BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————–o0o———————

CHU TRỌNG KÍNH

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA
ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 62 46 01 02

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

XUÂN HÒA, 2018


Công trình được hoàn thành tại:
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS Lê Văn Hiện

Phản biện 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..............................................................................
Phản biện 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..............................................................................
Phản biện 3: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..............................................................................

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại

2.1. Sự đồng bộ của mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ
Trong hai thập kỷ gần đây, các hệ động lực có cấu trúc mạng nơron đã được
nghiên cứu và ứng dụng thành công trong nhiều lĩnh vực. Trong các công trình đã
công bố, tính ổn định hay đồng bộ mới chỉ được nghiên cứu cho một số mô hình
mạng nơron với trọng số kết nối các nơron là hằng và trễ bị chặn. Mặt khác, trong
các mô hình mạng nơron có trễ, mô hình với trễ tỉ lệ được sử dụng rất phổ biến. Việc
nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm các mô hình mạng nơron có trễ tỉ lệ thường
gặp nhiều khó khăn. Đến nay, chúng tôi chưa tìm thấy một kết quả nghiên cứu nào
1


đề cập đến tính ổn định hay tính đồng bộ của mô hình mạng nơron mô tả bởi hệ vi
phân bậc phân số với trễ tỉ lệ. Trong Chương 2 của luận án này, dựa trên bài báo [1]
trong Danh mục công trình công bố của luận án, chúng tôi nghiên cứu tính đồng bộ
với tốc độ hội tụ kiểu đa thức cho mô hình mạng nơron Hopfield với hệ số kết nối
biến thiên chứa đa trễ tỉ lệ dạng sau đây:
n

D0α xi (t)

= − di (t)xi (t) +

aij (t)fj (xj (t))
j=1

n

+

bij (t)gj (xj (qij t)) + Ii (t), t > 0,

D0α Bu(t) ∈ Au(t) + F (t, u(t)), t = tk , tk ∈ (0, +∞), k ∈ Λ,
∆u(tk ) = Ik (u(tk )),

(0.2a)
(0.2b)
(0.2c)

u(0) = g(u),

ở đó D0α , α ∈ (0, 1), là đạo hàm bậc phân số theo nghĩa Caputo, A, B là các toán tử

tuyến tính đóng không bị chặn trong không gian Banach X và F (.) là một ánh xạ
phi tuyến đa trị. Dựa trên cách tiếp cận bằng lý thuyết điểm bất động đối với ánh xạ
đa trị, và bằng việc xây dựng một độ đo không compact chính quy, chúng tôi chứng
minh sự tồn tại của một tập compact các nghiệm hút toàn cục đối với (0.2a)-(0.2c).
2


2.3. Ổn định hóa bằng điều khiển phản hồi phân quyền một số lớp hệ dương
bậc phân số dạng kết nối
Thuật ngữ hệ kết nối thường được sử dụng để chỉ các hệ điều khiển được cấu
thành từ hai hay nhiều hệ đơn lẻ hoạt động đồng thời và ảnh hưởng lẫn nhau thông
qua các kênh kết nối. Trong điều khiển kĩ thuật, đối với các hệ dạng kết nối, hai
chiến lược điều khiển phổ biến nhất là kĩ thuật điều khiển trung tâm và điều khiển
phân quyền. Trong phần thứ nhất của Chương 4 của luận án này, dựa trên bài báo
[3] trong Danh mục công trình công bố, chúng tôi nghiên cứu bài toán ổn định hóa
các hệ dương tuyến tính dạng kết nối mô tả bởi hệ phương trình vi phân bậc phân
số sau đây sau đây
N


+
j=1,j=i

Gij xj (t − τij (t)) + Bi ui (t), t ≥ 0,

(0.4)

xi (s) = φi (s) ∈ Rni , s ∈ [−τi+ , 0],

ở đó τij (t) là độ trễ trạng thái trong liên kết giữa hệ địa phương thứ i và thứ j ,
0 ≤ τij (t) ≤ τi+ . Dựa trên tính chất đơn điệu cảm sinh bởi tính dương của hệ, các điều

kiện ổn định và ổn định hóa vững đối với (0.4) cũng được chúng tôi thiết lập thông
qua các bài toán LP. Các điều kiện này là cần và đủ trong trường hợp các ma trận
hệ số biết chắc chắn.

3


3. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong luận án là sự kết hợp của một số phương
pháp trong giải tích hàm phi tuyến, giải tích bậc phân số, giải tích đa trị, lý thuyết
ổn định Lyapunov, lý thuyết điểm bất động và lý thuyết nửa nhóm toán tử. Chẳng
hạn, khi nghiên cứu nội dung 1, dựa trên các biễu diễn tích phân bậc phân số và
quy tắc Leibniz đối với đạo hàm bậc phân số, chúng tôi phát triển kĩ thuật so sánh
kiểu Lyapunov-Razumikhin để tìm kiếm các điều kiện đồng bộ của hệ. Trong một số
trường hợp đặc biệt, các điều kiện đó được xác định bởi tính chất phổ của các M-ma
trận. Đối với nội dung 2, lý thuyết nửa nhóm, giải tích đa trị và giải tích bậc phân
số được sử dụng trong việc biểu diễn các công thức nghiệm của bài toán. Từ đó, lý
thuyết độ đo không compact và lý thuyết điểm bất động được vận dụng để nghiên

cứu bài toán thiết kế điều khiển phân quyền đối với hai lớp hệ dương dạng kết nối
mô tả bởi hệ vi phân điều khiển bậc phân số.

5


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ sở về giải tích bậc
phân số, giải tích đa trị, một số định lí điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm và một
số kết quả bổ trợ.

1.1. M-ma trận
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại khái niệm và tính chất của ma trận Metzler,
ma trận Hurwitz, M-ma trận.

1.2. Một số không gian hàm
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về các không gian hàm.

1.3. Lý thuyết nửa nhóm
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả cơ bản về lý thuyết nửa nhóm.

1.4. Giải tích bậc phân số
Cho X là một không gian Banach và L1 (0, T ; X) là không gian các hàm khả tích
trên đoạn [0, T ] theo nghĩa Bochner.
Định nghĩa 1.4.1. Cho trước một số thực α > 0, tích phân bậc α của hàm f ∈

L1 (0, T ; X) được định nghĩa bởi

I0α f (t) =

D0α+ f (t) =

1
D+
Γ(1 − α)
6

t

0

f (s) − f (0)
ds ,
(t − s)α


ở đó D+ là đạo hàm Dini trên bên phải.
Định nghĩa 1.4.3. Đạo hàm bậc α theo nghĩa Riemann-Liouville của một hàm f (.)
được định nghĩa bởi
RL

D0α f (t) =

t

1
dn
dn n−α
I
f

1, giả sử rằng hàm ϕ(.) và mọi đạo hàm của nó liên tục trên đoạn [0, t], t > 0, ta có

quy tắc Leibniz sau đây cho đạo hàm bậc phân số
n
RL

D (ϕ(t)f (t)) =

k

k=0

ở đó n là một số nguyên n ≥ α + 1,
Rnα (t) =

dk ϕ(t) RL α−k
D
f (t) − Rnα (t),
k
dt

α

α

α

=

k

Định nghĩa 1.4.5. Phép biến đổi Laplace của một hàm f (.) được cho bởi
∞

F (s)

L{f (.)}(s) =

e−st f (t)dt.
0

Khi đó, L{D0α f (t)} = sα F (s) − sα−1 f (0).

1.5. Ánh xạ đa trị và một số định lí điểm bất động
Cho X là một không gian Banach và B(X) là họ các tập con khác rỗng bị chặn

của X .

7


Định nghĩa 1.5.1. Một hàm β : B(X) → R+ được gọi là một độ đo không compact

(MNC) trong X nếu

β(co Ω) = β(Ω) với mỗi Ω ∈ B(X),

ở đó co Ω là bao lồi đóng của Ω. Hơn nữa, MNC β được gọi là:
i) Đơn điệu nếu Ω0 , Ω1 ∈ B(X), Ω0 ⊂ Ω1 suy ra β(Ω0 ) ≤ β(Ω1 ).
ii) Không suy biến nếu β({a} ∪ Ω) = β(Ω) với bất kì a ∈ X, Ω ∈ B(X).
iii) Bất biến theo miền của tập compact nếu β(K ∪ Ω) = β(Ω) với mỗi tập compact

8


Chương 2
SỰ ĐỒNG BỘ CỦA MẠNG NƠRON HOPFIELD VỚI HỆ SỐ BIẾN
THIÊN VÀ TRỄ TỈ LỆ
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính độ đồng bộ của mô hình mạng
nơron Hopfield với trễ tỉ lệ được mô tả bởi hệ phương trình vi phân bậc phân số với
hệ số biến thiên. Vận dụng quy tắc Leibniz về đạo hàm phân số và một số kĩ thuật
trong nguyên lý so sánh, chúng tôi thiết lập các điều kiện để các quỹ đạo nghiệm của
hệ là đồng bộ toàn cục với tốc độ đa thức. Nội dung của chương này dựa trên bài
báo [1] trong Danh mục công trình công bố của luận án.

2.1. Mô hình mạng nơron Hopfield bậc phân số
Xét lớp hệ vi phân bậc phân số mô tả mạng nơron Hopfield sau đây
n

D0α xi (t)

= − di (t)xi (t) +

aij (t)fj (xj (t))
j=1

n

bij (t)gj (xj (qij t)) + Ii (t), t > 0,

+


n

Fi (t, u, v) = −di (t)ui +

bij (t)gj (vij ) + Ii (t),

aij (t)fj (uj ) +
j=1

j=1

9

(2.2)


ở đó F (t, u, v) = (Fi (t, u, v)), u = (ui ) ∈ Rn và v = (vij ) ∈ Rn×n , là hàm liên tục và

Lipschitz địa phương trên R+ × Rn × Rn×n . Do đó, với mỗi vectơ ban đầu x0 ∈ Rn ,

tồn tại duy nhất một nghiệm x(t) = x(t, x0 ) của hệ (2.1) xác định trên [0, ∞).

Định nghĩa 2.1.1. Hệ (2.1) được gọi là đồng bộ toàn cục với tốc độ lũy thừa nếu
tồn tại các hằng số γ > 0, β ≥ 1 sao cho bất kì hai nghiệm x1 (t) và x2 (t) của (2.1)

tương ứng với điều kiện đầu x01 và x02 thỏa mãn đánh giá sau
x1 (t) − x2 (t)

∞


lgj
α |bij (t)| νj ≤ 0,
qij

∀i ∈ [n].

(2.3)

1 − α + α2
→ 0 khi r → ∞ nên một điều kiện
r α Γ(2 − α)

đủ cho sự tồn tại của hằng số r > 0 trong (2.3) là
n

−νi di (t) +

j=1

lf j |aij (t)| +

lgj
|bij (t)| νj ≤ −ǫ
qij

với một ǫ > 0 nào đó. Điều kiện trên đây độc lập với bậc α ∈ (0, 1).

1 − α + α2
là một hàm lõm, đơn điệu giảm khi α ∈
Γ(2 − α)


∞

≤

α
C ν rm

x01 − x02 ∞
, t ≥ 0,
(1 + t)α

(2.4)

ở đó Cν = ν u νl−1 , ν u = maxi∈[n] νi , νl = mini∈[n] νi và rm = 21 (r + 1 + |r − 1|).

Nhận xét 2.2.3. Phương pháp chúng tôi sử dụng trong mục này có thể áp dụng cho
mô hình hệ nơron bậc phân số với trễ biến thiên bị chặn dạng sau đây:
n

D0α xi (t)

= −ci (t)xi (t) +

aij (t)fj (xj (t))
j=1

n

+

≤ 0.
b
ν
+
j
α ij
qij
r α Γ(2 − α)

(2.6)

Hệ quả 2.2.2. Với các giả thiết (A1) và (A2), giả sử tồn tại một vectơ ν ∈ Rn ,
−α
ν ≻ 0, sao cho Mν ≺ 0, ở đó M = Lf A + Lg B − D , A = (aij ), B = qij
bij

và

D = diag{d1 , d2 , . . . , dn }. Khi đó, hệ (2.1) là đồng bộ toàn cục với tốc độ lũy thừa.

Nhận xét 2.2.4. Vì −M là một M-ma trận, điều kiện đồng bộ của mô hình (2.1)

cho trong Hệ quả 2.2.2 có thể kiểm tra bằng nhiều tiêu chuẩn khác nhau, chẳng hạn
như các điều kiện trong Mệnh đề 1.1.2.

11


Chương 3
NGHIỆM HÚT TOÀN CỤC CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN BẬC

k ) − u(tk ). Các hàm phi tuyến F , g và Ik sẽ được

chỉ rõ trong các mục sau.

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (3.1)-(3.3), chúng tôi xét các điều
kiện sau:
(A) AB −1 là toán tử sinh của một C0 - nửa nhóm {T (t)}t≥0 liên tục theo chuẩn.
(F) F : [0, T ] × X → Kv (X), họ các tập con lồi compact khác rỗng của X , là một ánh
xạ đa trị thỏa mãn các điều kiện:

1. Với mỗi v ∈ X , ánh xạ đa trị F (·, v) có hàm chọn đo được mạnh và ánh xạ
đa trị F (t, ·) là nửa liên tục trên với hầu khắp t ∈ (0, T );
12


2. Tồn tại các hàm m ∈ Lp (0, T ), p >

1
α

và ΨF là một hàm thực liên tục không

giảm sao cho

F (t, v) ≤ m(t)ΨF ( v ), ∀v ∈ X,

và với hầu khắp t ∈ (0, T ), ở đây F (t, v) = sup{ ξ : ξ ∈ F (t, v)};

3. Nếu B −1 và T (·) không compact thì với bất kì tập con bị chặn D ⊂ X ,
χ(F (t, D)) ≤ k(t)χ(D)


Định nghĩa 3.1.1. Hàm u ∈ PC([0, T ]; X) được gọi là một nghiệm tích phân của bài
toán (3.1)-(3.3) trên đoạn [0, T ] nếu tồn tại một hàm f ∈ PFp (u) sao cho
u(t) = Sα (t)Bg(u) +
0
(t − s)α−1 Pα (t − s)

χ k(s)ds

χPC (D)

với mọi tập bị chặn D ⊂ PC([0, T ]; X), ở đây SαT = supt∈[0,T ] Sα (t) .

Định lí 3.1.2. Giả sử các điều kiện trong Bổ đề 3.1.1 và hai điều kiện sau đây được
thỏa mãn
t

µk SαT + 4 sup

η+

t∈(0,T ]

tk ∈(0,T )

lim inf
r→∞

1
r

0

(t − s)α−1 Pα (t − s)


lk SαT

ℓ0 = 1 +
tk ∈(0,T )

+ sup
t∈(0,T ]

0

(t − s)α−1 Pα (t − s) m(s)ds < 1,

(3.8)

và
t

µk SαT + 4 sup

κ0 = η +
tk ∈(0,T )

t∈(0,T ]

0

(t − s)α−1 Pα (t − s)
14

χ k(s)ds


dT (D) = sup sup x(t) ,

(3.11)

d∞ (D) = lim dT (D),

(3.12)

χ∗ (D) = χ∞ (D) + d∞ (D).

(3.13)

x∈D t≥T
T →∞

Bổ đề 3.2.1. Độ đo χ∗ , định nghĩa ở (3.13), là một độ đo không compact chính quy
trên PC 0 .

Để chứng minh sự tồn tại của nghiệm hút toàn cục đối với bài toán (3.1)-(3.3),

các điều kiện (A), (F), (G) và (I) được thay bởi các điều kiện dưới đây.
(A*) Nửa nhóm {T (t)}t≥0 thỏa mãn (A) và các họ toán tử {Sα (t), Pα (t)}t≥0 là ổn định
tiệm cận, tức là

lim Sα (t) = 0,

t→∞

lim Pα (t) = 0.

Pα (t − s) m(s)ds < ∞,

0
t

κ = sup
t>0

δt

(3.15)

(t − s)α−1 Pα (t − s) m(s)ds < ∞.

Khi đó, F (PC 0 ) ⊂ PC 0 .

Bổ đề 3.2.3. Giả sử các điều kiện (A*), (F*), (G*) và (I*) được thỏa mãn. Khi đó,
nếu ϑ < ∞, max{κ, ℓ} < 1, các hằng số ϑ và κ được cho bởi (3.14)-(3.15), và
t

(t − s)α−1 Pα (t − s)

µk Sα∞ + 4 sup

ℓ= η+

t>0

k∈Λ


0

(t − s)α−1 Pα (t − s) m(s)ds.

(3.17)

Khi đó, bài toán (3.1)-(3.3) có một tập compact khác rỗng các nghiệm hút toàn cục.
Hệ quả 3.2.5. Giả sử (A*), (F*), (G*) và (I*) đúng và Ψg (r) ≤ r, ΨI (r) ≤ r, ∀r > 0.
Khi đó, nếu max{ℓ0 , κ0 } < 1 và ϑ = sup
t>0

Pα (t − s) m(s)ds < ∞, với

δt
0
t

lk Sα∞ + sup

ℓ0 = 1 +

t>0

k∈Λ

0

(t − s)α−1 Pα (t − s) m(s)ds,
t


−
u(t+
k , x) = u(tk , x) +

(3.23)

G(s, x, y)u(s, y)dyds, x ∈ Ω,

(3.24)

b
0

Ω

(3.22)

Hk (x, y)u(tk , y)dy, x ∈ Ω,

Ω

u(0, x) = v(x) +

(3.21)

ở đó ∂tα , α ∈ ( 12 , 1), là đạo hàm Caputo theo t, ∆x là toán tử Laplace theo x, và
m

m



Rõ ràng, T (t) ≤ e−βt , t ≥ 0, với β =

λ1
1+λ1

> 0. Do đó các toán tử nghiệm đặc trưng

Sα (·), Pα (·) là ổn định tiệm cận và điều kiện (A*) được thỏa mãn.

Ánh xạ F : R+ × X → P(X) xác định bởi
F (t, v)(x) = co{f1 (t, v(x)), . . . , fm (t, v(x))}

với fi : R+ × R → R, i = 1, . . . , m, là các hàm liên tục thỏa mãn
|fi (t, z)| ≤ m(t)|z|, ∀(t, z) ∈ R+ × R,

(3.25)

ở đây m ∈ BC(R+ ; R+ ), không gian các hàm liên tục bị chặn trên R+ , và thỏa mãn
I0α m ∈ BC(R+ ; R+ ), tức là

I0α m(t) = O(1) khi t → ∞.

Khi đó điều kiện (F*) được thỏa mãn vì theo (3.25) ta có F (t, v) ≤ m(t) v .
Xét các hàm bước nhảy Ik được định nghĩa bởi
Ik (v)(x) =

Hk (x, y)v(y)dy.
Ω


Với hàm không cục bộ, đặt

< ∞.

b

g(w)(x) = v(x) +
0

Ω

G(s, x, y)w(s, y)dyds, w ∈ PC([0, +∞); X).

Chúng tôi giả thiết rằng v ∈ H 2 (Ω) và G : [0, b] × Ω × Ω → R là một hàm đo được với
G(t, ·, ·), ∆xG(t, ·, ·) ∈ L2 (Ω × Ω). Khi đó, bằng cách đặt

˜ x, y) = (I − ∆x )G(s, x, y)
G(s,

ta có
b

Bg(w) ≤ v

H2

˜ ·, ·)
G(s,

+

Ω

là một toán tử Hilbert-Schmidt với mỗi s ∈ [0, b] cố định, ta thấy rằng với bất

kỳ tập bị chặn D ∈ PC([0, ∞); X), K(D(s)) là tập compact tương đối trong X . Do
vậy tập Bg(D) = Bv +
4

b
χ(K(D(s)))ds
0

b
K(D(s))ds
0

cũng là tập compact tương đối do χ(Bg(D)) ≤

= 0. Chứng tỏ (G)(2) được thỏa mãn với η = 0. Cuối cùng, chúng

tôi chỉ ra các điều kiện trong Định lí 3.2.4 được thỏa mãn và bài toán (3.20)-(3.24)
có một tập compact các nghiệm hút toàn cục nếu
b

ρ=
0

∞

˜ ·, ·)


D0α xi (t)

Aij xj (t) + Bi ui (t), t > 0,

= Aii xi (t) +
j=1,j=i

(4.1)

xi (0) = xi0 ∈ Rni ,

ở đó α ∈ (0, 1), xi (t) ∈ Rni là vectơ trạng thái và ui (t) ∈ Rmi là điều khiển đầu vào địa

phương, Aii ∈ Rni ×ni , Aij ∈ Rni ×nj và Bi ∈ Rni ×mi là các ma trận cho trước, xi0 là điều

⊤
⊤
n
kiện ban đầu của hệ con thứ i. Kí hiệu x = (x⊤
1 , x2 , . . . , xN ) ∈ R là vectơ tổng (trạng
⊤
⊤
m
thái toàn hệ thống) và u = (u⊤
1 , u2 , . . . , uN ) ∈ R , n = n1 + . . . + nN , m = m1 + . . . + mN .

Hệ kết nối toàn phần của (4.1) được biểu diễn dưới dạng
D0α x(t) = Ax(t) + Bu(t), t > 0,


∈ Rn×n ,
.. 
...

. 

AN 1 AN 2 . . . AN N

19

B = diag(B1 , . . . , BN ) ∈ Rn×m .

(4.2)


Định nghĩa 4.1.1. Hệ (4.2) được gọi là hệ dương nếu với bất kì vectơ ban đầu không
âm, x0 ∈ Rn+ , và điều khiển đầu vào không âm, u(t) ∈ Rm
+ , quỹ đạo trạng thái tương

ứng của hệ không âm, tức là x(t) ∈ Rn+ với mọi t ≥ 0.

Mệnh đề 4.1.1. Hệ (4.2) là hệ dương nếu và chỉ nếu Aii , i ∈ [N], là các ma trận

Metzler và Aij , i = j , Bi , i ∈ [N], là các ma trận không âm.

4.1.2. Tính ổn định
Để ổn định hóa hệ (4.2), một điều khiển phân quyền được thiết kế dạng
ui (t) = Ki xi (t), t ≥ 0,

(4.3)


(a) Tồn tại một điều khiển phản hồi phân quyền dạng (4.3) sao cho hệ đóng (4.4) là
hệ dương và ổn định tiệm cận toàn cục.
(b) Tồn tại các vectơ vi ∈ Rni , vi ≻ 0, và các ma trận Ki ∈ Rmi ×ni thỏa mãn (4.5)
sao cho Aii + Bi Ki , i ∈ [N] là các ma trận Metzler.

(c) LP sau có nghiệm là các vectơ 0 ≺ vi ∈ Rni và ma trận Zi ∈ Rmi ×ni
N

Aii vi + Bi Zi 1ni +
j=1,j=i

Aij vj ≺ 0

1 (i) (i)
b Z + [Aii ]kl ≥ 0, i ∈ [N], k, l ∈ [ni ], k = l
vil k l
20

(4.6a)
(4.6b)


ở đó Bi = b(i)⊤
1

(i)⊤

b2



(i)
1
vini Zni

(4.7)

ở đó D(vi ) là ma trận đường chéo tạo bởi các phần tử của vectơ vi .

4.2. Tính ổn định và ổn định hóa vững của hệ điều khiển bậc phân
số dạng kết nối với nhiễu dạng khoảng và trễ không đồng nhất
4.2.1. Hệ điều khiển bậc phân số dạng kết nối có trễ
Xét lớp hệ điều khiển dạng kết nối gồm N hệ địa phương Σi , i ∈ [N],
N

D0α xi (t)

= Aii xi (t) +

Aij xj (t)
j=1,j=i

N

+
j=1,j=i

Gij xj (t − τij (t)) + Bi ui (t), t ≥ 0,

(4.8)

ở đó Aij , Aij , Gij , Gij và B i , B i là các ma trận đã biết. Để thuận tiện, ta viết
∆lb Aij = Aij − Aij và ∆ub Aij = Aij − Aij . Các ký hiệu tương tự được định nghĩa cho

các ma trận khác.

Để ổn định hóa vững hệ (4.8), một điều khiển phân quyền được thiết kế dạng
(4.10)

ui (t) = Ki xi (t), t ≥ 0,

ở đó Ki ∈ Rmi ×ni là ma trận đạt được, hệ đóng của (4.8) được viết dưới dạng
N

N

D0α xi (t)

=

Acii xi (t)

Aij xj (t) +

+

j=1,j=i

j=1,j=i

ở đó Acii = Aii + Bi Ki .


Gij x−
j (t − τij (t)) + B i ui (t), t ≥ 0,

(4.12)

Gij x+
j (t − τij (t)) + B i ui (t), t ≥ 0,

(4.13)

+
x−
i (t) = θi (t), t ∈ [−τi , 0], i ∈ [N]

và
N

D0α x+
i (t)

=

Aii x+
i (t) +

N

Aij x+
j (t) +

4.2.3. Phân tích tính ổn định
Định lí 4.2.4. Cho trước các ma trận đạt được Ki , i ∈ [N], và giả sử hệ đóng (4.11) là

hệ dương. Khi đó, hệ (4.11) là ổn định tiệm cận vững nếu tồn tại các vectơ vi ∈ Rni ,
vi ≻ 0, i ∈ [N], thỏa mãn điều kiện sau:

N

Aii + Bia Ki

+ Big |Ki |

vi +
j=1,j=i

Aij + Gij vj ≺ 0, ∀i ∈ [N].

(4.14)

4.2.4. Thiết kế điều khiển
Định lí 4.2.5. Tồn tại một điều khiển phản hồi phân quyền dạng (4.10) sao cho hệ
đóng (4.11) là hệ dương và ổn định tiệm cận bền vững nếu các điều kiện sau được
thỏa mãn:
(a) Các ma trận Aij , Gij , i, j ∈ [N], i = j , và B i , i ∈ [N], không âm;
22


(b) Tồn tại các vectơ vi ∈ Rni , vi ≻ 0, và các ma trận Zi ∈ Rmi ×ni , i ∈ [N], thỏa mãn
bài toán LP sau






(i)

bg1

(4.15a)
(4.15b)



 .  a  .  g  . 
(i)
(i)
(i)
 . 
 . 
. 
ở đó vi = 
 . , Bi =  . , Bi =  .  và Zi = Z1 Z2 . . . Zni . Ma
(i)

(i)

bani

vini


(b) Tồn tại các vectơ χi ∈ Rni , χi ≻ 0, và các ma trận Ki ∈ Rmi ×ni sao cho Aii +Bi Ki ,
i ∈ [N] là ma trận Metzler và điều kiện sau đúng với mọi i ∈ [N]
N

(Aii + Bi Ki )χi +
j=1,j=i

(Aij + Gij )χj ≺ 0.

(4.17)

(c) Bài toán LP sau có nghiệm χi ∈ Rni , χi ≻ 0, và Wi ∈ Rmi ×ni
N

Aii χi + Bi Wi 1ni +
j=1,j=i

(Aij + Gij )χj ≺ 0

1 (i) (i)
b W + [Aii ]kl ≥ 0, ∀k, l ∈ [ni ], k = l
χil k l



χi1





1
χi1 W1

(i)
1
χi2 W2

23

...

(i)
1
χini Wni

.

(4.19)