Chương V – ĐẠO HÀM
A. Các kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa đạo hàm : cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và
.Nếu tồn tại giới hạn
được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0.
Ký hiệu là : f’(Xo) hay y’(Xo)

2.Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên một khoảng (a,b) nếu nó có đạo
hàm tại mỗi điểm x thuộc (a,b)
3. Quan hệ giữa sự liên tục và sự có đạo hàm
f(x) có đạo hàm tại x0 => f(x) liên tục tại x0

( ; ), ( ; )
o o
x a b x x a b∈ + ∆ ∈
0 0
0
( ) ( )
lim
x
f x x f x
x
∆ →
+ ∆ −
∆
0
0 0
0
0
( ) ( ) ( ) ( )
'( ) lim lim

e) Tại x0 = 0 f)
0 0
( ) ( )y f x x f x
∆ = + ∆ +
y
x
∆
∆
0
lim
x
y
x
∆ →
∆
∆
2
( ) 2 3 1f x x x= + + ( ) sin( )f x x=
0
6
x
Π
=
2
( ) 2 3 1f x x x= + +
1
( )f x
x
=
1

1 1x x x x x x∆ = − = + ⇔ = − + ∆
2
( ) 2 3 1f x x x= + +
2
0 0 0
2( )
'( 1) lim lim lim(2 1) 1
x x x
y x x
f x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ − ∆
− = = = ∆ − = −
∆ ∆
Chương V – ĐẠO HÀM
e)
Ta có

0 0 0
2cos sin 2cos sin
6 2 2 6 2 2
'( ) lim lim lim
6
2
x x x
x x x x
y
f
x

   
 
= + = =
 ÷  ÷
∆
   
1
( )
1 | |
f x
x
=
+
1
1
1
( )
1 | |
x
x
x
x
f x
x
+
−

= =

+

lim lim lim 1
1 1
x x x
f x f x
x x x x
− − −
∆ → ∆ → ∆ →
+ ∆ − ∆
 
= = =
 ÷
∆ ∆ − ∆ − ∆
 
0 0
(0 ) (0) (0 ) (0)
lim lim 1
x x
f x f f x f
x x
− −
∆ → ∆ →
+ ∆ − + ∆ −
= =
∆ ∆
0
(0 ) (0)
'(0) lim 1
x
f x f
f

2 2
4x 8 8 4
0
1
( )
1 | |
x
x
f x
x
+ − +


= =

+


§M
Nếu
Nếu
0x ≠
0x =
2
( ) 3| 1|f x x x= + −
( ) 5 7f x x= −
2
( ) 3 4 9f x x x= − +
( ) sin xf x = ( )f x x x= +
Chương V – ĐẠO HÀM

∆ + − + − ∆ +
= = ∆ + − + − ∆ +
∆ ∆
2 2
2
2
0
3
2 2 2
3
1 4 8
lim
2 8 4
(4 x 8) 2 4 x 8 4
x
x x
x
x
∆ →
 
∆ ∆
 ÷
= −
 ÷
∆
+ ∆ +
∆ + + ∆ + +
 
2
0