1
PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG
KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC
BIÊN SOẠN: GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
Phần một: Các dạng hệ cơ bản
I . Hệ phương trình ñối xứng.
1.Phương trình ñối xứng loại 1.
a)Định nghĩa
Một hệ phương trình ẩn x, y ñược gọi là hệ phương trình ñối xứng loại 1 nếu mỗi
phương trình ta ñổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình ñó không ñổi
b) Tính chất
Nếu
( )
00
, yx là m
ộ
t nghi
ệ
m thì h
ệ

( )
00
,xy c
ũ
ng là nghi
ệ
m

c) cách gi
ả

ã cho (1) v
ề
h
ệ
2
ẩ
n S, P (2) (x;y) là nghi
ệ
m c
ủ
a (1) khi và ch
ỉ
khi
(S,P) là 1 nghi
ệ
mc c
ủ
a (2) tho
ả
i mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n:
04
2
≥− PS
v

+ N
ế
u
0>∆
thì
21
XX ≠
nên h
ệ
(1) có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
( )
21
; XX
;
( )
12
; XX

+ N
ế
u
0=∆
thì
21
XX =
nên h

nghi
ệ
m (S;P) tho
ả
mãn.






≥
≥
≥−=∆
0
0
04
2
P
S
PS

VD 1: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình


myx
mxyyx
22

Đ
S:
80 ≤≤ m

2) Hệ phương trình ñối xứng loại 2
.
-M
ộ
t h
ệ
ph
ươ
ng trình 2
ẩ
n x, y
ñượ
c g
ọ
i là
ñố
i x
ứ
ng lo
ạ
i 2 n
ế

t.
- N
ế
u
( )
00
; yx là 1 nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
thì
( )
00
;xy c
ũ
ng là nghi
ệ
m
c) Cách gi
ả
i
2
- Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta ñược một phương trình có dạng
( ) ( )
[ ]
0; =− yxfyx

( )



HD:
Tr
ừ
hai ph
ươ
ng trình c
ủ
a h
ệ
ta thu
ñượ
c
3 3 2 2 2 2
3( ) ( ) ( )[3( ) ] 0
x y x y x y x y xy x y− = − − ⇔ − + + + + =

H
ệ

ñ
ã cho t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i
3 2 2




Gi
ả
i (I) ta
ñượ
c x=y=0 ho
ặ
c x=y=1
Xét (II) T
ừ
gi
ả
thi
ế
t ta suy ra x, y không âm . N
ế
u x, y d
ươ
ng thì h
ệ
vô nghi
ệ
m suy ta h
ệ

có nghi
ệ
m duy nh


+ + =



b) Cách gi
ả
i.
+ Xét tr
ườ
ng h
ợ
p y=0 xem có ph
ả
i là nghi
ệ
m hay không
+
Đặ
t x=ty thay vào h
ệ
r
ồ
i chia 2 ph
ươ
ng trình c
ủ
a h
ệ
cho nhau ta

ng
ñ
úng khi v
ế
trái là ph
ươ
ng trình
ñẳ
ng c
ấ
p b
ậ
c n.
Ví dụ:
Gi
ả
i h
ệ
2 2
2 2
3 1
2 2 1
x xy y
x xy y

− + = −


+ − =



chia 2 ph
ươ
ng trình c
ủ
a h
ệ
cho nhau ta
có
2
2
2
1
3 1
1 2 1 0
1 1
2 2
2 2
t x y
t t
t t
t t
t x y
= =
 
− +
 
= − ⇔ − − = ⇒ ⇔
 
+ −

TRONG GIẢI HỆ

I) PHƯƠNG PHẤP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Phương pháp này chủ yếu là dùng các kỹ năng biến ñổi phương trình cuả hệ ñể dưa về
phương trình ñơn giản có thể rút x theo y hoặc ngược lại ñể thế vào phương trình khác
của hệ
Ta xét ví dụ sau:
Loại 1) Trong hệ có một phương trình bậc nhất theo ẩn x hoặc ẩn y. Khi ñó ta rút x
theo y hoặc y theo x ñể thế vào phương trình còn lại
Ví dụ 1) Giải ghệ phương trình
2 2
2
( 1)( 1) 3 4 1(1)
1 (2)
x y x y x x
xy y x

+ + + = − +


+ + =



HD: Ta thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình (2) từ phương trình (2) ta có
2
1
1
x
y

x y xy x y xy
x y xy x y xy

+ + + =


+ + − =



Giải: Ta có x=y=0 là nghiệm.
Các cặp số (x,y) với x=0, y
≠
0 hoặc x
≠
0, y=0 không là nghiệm.
Xét xy
≠
0. chia 2 vế phương trình cho xy
≠
0 ta ñược
1 1
2 5
1 1
3 4
x y
x y
x y
x y


10 19 10 1 0 1 10 9 1
9 41 9 41
1; ;
20 20
y y y y y y
y y y
⇔ − + − = ⇔ − − +
+ −
⇔ = = =

4
Đáp số:
( )
1; 1
9 41 41 1
;
20 10
9 41 41 1
;
20 10
y x
y x
y x
= =
 
+ −
= =
 
 
 

Đ
i
ề
u ki
ệ
n là
0; 1y x≥ ≥

Ph
ươ
ng trình (1)
⇔
(x+y)(x-2y-1)=0 t
ừ

ñ
ó ta có
2 1
x y
x y
= −


= +

thay l
ầ
n l
ượ
t hai tr



Giải:

Đ
i
ề
u ki
ệ
n
0x y≥ ≥( )
(1) ( 1) 1 0
x y x y⇔ + − − − =

H
ệ

ñ
ã cho t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i:
1
1

i
1
1
0
1
x y
x
y
x y
+ =

=


⇔
 
=
+ =
 

và
0
1
x
y
=


=


ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
3
3 (1)
3(2)
y
x y x
x
x y x x
−

+ + + =



+ + = +


Giải:

Đ
i
ề
u ki
ệ
n

+ − + =


+ + = +

Suy ra
3 3x x x y x x+ − = + = + +

Suy ra
3 3 1x x x+ + = ⇔ =
thay vào (2) ta ñược:
1 3 8y y+ = ⇔ =

Đáp số:
1
8
x
y
=


=


Chú ý: Trong một số bài toán nhiều khi các em cần cộng hoặc trừ 2 phương trình
của hệ sau ñó mới xuất hiện phương trình dạng tích
Ví dụ 4) Giải hệ phương trình :


+ + =


+ =



cộng vế với vế 2 phương trình ta thu ñược:
( )
( )
4
4 4 2 2 2 2
4 6 81 81 3x y xy x y x y x y x y+ + + + = ⇔ + = ⇔ + = ±

hệ ñã cho tương ñương với
( )
( )
2 2
2 2
3
10
3
10
x y
xy x y
x y
xy x y

+ =

10 2 10 9 2 10
x y
x y
x y
xy x y xy x y xy xy xy
+ =

+ =

+ =

  
⇔ ⇔
  
 
+ = − − = − =





 


b)

Xét
( )
( )
2 2

2
2 2
(5 4)(4 )
5 4 16 8 16 0
y x x
x y xy x y

= + −


− + − + − + =



( )
( )
1
2HD:
Coi ph
ươ
ng trình (2) là ph
ươ
ng trình theo
ẩ
n y ta có (2)
⇔
y