3.1. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA.

Bài 1.

Cho dãy số ( an )

1

 a1 = a + a


3
2
 an +1 = 2an − 2an − 2
3an 2 − 4an − 1 . Chứng minh rằng với mọi số thực
xác định bởi : 

a ≠ 0 thì dãy ( an ) hội tụ. Tùy theo a , hãy tìm giới hạn của dãy ( an ) .
Hướng dẫn giải

Nếu

a > 0 thì

a+

1
≥2
(do bất đẳng thức AM-GM).
a


=2
3.22 − 4.2 − 1
.

.

a > 0

*
. Nếu  a ≠ 1 thì a1 > 2 . Ta chứng minh an > 2 ∀n ∈ ¥ .

 

Rõ ràng a1 > 2 . .
Giả sử ak > 2 . Ta chứng minh ak + 1 > 2 .

2ak 3 − 2ak 2 − 2
2
ak +1 > 2 ⇔
> 2 ⇔ 2 ak ( a k − 2 ) > 0
2
3ak − 4ak − 1
( đúng).
Ta chứng minh ( an ) là dãy giảm, thật vậy :.
2
− an 3 + 2an 2 + an − 2 − ( an − 1) ( an − 2 )
∀ n, an +1 − an =
=

lim an +1 = lim

2an 3 − 2an 2 − 2
2 L3 − 2 L2 − 2
⇒
3an 2 − 4an − 1
3L2 − 4 L − 1

⇒ L = 2 ( an > 2 ⇒ L ≠ −1 )

.

Vậy lim an = 2 .
. Nếu

a > 0 thì a1 ≤ − 2 . Tương tự, ta có:.

2
− an 3 + 2an 2 + an − 2 − ( an − 1) ( an − 2 )
∀ n, an +1 − an =
=
>0
3an 2 − 4an − 1
3an 2 − 4an − 1
.

nên ( an ) tăng. Hơn nữa ( an ) bị chặn trên bởi − 1 , thật vậy.

ak + 1 < − 1 ⇔



Cho dãy số ( xn )
α

 x1 > 0

1 2 3
2015

x
=
x
+
+
+
+
L
+
n∈ ¥* )
n
+
1
n
2
3
2015 (

xn xn xn
xn
được xác định bởi 

2

2

⇒ xn > 1, ∀n ≥ 2 và  lim xn = +∞
n → +∞

Với  n ∈ N , đặt
*

xn +1 = xn +

xn > 1; ∀n ≥ 2 ⇒ 0 < tn

b
  
(
)
b
=
x
−
x
, 
∀
n
≥
2. 
n
n
n −1
Áp dụng định lý trung bình Cesaro cho dãy
với  n
.
ta có

lim bn =

n → +∞

b1 + b2 + … + bn
= lim bn = 2.
n →+∞
2 suy ra n→ +∞


lim cn = 0

n → +∞

ε
cn < , ∀  n ≥ m.
nên ∀ ε > 0   tồn tại m ∈ N sao cho
.
2

{ }

ε

2

*

Gọi M = max ci    với 1 ≤ i ≤

Với

2

m −1.

 2 ( m − 1) M 
2 ( m − 1) M
( m − 1) M < ε

n

n

+

∑

m −1
i =1

| ci |

n



Nếu α = − 2 thì
.
2
α

α +2

−2

α

α +2

−2

Nếu

α > −2

thì n.xn = xn .n.xn → +∞  khi n → +∞  .

Nếu

α < −2

thì n.xn = xn .n.xn → 0 khi

Bài 3.

Cho hai số

a
a2 = (cos 2 a + cos a) = cos a(cos a + 1) = cos a.cos 2
2
2
2.
a
a
b2 = cos a.cos 2 .cos a = cos a.cos
2
2.
Bằng quy nạp, chứng minh được:.

a
a
a
a
a
an = cos a.cos ...cos n −1 cos n−1 (1) bn = cos a.cos ...cos n −1 (2)
.
2
2
2
2
2
Nhân hai vế của (1) và (2) cho

an =

a
2n −1 ,


sin 2a
2a .

Cho dãy số ( an ) , a1 = 1 và

Bài 4.

an+1 = an +

1
a
lim n = 2
an .Chứng minh: n→ ∞ n
.

Hướng dẫn giải

ak2+1 = ak2 +

n
n −1
n −1
1
1
2
2
+
2
⇒

1
1
1


n ≥ 2;
lim

Dođó: n→∞

Bài 5.

5(n − 1)
(n ≥ 2)
.
2

2n-1
a2 = (cos 2 + cos ) = cos (cos x + 1) = cos .cos 2
2
8
8 2
8
8
8
16 .

π
π
π
π
π
b2 = cos cos 2 cos = cos cos
8
16
8
8
16 .


+ Bằng quy nạp, chứng minh được:.

an = cos

π
π
π
π

π
4
bn =
π
2n.sin n
2 .4 .
sin

+Tính giới hạn:.

lim an =
n →∞

Bài 6.

4sin

π

π
4 ,

lim bn =
n →∞

4sin

π

π

Từ un + 1 = un / (1 + un ), cho
2

.

n → +∞

ta được:.

un = 0
a = a / (1 + a 3 ) ⇔ a = 0. Vậy xlim
→ +∞
.
*
Đặt vn = 1/ (un + 1) − 1/ (un ), n ∈ N .
2

2

Ta có vn = ((1 + un ) / un ) − 1/ (un ) = 2 + un → 2 khi n → +∞ ? Áp dụng định lí trung bình Cesaro ta có:.
2

2

2

2

1


.
n
1
Mà

u

lim

2
n +1

−
n

n →+ ∞

1
u n2

1
vn
u12
1
= lim
= 0 lim
= lim = 0
n →+ ∞ n
n
→+


U n2 + 2009U n ( n ∈ N )
U n +1 =
2010
xác định bởi: 
.

n

Ui 
 Sn = ∑

lim S
i =1 U i +1 − 1  .Tính x →∞ n .
Ta lập dãy { S n } với 

Hướng dẫn giải

Tacó

a1 = −

Giả sử

a0
>0
.
2

a1 , a2 ,..., an−1 > 0 .

 n −1 + n − 2 + ... + 0 = 0
 1
2
n
.

Hay
Do

an =

an −1 an − 2
a0
a1
+
+ ... +
+
1.2 2.3
(n − 1)n n (n + 1) .

a1 , a2 ,..., an−1 > 0 nên.

 an −1 an− 2
a1   2an −1 3an− 2
na 
+
+ ... +
+
+ ... + 1 ÷


 1.2 2.3
n 2  n −1 + n− 2 + ... + 1 ÷
2
n −1 .
 1


Ta lại có.

2an −1 3an− 2
3a
na
a 
 2a
+
+ ... + 1 = n  n−1 + n− 2 + ... + 1 ÷
1
2
n −1
2n
n −1
 n
a
a 
a
 a 
≤ n  n −1 + n − 2 + ... + 1 ÷ = n  − 0 ÷ = − a0 .
2
n −1 
 1

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Bài 8.

1 + un2 − 1
un +1 =
, ∀ n ≥ 1.
u
u
=
1,
(
)
u
n
1
Cho dãy số
xác định bởi
n
a) Chứng minh:.

un = tan

π
, ∀ n ≥ 1.
.
2 n +1
b) Suy ra tính đơn điệu và bị chặn của ( un ) .

HƯỚNG DẪN GIẢI

Cho dãy số ( xn ) xác định bởi:.

x1 > 0; xn +1 = xn +

1 2 3
2014 2015
+ 2 + 3 + ... + 2014 + 2015 , ∀ n ∈ ¥ *.
xn xn xn
xn
xn
.

1.Với mỗi n ∈ ¥ ,đặt
*

2.Tìm các số

yn =

n
xn2 .Chứng minh dãy số ( yn ) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

α để dãy ( nxn ) có giới hạn hữu hạn và giới hạn là một số khác 0 .
α

HƯỚNG DẪN GIẢI


1.Từ giả thiết suy ra


2014 2015  
2 3
2014 2015 
=  2 + 2 + 3 + 4 + ... + 2015 + 2016 ÷ 1 + + 2 + ... + 2013 + 2014 ÷
xn xn xn
xn
xn   xn xn
xn
xn  .

Suy ra

lim ( xn2+1 − xn2 ) = 2

.

xn2 ( xn − xn −1 ) + ( xn −1 − xn − 2 ) + ... + ( x2 − x1 ) + x1
=
Ta có n
.
n
2

2

2

2

2


2

n 1
=
xn2 2 .

zn = nxnα =

n α +2
xn
xn2
.

Từ đó:.
+) Nếu

α > −2

thì

lim zn = +∞ .

+)Nếu

α < −2

thì

lim zn = 0 .

Từ giả thiết ta có yn +1 = yn + yn , ∀ n ≥ 2 , do đó dãy số { yn } n≥ 2 là dãy tăng, vì.

vậy yn +1 = yn + yn = yn ( yn + 1) < yn +1 ( yn + 1) .
3

3

2

2

⇒ yn2+1 < yn2 + 1 , ∀ n ≥ 2 ⇒ yn2+1 < yn2 + 1 < ... < y22 + n − 1 .
2

y22 + n − 1
y22 + n − 1
 yn +1 
lim
=0
⇒
÷

=
≥ 4cun ; ∀n ≥ 1
1 − un un (1 − un )
.
4 , thì từ giả thiết, ta có
1

n −1
c>
Từ đây bằng quy nạp, ta suy ra un > (4c) u1 . Do 4c > 1 nên un → +∞ khi n → +∞ . Do đó,
4

không thỏa mãn.

 1 − 1 − 4c 1 + 1 − 4c 
 a(1 − b) > c
1
a
,
b
∈
;

÷÷, a < b

0< c


+ Nếu

c=

1
4 cũng không thỏa mãn.

un
1
1
un +1 >
=
≥ un
4(1 − un ) 4un (1 − un )
. Suy ra dãy (un ) tăng và bị chặn. Do đó, (un ) hội tụ.
4 , thì

Đặt x = lim un , thì từ giả thiết ta có

Bài 12.

0< c

n ≥ 1 (1).

n = 1 đúng.

Giả sử (1) đúng với

n = k ≥ 1: xk + k

⇒ xk +1 + ( k + 1) = xk +
2

xk2
2
+ ( k + 1)
2
k

2

=

≥

k ( k + 1)
2

.

xk
2

*) Ta chứng minh ( xn ) có giới hạn.
NX: ( xn ) tăng và xn > 0 với mọi

n.

1
1
1
2
1 1
 1
1
−
=
≤
⇒ − ≤ 2  1 − ÷ < 2 ⇒ xn

3
k

Hướng dẫn giải

un4 + 20132
(un − 2013)(un3 + 2013)
−
2013
=
3
(un3 + 2013) − (un − 2013) (1).
+ Ta có un +1 − 2013 = un − un + 4026
Từ đó bằng quy nạp ta chứng minh được un > 2013, ∀ n ∈ ¥ .
*

1
1
1
1
1
1
=
− 3
=
−
3
+ Từ (1) suy ra un +1 − 2013 un − 2013 un + 2013 ⇒ un + 2013 un − 2013 un +1 − 2013 .
n


a= 3
Giả sử ( un ) bị chặn trên và lim un = a thì a > 2014 . Khi đó
a − a + 4026 .

⇒ a = 2013 < 2014 ( vô lí). Suy ra ( un ) không bị chặn trên, do đó lim un = +∞ .
Vậy lim vn = lim

Bài 14.

(1 −

1
) =1
uk +1 − 2013
.

Cho dãy số ( un )

 u1 = 2013
un2+1
lim 2 2 2

2
*
xác định bởi:  un +1 = un − 2, ∀ n ∈ ¥ . Tìm n→+∞ u1 .u2 ...un .
Hướng dẫn giải

1
u
=

u n +1 = a 2 +

a2

n

, ∀n ∈ ¥

.

- Xét.
−1

1  
1  
1  n  2i−1
1
 2i−1
ui = ∏  a + 2i−1 ÷ =  a − ÷  a − ÷∏  a + 2i−1
∏
a  
a  i =1 
a  
a
i =1
i =1 
n

n


 ⇒ lim

2

2

un2+1
1 
1

=  a − ÷ =  a + ÷ − 4 = 20132 − 4 1.0
n →+∞ u 2 .u 2 ...u 2
a 
a

1 2
n
.

Cho dãy số ( an ) thỏa mãn: lim(5an +1 − 3an ) = 4 . Tính lim an .
Hướng dẫn giải

Đặt an = 2 + bn . Từ giả thiết suy ra lim (5bn +1 − 3bn ) = 0 .
Với số dương

5bn +1 − 3bn

5 dẫn đến
5.

⇒ b
(un − 2)(unα + 4)
un +1 − 2 = 2014
−2 = α
, (*)
un − un + 6
(un + 4) − (un − 2)
Đặt α = 2014 ta có
.
Bằng quy nạp ta chứng minh được un > 3,

∀n > 1.

unα +1 + 2un + 4
(un − 2) 2
un+1 − un = α
− un = α
> 0, ∀ un ≥ 3
un − un + 6
un − un + 6
Xét
.
Do đó (un ) là dãy tăng và 3 = u1 < u2 < L < un < L .

lim u = a
Giả sử (un ) bị chặn trên, suy ra n→ +∞ n
, a > 3 . Khi đó ta có

a=

aα +1 + a + 4

i =1 ui
n

vn = ∑

Vậy

1

lim vn = lim (1 −

n →+∞

Bài 17.

n →+∞

1

un+1 − 2

) =1

.

u1 = 3
 3
được xác định bởi un +1 − 3un +1 = 2 + un , ∀n ≥ 1 . Chứng minh rằng dãy ( un )

Cho dãy số ( un )

3

Giả sử uk > uk +1 ( k ≥ 1) ⇒

⇔ f ( u1 ) > f ( u2 ) ⇒ u1 > u2 .

2 + uk > 2 + uk +1 ⇔ uk3+1 − 3uk +1 > uk3+ 2 − 3uk + 2 .

⇒ f ( uk + 1 ) > f ( uk + 2 ) ⇒ uk + 1 > uk + 2 .
Do đó un > un +1 , ∀ n ≥ 1 ⇒ Dãy ( un ) là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 2 nên dãy ( un ) có giới hạn hữu
hạn.
3
Giả sử lim un = a ( a ≥ 2 ) . Từ hệ thức truy hồi un +1 − 3un +1 = 2 + un chuyển qua giới hạn ta được:.

3
5
4
3
2
a3 − 3a = 2 + a ⇔ ( a − 3a ) = 2 + a ⇔ ( a − 2 ) ( a + 2a − 2a − 4a + a + 1) = 0 .
2

(

)

⇔ ( a − 2 ) a 2 ( a 3 − 4 ) + 2a3 ( a − 1) + a + 1 = 0 ⇔ a = 2 ( a ≥ 2 )
.
Vậy lim un = 2 .
Bài 18.


xn + 1 > 0 ∀n ∈ N *

⇒ ( xn ) là dãy số tăng.

* Đặt un = xn .

⇒ un

*
xác định vì xn > 0 ∀n ∈ N và un > 0 ∀ n ∈ N .
*

⇒ un +1 = xn +1 ⇒ xn +1 = un2+1 .
Nên từ giả thiết (*) ta có:.

un2+1 = un2 . ( un + 1) = ( un . ( un + 1) ) .
2

2

⇒ un +1 = un2 + un ∀ n ∈ N * (1).

(

)

xn + 1

2

u −u
1
=
= 2n +1 n = n +1 n = 1 − 1
2
un + 1 ( un + 1) un ( un + un ) .un un +1.un
un un +1 .
n

⇒

1

1

∑ u +1 = u
i1=1

i

1

−

1
un +1 .

1
1
1 

u
=
u
+
12
u
{
}
n
Cho dãy số n ; (n = 1; 2;.) được xác định bởi:  n +1
Chứng minh dãy số { un } có
giới hạn. Tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn giải

Dự doán giới hạn của dãy số,bằng cách giải phương trình:.

a ≥ 0
a = a + 12 ⇔  2
⇒a=4
a = a + 12
.
Nhận xét u1 = 5 .

u2 = u1 + 12 = 17 < u1 .

u3 = u2 + 12 =

17 + 12 < u2 ... .

Ta dự đoán dãy số { un } là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 4 tức là un ≥ 4 .

Vậy dãy số { un } giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn.
Đặt lim un = a thì lim un +1 = a. .
Ta có:.

un +1 = un + 12 ⇔ lim un +1 = lim un + 12 ⇔ a = a + 12 ⇒ a = 4 .
Vậy lim un = 4. .
Cho dãy số ( xn ) được xác định bởi.

Bài 20.

 x1 = 2,1


xn − 2 + xn2 + 8 xn − 4
( *) , n = 1, 2,...
 xn +1 =

2
.
n

Với mỗi số nguyên dương n, đặt

yn = ∑
i =1

1
x − 4 . Tìm lim yn .
2
i

⇒ ( x ) là dãy tăng, giả sử bị chặn trên tức là có giới hạn
n

Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình.
x=

x−2+

x + 8x − 4
2

2

⇔ x − 4 = ( x + 3) ( x − 2 )
2

.

phương trình này không có nghiệm hữu hạn lớn hơn 2.

lim xn = L > 2 .


Suy ra dãy ( xn ) tăng và không bị chặn trên nên lim xn = +∞ .
xn − 2 +

xn +1 =

Ta có


2

xn + 3
xn +1 − 4

=

1
xn − 2

xn + 2 + 1

=

2

−

xn +1 − 4

1
xn +1 − 2

+

1
xn +1 − 4 .
2

1


1
x n +1 − 2 .

Vậy lim yn = 10 .
Bài 21.

2
Cho dãy số ( xn ) được xác định bởi x1 = 2016, xn +1 = xn − xn + 1, n = 1, 2,3,... .

a)Chứng minh rằng ( xn ) tăng và lim xn = +∞ .

1 1
1
yn = 2016  + + ... + ÷.
xn  Tính lim yn . .
 x1 x2
b)Với mỗi số nguyên dương n , đặt
Hướng dẫn giải
2
a)Ta có xn +1 − xn = xn − 2 xn + 1 = ( xn − 1) ≥ 0 ⇒ xn +1 ≥ xn , ∀ n ≥ 1. Do đó ( xn ) tăng.
2

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n rằng xn > n + 1, ∀ n ≥ 1 (1).
Thật vậy, (1) đúng với

n = 1 .Giả sử (1) đúng với n (n > 1) thì.

xn+1 = xn ( xn − 1) + 1 > n ( n + 1) + 1 = n 2 + n + 1 > n + 2 .
Vậy (1) đúng với mọi n. Từ ( xn ) tăng ngặt và xn > n + 1, ∀ n ≥ 1 suy ra lim xn = +∞. .

÷
xn 
 x1 x2
 x1 − 1 xn +1 − 1 
 2015 xn +1 − 1  .


Từ

lim xn = +∞ ⇒ lim

1
2016
=0
lim yn =
.
xn
. Vậy
2015 .
∞

 an 
1 2 1
1
2
∞
a
=
sin1
+

n2 .
Hướng dẫn giải

1
x > sin x > x − x 3∀ x > 0
Bổ đề 1:
.
6
1 1
1
1 + + + ... +
n =0
lim 2 3
Bổ đề 2:
.
n
Đặt

xn = n2 sin

1
1
1 1 1
1
> sin > − 3 ⇒ k > xk > k −
n . Áp dụng bổ đề 1: k
k k 6k
6k .

1 1


( n + 1)
=

2

un + 1

∀n ≥ 1

un
. Tính giới hạn n→ +∞ n .
lim

Hướng dẫn giải

n2
≤ u n ≤ n + 1 , ∀n ≥ 1
Ta chứng minh quy nạp n + 1
.
Rõ ràng khẳng định đã đúng với u1 .

( k + 1) ≤ u ≤ k + 2
k2
≤ uk ≤ k + 1, k ≥ 1
k +1
Giả sử đã có k + 1
. Ta chứng minh k + 2
.
2

n → +∞ n
Vậy ta có n + 1
.

Cho

Bài 24.

α>2

x1 = α


n+3
2 x n +1 = 3x 2n +

n
và dãy số xn với: 

( )

(n ∈ N )
*

.

x n > 1 với ∀ n ∈ N * .

a) Chứng minh:


Vậy

x n > 1 với ∀ n ∈ N * .

Ta chứng minh
Vì

( xn ) là dãy giảm bằng quy nạp.

α > 2 nên 3α 2 + 4 < 2α .Ta có x 2 < x 1 .

Giả sử: x k +1

3x 2k +1 +

< x k . Ta có: 3 x

2
k +1

n +1
< 3x và f ( n ) = n là hàm nghịch biến nên:.
2
k

k+4
k+3
< 3x 2k +
k +1
k .

Cho dãy số ( un )

u1 = 2011
 n
2 un +1 = 2 n un − 1 , n ∈ N *
được xác định: 
.

Chứng minh rằng dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.
Hướng dẫn giải

2 n un +1 = 2 n.un − 1 ⇔ un +1 = un −

Ta có

Chứng minh : un > 2

1– n

*với

1
2n .

(bằng quy nạp).

n = 1 ta có u1 = 2011 > 2 .
0

*Giả sử uk > 2

u2 = u1 − ; u3 = u2 − 2 ; u4 = u3 − 3 ;...; un = un −1 − n −1
Ta có
2
2
2
2 .
1 
1 1 1
⇒ un = u1 −  + 2 + 3 + ... + n −1 
2 .
2 2 2
1
1−  
1
2
un = 2011 − .  
1
2
Công thức tổng quát :
2
Vậy

n −1

1
= 2011 − 1 +  
 2

n −1


.
∗

a) Chứng minh rằng: 0 < un < 1, ∀ n ∈ Ν .
b) Chứng minh rằng ( un ) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn giải


a) Chứng minh: 0 < un < 1, ∀ n ∈ Ν ( 1) .
∗

n = 1: u1 = a ∈ ( 0;1) ⇒ ( 1) đúng với n=1.
1

1

0 < uk2 < 1 ⇒ 0

1 2 2013
1 
un +
un − un =
un − un un + un − 2013  > 0


.
2014
2014
2014

⇒ un +1 > un , ∀ n ∈ Ν ∗ hay ( un ) là dãy tăng.(2).
Từ (1),(2) suy ra ( un ) có giới hạn hữu hạn.Giả sử ( un ) có giới hạn là a, ( o < a ≤ 1) .

Ta có:

a=

Bài 27.

1 2 2013
a +
a ⇔ a =1
. Vậy lim un = 1 .
2014
2014
3

u

8 1
uk +1 − 2 = uk3 − = ( uk − 2 ) ( uk2 + 2uk + 4 ) < 0 ⇒ uk +1 < 2
Ta có:
.
3
3 3


uk + 1 + 1 =

1 3
( uk + 1) > 0 ⇒ uk +1 > − 1 .
3

⇒ − 1 < uk +1 < 2 . Vậy: −1 < un < 2, ∀n ∈ Ν ∗ .
b)

∀ n ∈ Ν ∗ , un + 1 − un =

1
2
( un + 1) ( un − 2 ) < 0 ⇒ u < u , ∀ n ∈ Ν ∗
n +1
n
hay ( un ) là dãy giảm (2).
3

Từ (1),(2) suy ra ( un ) có giới hạn hữu hạn.
Gọi


n →+∞ u
un +1  .
 2 u3
Hướng dẫn giải

1
un
1 
un2
=
2015
−

÷
u n + 1 − un =
 u n u n +1  .
Từ đề bài ta có:
2015 . Suy ra: un +1
1

u
u1 u2
1 
1 
+ + ... + k = 2015  −
÷ = 2015  1 −
÷
uk +1
 u1 uk +1 
 uk +1 

.

Bài 29.

u1 = 2013
n∈ N* )
(
 2
Cho dãy số ( un ) xác định bởi un − 2un .un+1 + 2013 = 0
. Chứng minh rằng dãy (un) có
giới hạn và tính giới hạn đó.
Hướng dẫn giải


Từ hệ thức truy hồi suy ra 2un .un+1 = un + 2013 .
2

Bằng quy nạp chứng minh được un > 0, với mọi n.
Do đó ta có:.

un =

un −12 + 2013 1 
2013 
2013
=  un −1 +
= 2013, ∀n ≥ 1
÷ ≥ un .
2un −1
2


a) Chứng minh rằng

lim xn = +∞

n →+∞

xn4 + 9
, ∀n ∈ ¥ *
3
xn − xn + 6
.

;.
n

b) Với mỗi số nguyên dương

n , đặt

1
3
k =1 xk + 3 . Tính lim yn .

yn = ∑

Hướng dẫn giải

( xn − 3) ( xn3 + 3)
xn4 + 9


⇒ xn +1 − xn =

xn4 + 9
xn2 − 6 xn + 9
−
x
=
n
xn3 − xn + 6
xn3 − xn + 6 .

( xn − 3)

2

x − xn + 6
3
n

> 0, ∀ n ∈ ¥ *

.

Do đó ( xn ) là dãy tăng và 4 = x1 < x2 < x3 < ... .
 Giả sử ( xn ) bị chặn trên ⇒ lim xn = a .


a4 + 9
a= 3

k =1 xk + 3
k =1  xk − 3
n

Suy ra:

yn = ∑


1 
lim yn = lim  1 −
÷= 1
x
−
3
n +1

 .
Vậy

Bài 31.

 x1 = 1

x12014 x22014
xn2014

xn2015
u
=

1
1
1  xn2014
−
=
⇔ 2015  −
÷=
xn xn +1 2015 xn+1
 xn xn +1  xn +1 .


1 
un = 2015  1 −
÷
 xn +1  .
Từ đó
 Dễ thấy ( xn ) là dãy tăng và 1 = x1 < x2 < x3 < ... .
 Giả sử ( xn ) bị chặn trên ⇒ lim xn = a .

a 2015
a=
+ a⇒ a = 0