K
Q
J
I
P
N
A
B
C
D
S
M
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Các dạng thiết diện theo cách xác định mặt phẳng:
1.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua 3 điểm không thẳng hàng
2.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng và song song với
một đường thẳng cho trước
3.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với hai
đường thẳng cho trước.
4.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với một mặt
phẳng cho trước.
5.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng và vuông góc một
đường thẳng cho trước.
6.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và vuông góc với một mặt
phẳng.
Dạng 1: Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua 3 điểm không thẳng hàng
Phương pháp:
Bước 1: Từ hai điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của mặt phẳng
(P) với một mặt của hình chóp.
Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm được cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp ta sẽ
được các điểm chung mới của (P) với các mặt khác. Từ đó xác định được giao

C
A
D
B
S
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Dạng 2:Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) ((P) chứa một đường thẳng
a

song song với một đường thẳng b cho trước (
a
và
b
chéo nhau)) .
@Phương pháp:
Bước 1: Chỉ ra 2 mp (P) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng song song
a
và
b
.
Bước 2: Tìm một điểm chung M của hai mặt phẳng ( có thể dựng thêm các đường phụ).
Bước 3: Khi đó:
( ) ( )
P Q Mt a b∩ = P P

Bước 4: Sử dụng các cách tìm thiết diện đã biết ta tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) với
các mặt còn lại của hình chóp.
Bước 5: Dựng thiết diện và kết luận.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SC, (P) là
mặt phẳng qua AM và song song BD. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt (P).

∈
(P) ∩ (Q)
Bước 2: Chỉ ra mp (P)
P

a
( hoặc
b
)
⊂
(Q). Suy ra giao tuyến (P) và (Q) là đường thẳng
qua M và song song
a
( hoặc
b
).
Bước 3: Tiếp tục tìm giao tuyến của các mặt khác của hình chóp với (P) bằng các cách đã
biết.
Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang ( AD song song BC ), M là điểm bất
kì thuộc AB và
( )
α
là mặt phẳng qua M và song song với AD và SB.
Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
( )
α
.
Giải:
2

∩ = P
Gọi
N Mx CD= ∩
( )
α
song song với SB nên:
( )
( ) SAB MP SB
α
∩ = P
Tương tự ta có:
( )
( ) SAD Px AD
α
∩ = P
Gọi
K Px SD
= ∩
( )
( ) SCD KN
α
∩ =
Vậy thiết diện là hình thang MNKP.
Dạng 4:Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) đi qua một điểm và song song với
một mặt phẳng cho trước.
Phương pháp:
Bước 1: Tìm điểm chung M của hai mặt phẳng (P) và một mặt phẳng nào đó của hình
chóp.
Bước 2: Chỉ ra
( ) ( )

( ) ( )
M SAB
α
∈ ∩
Do
( )
α
song song với (SAD) nên:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
ABCD MN AD
SAB MK SA
SCD NP SD
SBC KP
α
α
α
α
∩ =
∩ =
∩ =
∩ =
P
P
P
Vậy thiết diện là hình thang KMNP.
3
I

Ví dụ 5 : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD).
Gọi
( )
α
là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB. Xác định thiết diện khi
( )
α
cắt hình
chóp (S.ABCD).
Giải:
Ta có:

( )
AD AB
AD SAB
AD SA
AD SB
⊥

⇒ ⊥

⊥

⇒ ⊥
Từ A kẽ đường thẳng vuông góc với SB tại H.
Do đó
( ) ( )
HAD
α

SBC HI
α
∩ =
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang AHID.
Dạng 6: Thết diện chứa một đường thẳng a và vuông góc với một mặt phẳng .
Bước 1: Chọn 1 điểm A nằm trên đường thẳng
a
sao cho qua A có thể dựng được
đường thẳng b vuông góc với mp
( )
α
một cách dễ nhất.
Bước 2: Khi đó, mp (
a
,b) chính là mp
( )
α
cần dựng
Bước 3: Tìm giao tuyến của
( )
α
với hình chóp bằng các cách đã biết.
Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận.
4
N
J
I
C
A
D

Do đó
( ) ( )
P KIJ≡

Ta có

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P SAB KI
P ABCD IJ
P IJ BC P SBC KN BC
P SCD NI
∩ =
∩ =
⊃ ⇒ ∩ =
∩ =
P P
Vậy giao tuyến là hình thang KNIJ.
Chú ý: Việc tìm thiết diên của mặt phẳng
( )
α
với hình lăng trụ được tiến hành tương tự
như đối với hình chóp. Nhưng chú ý rằng hình lăng trụ có 2 mặt đáy song song nhau, nếu
( )
α
cắt 1 mặt đáy nào thì cuãng cắt mặt đáy còn lại theo giao tuyến song song vơi giao
tuyến vừa tìm được.
Việc tìm thiết diện của hình lập phương được tiến hành giống như đói với hình lăng trụ.


Vậy thiết diện là tứ giác PMNA
1
.
5
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Những khó khăn cơ bản khi giải toán thiết diện và biện pháp khắc phục.
 Tìm thiết diện của một hình nào đó cắt bởi mặt phẳng nào đó chẳng hạn tìm thiết diện
của hình chóp cắt bởi mặt phẳng P: là ta tìm các giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt
của hình chóp. Các “đoạn giao tuyến” liên tiếp tạo ra khi cắt các mặt của hình chóp bởi
mặt phẳng (P) hình thành một đa giác phẳng, ta gọi hình đa giác đó là thiết diện tạo bởi
mặt phẳng (P) với hình chóp.
Như vậy, thực chất bài toán tìm thiết diện chính là bài toán tìm các giao điểm của mặt
phẳng (P) với các cạnh của hình chóp và tìm các đoạn giao tuyến của mặt phẳng (P) với
các mặt của hình chóp.
Từ đó ta có thể thấy những khó khăn trong khi giải bài toán về thiết diện phần lớn bắt
nguồn từ những khó trong việc tìm “giao điểm”(của mặt phẳng và các cạnh của hình chóp
được cắt bởi mặt phẳng) cũng như xác định các “đoạn giao tuyến”(của mặt phẳng và các
mặt của hình được cắt bởi mặt phẳng)
 Ta sẽ lần lượt chỉ ra những khó khăn đó, nhưng một khó khăn đầu tiên mà ta có thể bắt
gặp trong giải toán thiết diện là làm sao có một hình vẽ thuận lợi cho việc giải toán, vì hình
học không gian (HHKG) đòi hỏi sự tư duy trừu tượng cao mà thiết diện là một vấn đề
tương đối phức tạp của HHKG, do vậy một hình vẽ thích hợp sẽ tăng khả năng tư duy của
chúng ta.
1. Những khó khăn trong việc vẽ hình không gian và việc tìm lời giải dựa nhiều vào
trực giác, thiếu cơ sở từ các định lý hay hệ quả dẫn lời giải sai:
Hình vẽ chưa thể hiện hết giả thiết bài toán, hình vẽ sai gây nên sự bế tắc trong việc
tìm lời giải, hay trực giác không chính xác dẫn tới bài giải sai.
Một số học sinh chịu ảnh hưởng quá nặng của hình học phẳng do vậy khi vẽ hình trong
HHKG lại tuân thủ một cách máy móc về độ dài, diện tích, góc…điều này sẽ làm cho các

S
N
M
A'
B'
C'
B
D
A
C
D'
P
N
M
B'
A'D'
A
C
B
D
C'
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Ví dụ 1:
Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
′ ′ ′ ′
. Dựng thiết diện của hình lập phương với một mặt
phẳng di qua trung điểm
M
của cạnh

' ' ' ' 'AMN A B C D B N∩ =
Vậy thiết diện cần tìm chính là hình
AMNB
′
Phân tích sai lầm:
Học sinh đã biết được giao tuyến của mặt phẳng
( )
AMN
và mặt phẳng
( )
BB A A
′ ′
là đường thẳng đi
qua A và song song với MN. Trực giác cho thấy giao tuyến đó là đường thẳng
AB
′
. Điều
này chưa đúng vì chưa có cơ sở chứng minh
AB MN
′
P
.
Giải
Ta có:
( ) ( )
' 'AMN AA D D AM∩ =
Trong mặt phẳng
( )
' 'AA D D
dựng

PN
đi qua
B
′
và
1
2
NB
PB
′
=
′
.
( ) ( )
AMN CC D D MN
′ ′
∩ =
( ) ( )
AMN AA B B AB
′ ′ ′
∩ =
Vậy thiết diện cần tìm chính là hình
AMNB
′
.
Đối với bài toán tìm thiết diện thì hình vẽ là rất quan trọng.
@
Nguyên nhân:
Vẽ hình không thể hiện hết giả thiết hoặc vẽ hình sai. Do bước đầu tiếp xúc với
hình học không gian đòi hỏi trừu tượng và tư duy cao, không thường xuyên luyện tập vẽ

- Hình biểu diễn của hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành, hình vuông là hình bình
hành.
- Một tam giác ABC có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác bất kì….
Chú ý: vẽ hình không gian đúng quy tắc là chưa đủ mà còn phải đảm bảo thật có lợi cho
việc quan sát trực giác, điều này giúp ta dễ tìm ra lời giải cho bài toán.
Khả năng tư duy trừu tượng kém tạo ra những khó khăn về trực giác. Khi giải một số bài
tập HS thường mắc phải các sai lầm do quan sát trực quan tạo ra.
2. Khó khăn trong việc tìm ra một lời giải từ giả thiết.
Học sinh thường rơi vào bế tắc không biết bắt đầu từ đâu cho một bài toán tìm thiết diện.
Ví dụ 2: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông,
( )
SA ABCD⊥
. Gọi
( )
α
là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB.
Hãy xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
( )
α
.
Trong bài toán này học sinh thường rơi vào bế tắc,
không biết bắt đầu lời giải từ đâu, do
không thấy được hình biểu diễn của mặt phẳng
( )
α


( ) ( )
ADM
α
≡
ta có:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
AD
BC SBC
Mt SBC
AD BC
M SBC
α
α
α
⊂

⊂

⇒ = ∩



∈ ∩

P
,Mt BC Mt ADP P
Mt cắt SC tại N.

thẳng a và một đường thẳng b nằm trong mặt phăng (P).
( )
( )
b P
a P I
a b I
⊂

⇒ ∩ =

∩ =


Cách 2:
Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) ta chọn mặt phẳng phụ (Q) chứa a,
sau đó xác định giao tuyến b của hai mặt phẳng (P) và (Q). Khi đó giao điểm cần tìm là
giao điềm của hai đường thẳng a và b.
9