ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Vũ Thanh Lam

PHƯƠNG PHÁP LIAO NGHIÊN CỨU
SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Vũ Thanh Lam

PHƯƠNG PHÁP LIAO NGHIÊN CỨU
SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số:

60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. LÊ HUY TIỄN


1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Các khái niệm ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Số mũ Lyapunov và tính chính quy . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4

Kỹ thuật tam giác hóa Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20


Chứng minh định lý 2.2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Kết luận

42

Tài liệu tham khảo

43

ii


LỜI NÓI ĐẦU
Việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân được nhiều
người quan tâm vì nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực như vật lý, kinh
tế, sinh học, . . . . Có hai phương pháp chính nghiên cứu sự ổn định nghiệm là
phương pháp hàm Lyapunov và phương pháp số mũ Lyapunov. Để mở rộng
phạm vi ứng dụng của nó, nhiều hướng nghiên cứu mới của lí thuyết ổn định
đã xuất hiện và nhận được nhiều kết quả thú vị về cả lý thuyết và ứng dụng.
Luận văn này đề cập đến một hướng tiếp cận gần đây liên quan đến phương
pháp số mũ Lyapunov.
Như ta đã biết, đối với hệ tuyến tính không ô-tô-nôm x = A(t)x, tính âm
của số mũ Lyapunov không suy ra được tính ổn định của phương trình có nhiễu
x = A(t)x+f (t, x). Phản ví dụ cho điều này được gọi là Hiệu ứng Perron (xem
[12]). Năm 1966, D. Bylov (xem [4]) đưa ra thêm điều kiện tính chính quy của
hệ để đảm bảo cho tính ổn định của hệ với nhiễu Lipschitz đủ nhỏ. Sau đó, có
nhiều nỗ lực mới ra đời để tìm điều kiện đủ cho tính ổn định của phương trình

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản của lý thuyết
ổn định cho phương trình vi phân tuyến tính không ô-tô-nôm. Trong đó trình
bày một số khái niệm cơ sở của phương trình vi phân như các khái niệm ổn
định, số mũ Lyapunov, hàm Lyapunov, kỹ thuật tam giác hóa Perron, . . . Nội
dung chính của chương này được tham khảo trong sách của L. Ya. Adrianova
[1], W. A. Coppel [5] và L. Bareira và C. Valls [2].

1.1

Các khái niệm ổn định

Trước tiên, ta tìm hiểu các loại ổn định của phương trình vi phân. Xét
phương trình không ô-tô-nôm
x(t)
˙
= f (t, x),

t ≥ t0 ,

(1.1)

trong đó, hàm f : [t0 , +∞) × Rn → Rn là hàm thỏa mãn các điều kiện cần
thiết để (1.1) có nghiệm. Hàm vectơ x : [t0 , +∞) → Rn được gọi là nghiệm
của phương trình (1.1) trên miền [t0 , +∞) nếu nó là hàm khả vi và thỏa mãn
x(t)
˙
= f (t, x(t)), t ≥ t0 .
Khái niệm ổn định Lyapunov được đặt theo tên nhà toán học người Nga,
Aleksandr Lyapunov, người đã xuất bản cuốn sách Bài toán Tổng quát về sự
ổn định chuyển động vào năm 1892 (xem [9]). Lyapunov là người đầu tiên xem

4


Nếu ngoài ra nghiệm x(t) thỏa mãn
lim x(t) − x(t) = 0

t→∞

thì ta nói x(t) ổn định tiệm cận (xem Hình (1.2)).
Định nghĩa 1.1.2. Nghiệm x(t) của phương trình (1.1) được gọi là ổn định
mũ (hay còn gọi là co không đều) nếu tồn tại hằng số α > 0 sao cho với mọi
t0 , tồn tại số N = N (t0 ) sao cho
x(t) − x(t) ≤ N e−α(t−t0 ) x(t0 ) − x(t0 )
trong đó x(t) là nghiệm phương trình sao cho
x(t0 ) = x0 .
Nếu trong định nghĩa trên số N được chọn độc lập với t0 , thì ta gọi x(t) là
ổn định mũ đều (hay gọi là co đều).
Ví dụ 1.1.3. Xét phương trình x˙ = 0. Khi đó, ta có nghiệm tổng quát x(t) ≡ c
với c là hằng số thực tùy ý. Rõ ràng nghiệm tầm thường x(t) = 0 là ổn định
(xem Hình 1.3) vì với mọi ε > 0, với cách chọn δ = ε, khi đó nếu với bất kì
nghiệm x(t) thỏa mãn |x(t0 ) − x(t0 )| ≤ δ thì
|x(t) − x(t)| = |x(t0 ) − x(t0 )| ≤ δ = ε.

Hình 1.3: Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của Ví dụ 1.1.3 là ổn định nhưng không ổn định
tiệm cận
5


Tuy nhiên, nghiệm tầm thường không ổn định tiệm cận bởi nếu chọn y(t) ≡ δ/2
thì

(sin log(t+1)+cos log(t+1)−α)dt
t0

.

Mặt khác, ta có ước lượng
sin log(t + 1) + cos log(t + 1) =
6

√

2 sin log(t + 1) +

π
4

≤

√

2.


Cho nên
t

|x(t)| = |x0 | exp

sin log(t + 1) + cos log(t + 1) − α
t0

λ+ (x) = lim sup
t→+∞

1
log x(t)
t

là số mũ Lyapunov trên của hàm x : [t0 , +∞) → R với quy ước log 0 = −∞.
Số mũ Lyapunov trên (hoặc số mũ Lyapunov dưới) của phương trình (1.2)
tại v ∈ Rn được định nghĩa bằng công thức
λ+ (v, A) = lim sup
t→+∞

7

1
log xA (t, v) ,
t


hoặc λ− (v, A) = lim inf
t→+∞

1
log xA (t, v) ,
t

trong đó xA (t, v) là nghiệm của phương trình (1.2) với điều kiện ban đầu
x(0) = v. Nếu không muốn nhấn mạnh đến số mũ Lyapunov trên hay dưới,
ta sẽ dùng kí hiệu λ(v, A) cho ngắn gọn. Các tính chất dưới đây của số mũ

8

(1.3)


Tồn tại dãy tk = 2kπ → +∞ sao cho
|c1 cos tk + c2 sin tk | k→+∞
−→ +∞ (với c1 khác không).
e−εtk
Với t đủ lớn thì |c1 cos t + c2 sin t| > e−εt , hay
1
1
log |c1 cos t + c2 sin t| > log e−εt = −ε (t đủ lớn)
t
t
hay
lim sup
t→+∞

1
log |c1 cos t + c2 sin t| > −ε.
t

(1.4)

Từ (1.3) và (1.4) suy ra
−ε < λ(x) ≤ ε với mọi ε > 0 ⇒ λ(x) = 0.
Nhận xét 1.2.3. Mọi hàm bị chặn có số mũ Lyapunov bằng không.
Tập hợp các số mũ Lyapunov của hệ (1.2) được gọi là phổ Lyapunov của hệ.
Như ta đã biết, tập hợp tất cả các nghiệm của của hệ (1.2) lập thành không


3t
0 0 e



t



e
0 0




và X2 (t) =  0 e2t 0  .


3t
3t
3t
e e e
9


Rõ ràng, ta có phổ Lyapunov của X1 là
{(λ1 = 1, n1 = 1), (λ2 = 2, n2 = 1), (λ3 = 3, n3 = 1)}
và phổ Lyapunov của X2 là
{(λ1 = 3, n1 = 3)}.


−t



0
 −t e
=  e (2t + 1)
.
et
−4

Khi đó, ta có số mũ Lyapunov của hai nghiệm (vectơ cột) trong ma trận trên
là

1
log ||x1 (t)||
t→∞ t
1
= lim sup log e−t 1 + (2t + 1)2 /16 = −1
t→∞ t

λ1 = lim sup

và

1
log ||x1 (t)||
t→∞ t
1

1
1
log | det Y (t)| = lim log | det X(t). det C| = lim log |det C| = 0.
t→∞ t
t→∞ t
t→∞ t
lim

Tuy nhiên, nếu chọn ma trận



1 0

C=
1 1
thì ta có ma trận nghiệm cơ bản




−t

e

Y (t) =  e−t (2t + 1)
−4

+ et



= 2 = 0. Do đó, hệ không là chính quy tiến.

11


Ví dụ 1.2.7. Ta xét hệ phương trình


2
−2 + 3 cos t
2 − 3 sin t cos t
1
 x.
x˙ = 
2 −2 − 3 sin t cos t −2 + 3 sin2 t
Bằng tính toán trực tiếp, ta có hệ nghiệm cơ bản của phương trình là


t/2
−t
e cos t e sin t
.
X(t) = 
t/2
−t
−e sin t e cos t
Khi đó, ta có số mũ Lyapunov của hai nghiệm cơ bản là
1
log ||x1 (t)||

1
log | det X(t)| = lim log e−t/2 cos2 t + e−t/2 sin2 t = −1/2.
t→∞ t
t→∞ t
lim

Do đó, (1.5) là đúng cho X(t). Tương tự Ví dụ 1.2.6, ta giả sử Y (t) là ma trận
nghiệm cơ bản khác của phương trình trên. Khi đó
Y (t) = X(t)C
với C là ma trận hằng không suy biến nào đó. Khi đó, vế phải của (1.5) là
1
1
log | det Y (t)| = lim log | det X(t). det C| = −1/2.
t→∞ t
t→∞ t
lim

12


Lập luận tương tự Ví dụ 1.2.6, ta chọn ma trận


1 1

C=
0 1
thì ta có ma trận nghiệm cơ bản



λ2 = lim sup

với tổng

m
i=1 λi ni

= 1 = −1/2. Điều này dẫn đến hệ không là chính quy tiến.

Ví dụ vừa rồi cho ta thấy rằng, kể cả đối với hệ tuần hoàn cũng chưa chắc
thỏa mãn điều kiện chính quy tiến. Trong ví dụ dưới đây, ta đưa ra hệ đơn giản
thỏa mãn điều kiện chính quy tiến.
Ví dụ 1.2.8. Ta xét hệ phương trình


0 −1
 x,
x˙ = 
1 0
Bằng tính toán trực tiếp, ta có ma trận nghiệm cơ bản của phương trình là


cos t sin t
.
X(t) = 
sin t − cos t

13



1
1
log | det X(t)| = lim log |1| = 0.
t→∞ t
t→∞ t
lim

Do đó, (1.5) là đúng cho X(t). Giả sử Y (t) là ma trận nghiệm cơ bản bất kì
của phương trình trên. Khi đó,

 

cos t sin t
c c
 .  11 12 
Y (t) = X(t)C = 
sin t − cos t
c21 c22


c11 cos t + c21 sin t c12 cos t + c22 sin t
.
=
c11 sin t − c21 cos t c12 sin t − c22 cos t
Rõ ràng,
1
1
log | det Y (t)| = lim log |det X(t). det C| = 0.
t→∞ t
t→∞ t


(1.6)

Định nghĩa 1.3.1. Các hàm số thỏa mãn các điều kiện (i), (ii), (iii) trong
định lý dưới đây được gọi là các hàm Lyapunov.
Định lý 1.3.2. Giả sử x0 ∈ U là một điểm cân bằng của trường véctơ f (x),
tức là f (x0 ) = 0. Giả sử tiếp theo V : U → R là hàm liên tục trên lân cận B
của x0 và khả vi trên B\{x0 } sao cho:
(i) V (t, x0 ) = 0 và V (t, x) > 0 với mọi x = x0 ∈ B,
(ii) V˙ (t, x) ≤ −W (x) ≤ 0 với x ∈ B\{x0 }.
Khi đó x(t) ≡ x0 là nghiệm ổn định của (1.6).
Ngoài ra, nếu
(iii) W (x) > 0 với mọi x ∈ B\{x0 } thì x(t) ≡ x0 là điểm cân bằng ổn định
tiệm cận.
Ví dụ 1.3.3. Xét phương trình


x = −x + y

y = −x − y 3

15

.


Khi đó


f (x, y) = 



x

y

= y − xy 2
= −x3 .

16


Giải.
f (x, y) = 0 ⇔



y − xy 2 = 0

⇔ x = y = 0.


−x3 = 0
Vậy phương trình có một điểm cân bằng là (0, 0).
Xét phiếm hàm V (x, y) = x4 + 2y 2 ta có:
(i) V (0, 0) = 0, V (x, y) = x4 + 2y 2 > 0 ∀(x, y) = (0, 0).
(ii) V˙ (x, y) = 4x3 x + 4yy = 4x3 (y − xy 2 ) + 4y(−x3 ) = −4x2 y 2 ≤ 0.
Vậy điểm cân bằng (0, 0) là ổn định (xem Hình 1.7).

Hình 1.7: Trường vectơ tại điểm cân bằng cho Ví dụ 1.3.4.


2x3 + x2 y
→ 0 khi (x, y) → (0, 0) nên
x2 + y 2
V˙ (x, y) −(x2 + xy + y 2 ) 2x3 + x2 y
=
+ 2
.
x2 + y 2
x2 + y 2
x + y2

Từ đó,
−a − ε



trạng thái; lời giải của một bất đẳng thức ma trận tuyến tính đặc biệt cung
cấp các hàm Lyapunov cho các hệ thống tuyến tính; và các định luật bảo toàn
thường có thể được sử dụng để xây dựng các hàm Lyapunov cho các hệ thống
vật lý.

1.4

Kỹ thuật tam giác hóa Perron

Trước khi đi vào kĩ thuật tam giác hóa Perron, ta nhắc lại khái niệm cơ bản
của đại số tuyến tính dưới đây.
Định nghĩa 1.4.1. Ma trận vuông giá trị thực U (cấp n) được gọi là ma trận
trực giao nếu ma trận chuyển vị U T của nó cũng là ma trận nghịch đảo, nghĩa
là
U T U = U U T = I.
Dưới đây là một số tính chất cơ bản của ma trận trực giao.
Tính chất 1.4.2. Cho U là ma trận trực giao cỡ n × n. Khi đó, các khẳng
định dưới đây là đúng.
i) Với x, y ∈ Rn thì U bảo toàn tích vô hướng của chúng, tức là
U x, U y = x, y .
ii) U là ma trận trực chuẩn.
iii) U là chéo hóa được (tức là U đồng dạng với ma trận đường chéo). Như là
hệ quả của định lí phổ (spectral theorem), U có thể phân tích thành dạng
U = V DV T
trong đó V là ma trận trực giao và D là ma trận đường chéo.
iv) U có định thức bằng ±1.

20

−1


=



cos α − sin α
sin α

cos α


 = UT.

Do đó, ma trận U là trực giao.
Trong phần này, ta tập trung tìm hiểu kỹ thuật tam giác hóa Perron, là
phương pháp để đưa hệ phương trình vi phân tuyến tính bất kì về dạng phương
trình đường chéo với cách tiếp cận bằng phương pháp sử dụng công cụ của đại
số tuyến tính. Cụ thể, ta có quy trình dưới đây để tam giác hóa phương trình
tuyến tính.
Cho A(t) là hàm ma trận cỡ n × n liên tục trên nửa đường thẳng [t0 , +∞)
và ký hiệu X(t) = {x1 (t) | · · · | xn (t)} là ma trận nghiệm của phương trình vi
phân tuyến tính
x = A(t)x.

(1.7)

Bằng phép trực giao hóa Gram-Schmidt các cột của X(t), bắt đầu với cột đầu
tiên, ta thu được hệ vectơ cơ sở