Nguyễn Thị Thanh Thúy

Trường THCS Ngô Quyền

CHUYÊN ĐỀ 1 – ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
A. Lý thuyết
1. Hai góc đối đỉnh
1.1.
Định nghĩa
-

Ví dụ:

Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của
góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.

·
AOC

và

·
BOD

-

đối đỉnh

Hình 1
1.2.
-

vuông

AB ⊥ CD

2.2.
-

(tại O)

·
⇔ AOC
= 900

Tính duy nhất của đường vuông góc

Qua một điểm cho trước, có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho
1


Nguyễn Thị Thanh Thúy

Trường THCS Ngô Quyền

trước.
Đường trung trực của đoạn thẳng

2.3.
-

Đường trung trực của đoạn thẳng là đường vuông góc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nó.

B

µ3 A
µ4
B

µ1
A

µ2 A
µ4
B

µ3
B

và

và
;
và
;
Hai cặp góc trong cùng phía:
•

3.2.
-

µ4
A

Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba và trong các góc tạo thành có một cặp góc so
le trong bằng nhau thì:
• Hai góc so le trong còn lại bằng nhau
• Hai góc đồng vị bằng nhau
• Hai góc trong cùng phía bù nhau
2


Nguyễn Thị Thanh Thúy

Ví dụ:

Trường THCS Ngô Quyền

µ 2 =B
µ2
A

µ1=B
µ1⇔ A
µ
µ
A
 3 = B1
µ
0
µ
A 2 + B1 = 180

4. Hai đường thẳng song song

5.1.
Tiên đề Ơ-Clít về đường thẳng song song
-

Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song song với
đường thẳng đó.
5.2.

-

Tính chất hai đường thẳng song song

Nếu hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba thì:
• Hai góc so le trong còn lại bằng nhau
• Hai góc đồng vị bằng nhau
• Hai góc trong cùng phía bù nhau

3


Nguyễn Thị Thanh Thúy

Ví dụ: a // b

Trường THCS Ngô Quyền

µ1=B
µ1
A


6.2.
-

Ba đường thẳng song song

Hai đường thẳng (phân biệt) cùng song song với một đường thẳng thứ ba thfi chúng song song
với nahu

a / /c 
 ⇒ a / /b
b / /c 
4


Nguyễn Thị Thanh Thúy

Trường THCS Ngô Quyền

7. Định lí
7.1.
Định lí. Gỉa thiết và kết luận của định lí
-

Một tính chất được khẳng định là đúng bằng suy luận gọi là một định lí.
Giả thiết của định lí là điều cho biết. Kết luận của định lí là điều được suy ra.
7.2.

-

Chứng minh định lí

Bài toán 3: Hai đường thẳng MN và PQ cắt nhau tại I tạo thành góc MIP có số đo bằng
a) Tính số đo

450.

·
NIQ;
·
MIQ

b) Tính số đo
;
c) Viết tên các cặp góc đối đỉnh;
d) Viết tên các cặp góc bù nhau.

Bài toán 4: Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai?
a)
b)
c)
d)

Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau;
Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh;
Hai góc không đối đỉnh thì không bằng nhau;
Hai góc không bằng nhau thì không đối đỉnh.
5


Nguyễn Thị Thanh Thúy



·
NOQ?

c) Kể tên các cặp góc đối đỉnh là góc nhọn.

·
AOB.

Bài toán 8: Cho góc
Vẽ góc
hình vẽ có hai góc nào đối đỉnh?

·
BOC

kề bù với góc

·
AOB.

Vẽ góc

Bài toán 9: Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O, tạo thành góc
lại.
Bài toán 10: Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Biết

·
AOD


3000.

Tính số đo của bốn góc nói trên

Bài toán 12: Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O, tạo thành góc
phân giác của góc

·
AOC,

ON là tia đối của tia OM. Tính

·
·
< COF
( COE
)

·
AOC
= 500.

.

Gọi OM là tia

·
·
BON,
DON.

A

các góc

µ
B

và

µ
C

đều nhọn.

a) Dùng thước thẳng và eeke vẽ đoạn thẳng đi qua B và vuông góc với AC tại E, vẽ đoạn thẳng đi

qua C và vuông góc với AB tại F.
b) Đo góc

·
·
ABE,ACF.

c) Gọi H là giao điểm của BE và CF. Đo góc

xx '

·
EHF?



·
xOy
= 500.

Lấy điểm A trên tia Ox sao cho

vuông góc với Ox tại A. Lấy điểm B trên tia Oy sao cho
với Oy tại B. Gọi giao điểm của
Bài toán 19: Vẽ đoạn thẳng
Bài toán 20: Cho

và

d2

AB = 5cm.

·
AOB
= 900.

OC vẽ tia OD sao cho

d1

OA = 2cm,

OB = 3cm,


AOB
= 1200.

OB ⊥ OC.

Bài toán 22: Cho
a)
b)

·
AOB
= 400.

OD ⊥ OB,
OD ⊥ OB,

Bài toán 23: Cho

Trường THCS Ngô Quyền

Tia OC nằm giữa hai tia OA, OB sao cho

Vẽ tia OC là tia đối của tia OA. Tính

của góc

biết rằng:

các tia OD và OA thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ OB.



·
BOE

·
AOC
= 300.

. Tính

·
AOB
= 1300.
·
COD

Trong góc

·
AOB

vẽ các tia OC, OD sao cho

OC ⊥ OA,

?

Bài toán 25: Tìm các cặp góc so le trong, đồng vị, trong cùng phía trong hình dưới đây:

Bài toán 26: Xem hình sau rồi điền vào chỗ trồng trong các phát biểu sau:

·
ANP

là một cặp góc .....................................
là một cặp góc .......................................

·
NMB
·
BCD

là một cặp góc ....................................
là một cặp góc .....................................
8


Nguyễn Thị Thanh Thúy

Trường THCS Ngô Quyền

f) Một cặp góc so le trong khác là.........................................
g) Một cặp góc đồng vị khác là .............................................
h) Một cặp góc trong cùng phía khác là.................................

Bài toán 27: Tính các giá trị x, y, z, t trên mỗi hình sau:
a)

b)

Bài toán 28: Chọn câu trả lời đúng trong các câu sau:


Bài toán 30: Cho hình 30 dưới đây. Hãy chứng tỏ a // b:

9


Nguyễn Thị Thanh Thúy

Hình 30

Trường THCS Ngô Quyền

Hình 31

Bài toán 31: Cho hình 31. Chứng minh AB // CD.
Bài toán 32: Chọn câu đúng trong các câu sau:
Qua điểm A nằm ngoài đường thẳng m, có một đường thẳng song song với m.
Qua điểm A nằm ngoài đường thẳng m, chỉ có một đường thẳng song song với m.
Qua điểm A nằm ngoài đường thẳng m, có duy nhất một đường thẳng song song với m.
Qua điểm A nằm ngoài đường thẳng d, có hai đường thẳng phân biệt cùng song song với d.
Nếu hai đường thẳng AB và AC cùng song song với đường thẳng d thì hai đường thẳng AB và
AC trùng nhau.
f) Nếu hai đường thẳng b và c cùng song song với đường thẳng a thì hai đường thẳng b và c trùng
nhau.
a)
b)
c)
d)
e)


Bài toán 35: Cho hình 35 với a // b và

µ1−D
µ 1 = 300.
C

Tính

µ2
C

và

µ 2.
D

Bài toán 36: Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai?
Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì:
a)
b)
c)
d)

Hai góc đồng vị bằng nhau;
Hai góc so le ngoài bằng nhau;
Hai góc trong cùng phía bù nhau;
Hai góc ngoài cùng
Hìnhphía
34 bù nhau.


Tính

µ2
M

và

µ 2.
N

11

Hình 38

Hình 39


Nguyễn Thị Thanh Thúy

Trường THCS Ngô Quyền

Bài toán 39: Cho hình 39, hãy chứng tỏ AD // CG.
Bài toán 40: Cho hình 40, trong đó AB // DE. Tính

·
BCE

.

Hình 41

a) Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì …
b) Nếu một đường thẳng song song với một trong hai đường thẳng song song thì …

Bài toán 45: Hãy chứng minh định lí:
Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau.
C. Bài tập tự luyện

HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH
Bài 1: Hình nào trong các hình sau có chứa hai góc đối đỉnh?

Bài 2 : Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước câu trẳ lời đúng nhất :
1. Hai đường thẳng xy và x’y’ cắt nhau tại A, ta có:
A. Â1 đối đỉnh với Â2, Â2đối đỉnh với Â3
B. Â1 đối đỉnh với Â3 , Â2 đối đỉnh với Â4
C. Â2 đối đỉnh với Â3 , Â3 đối đỉnh với Â4
D. Â4 đối đỉnh với Â1 , Â1 đối đỉnh với Â2
2. Câu nào sau đây đúng ?
A. Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau
B. Hai góc không đối đỉnh thì không bằng nhau
C. Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh
D.Hai góc không bằng nhau thì không đối đỉnh
Bài 3: Vẽ góc

∠

xAy bằng 60o. Vẽ góc đối đỉnh với góc góc

∠

xAy và tìm số đo của góc đó.

c) Viết tên các cặp góc đối đỉnh
d) Viết tên các cặp góc bù nhau
Bài 7: Vẽ hai góc có chúng đỉnh và có số đo là 80 độ, nhưng không đối đỉnh.
Bài 8: Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại I (I nằm giữa A và B , I nằm giữa C và D). Vẽ góc
BIE bằng 30o sao cho tia IB là tia phân giác của góc DIE. Tính số đo góc AIC và số đo góc CIE.
ĐS:

∠

AIC = 30o ;

∠

CIE = 120o
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Bài 1 : Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng nhất :
1. Nếu có hai đường thẳng:
A. Vuông góc với nhau thì cắt nhau
B. Cắt nhau thì vuông góc với nhau
C. Cắt nhau thì tạo thành 4 cặp góc bằng nhau
D. Cắt nhau thì tạo thành 2 cặp góc đối đỉnh
2. Đường thẳng xy là trung trực của AB nếu:
A. xy ⊥ AB

B. xy ⊥ AB tại A hoặc tại B

C. xy đi qua trung điểm của AB

D. xy ⊥ AB tại trung điểm của AB

AOC +

∠

∠

MOC +

COB = 180o

∠

CON =

∠AOC ∠COB ∠AOC + ∠COB 180o
+
=
=
= 90o
2
2
2
2

Ta thấy tia OC nằm giữa hai tia OM và On nên
=>

∠

∠


∠

zOt = 180o

Bài 5: Ở miền ngoài góc tù xOy, vẽ các tia Oz, Ot sao cho Oz vuông góc với Ox, Ot vuông góc với Oy.
Gọi Om, On là tia phân giác của xOy, zOt. Chứng minh On, Om là hai tia đối nhau.
Bài 6: Cho điểm M nằm giữa hai điểm A và B. Lấy điểm C nằm ngoài đường thẳng AB. Gọi MN là tia
phân giác của góc BMC. Điểm K thuộc nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C sao cho tia MK
vuông góc với tia MN. Gọi P là điểm nằm bên trong góc AMC sao cho MP là tia phân giác của góc
AMC. Chứng minh K, M, P thẳng hàng.
Bài 7: Cho góc bẹt AOB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ ba tia OM, ON, và OC sao cho
∠
∠
BON < 90o và tia OC là tia phân giác của MON. Chứng minh OC vuông góc với AB.

∠

Bài 8: Cho hai tia Ox và Oy vuông góc với nhau. Trong góc xOy ta vẽ hai tia OA, OB sao cho
∠
∠
Boy = 30o. Vẽ tia OC sao cho tia Oy là tia phân giác của AOC. Chứng minh:

AOM =

∠

AOx =

15

b) Đường thẳng a//b nếu a, b cắt đường thẳng d mà trong các góc tạo thành có một cặp góc ngoài
cùng phía bù nhau
c) Đường thẳng a//b nếu a, b cắt đường thẳng d mà trong các góc tạo thành có một cặp góc so le
trong bằng nhau
Bài 3: Cho hình vẽ (hình a)
Hình a

Hình b

B
117 A

l

63
A

C
85

D

m

2

B 3 85

16


, Ot là tia phân giác của góc AOB.
Hỏi các tia Ax, Ot và By có song song với nhau không? Vì sao?
Đáp án: Ô1 =Ô2 = 350 ⇒ Ax // Ot; Ô2 +

µ
B

x

O

=1800 ⇒ Ot //By

Bài 7: Cho góc xOy có số đo bằng 350. Trên tia Ox lấy điểm A, kẻ tia Az
nằm trong góc xOy và Az // Oy. Gọi Ou, Av theo thứ tự là các tia phân giác
của các góc xOy và xAz.

A

35°

t

1
2

145°

y



·
xBb
= 1600

. Trên nửa mặt phẳng có bờ là xy
17


Nguyễn Thị Thanh Thúy

Trường THCS Ngô Quyền

không chứa tia Aa ta dựng tia Cc sao cho
Bb, Cc đôi một song song với nhau.

·
yCc
= 1600

. Chứng tỏ rằng ba đường thẳng chứa ba tia Aa,

Hướng dẫn:

·
BAa
+ ·ABb = 1800

·
xBb

6
Hướng dẫn:
¶ =D
¶ = 1100
G
2
8

(đồng vị tạo bởi d’// d’’)

¶ = 1800 − G
¶ = 1800 − 1100 = 700
G
3
2

(kề bù)

Bài 10: Cho hình vẽ sau :

18


1300

Nguyễn Thị Thanh Thúy

Trường THCS Ngô Quyền

1400

B
1

⊥

c và b

µA + B
µ = 1800
1
1

=1800 -

µA
1

⊥

c nên a// b

(góc trong cùng phía tạo bởi a//b)

= 1800 - 1150 = 650 => x = 650

Bài 3: Cho hình vẽ, đường thẳng nào song song với By? Vì sao?
x

z


Nguyễn Thị Thanh Thúy

HD: Từ G kẻ Gc//Ea thì x =

Trường THCS Ngô Quyền

∠

EGc +

∠

cGF. rồi dựa vào tổng hai góc trong cùng phía.

Bài 6: Cho góc xOy nhọn. Từ điểm M trên cạnh Ox, dựng MN vuông góc với Oy tại N, dựng NP vuông
góc với Ox tại P, dựng PQ vuông góc với Oy tai Q, dựng QR vuông góc với Ox tại R. Chứng minh rằng:
a) MN//PQ; NP//QR
b) Tìm tất cả các góc bằng góc PNM
HD: a, Dựa vào tính chất từ vuông góc tới song song
b, Dựa vào các góc sole trong, đồng vị.
Bài 7: Cho ∆ ABC, phân giác BM (MAC). Vẽ MN // AB cắt BC tại N. Phân giác góc MNC cắt MC ở P.
a) CMR: = , BM // NP
b) Gọi NQ là phân giác của , cắt AB ở Q. CMR: NQ BM
Bài 8: Cho = 1200. Lấy A Ox, B Oy. Vẽ tia Am, An trong sao cho = 700, = 1300. Chứng minh Am //
Bn.
Bài 9: Cho ∆ ABC. Trên cạnh AB lấy M, trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa C, vẽ tia Mx sao cho =
a) CMR: Mx // BC và Mx cắt AC
b) Gọi D là giao điểm của Mx với AC. Lấy N nằm giữa C và D. Trên nửa mặt phẳng bờ AC
không chứa điểm B, vẽ tia Ny sao cho = . CMR: Mx // Ny
Bài 10: Cho ∆ABC. Vẽ phân giác ngoài tại A của ∆ABC. Từ B kẻ d//AD.