhân được
sử dụng riêng biệt để giải quyết một số bài toán đếm. Hiển nhiên, việc giải
quyết một bài toán phức tạp hơn có thể cần áp dụng đồng thời cả hai quy
tắc cộng và quy tắc nhân. Chẳng hạn, ta xét ví dụ sau.