CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
1. Cấp số cộng
1.1. Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi

 u1 = a
, n∈ N *

un+1 = un + d

Sn = u1 + u2 + ... + un = u1

.
Vấn đề 1. Xác định cấp số và xác yếu tố của cấp số
Phương pháp:

d
gọi là cấp số cộng;

gọi là công sai.

2.1. Các tính chất:

•
•

Số hạng thứ n được cho bởi công thức:

.

uk ,uk+1 ,uk+ 2
là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng


•

không phụ thuộc

là công sai.

⇔

Dãy số

un+1
=q
un

là một cấp số nhân

không phụ thuộc vào

là công bội.

⇔ a+ c = 2b

a, b,c

Ba số

theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng

⇔ ac = b

u1

n−1

un = u1q
Số hạng thứ n được cho bởi công thức:

.

uk ,uk+1 ,uk+ 2
Ba số hạng

khi và chỉ khi

q

và .
Ví dụ 1. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng

.

của chúng bằng

20

1,5,6,8

Sn

n

⇔ un+1 − un = d

(un )

vào n và

1
uk+1 = ( uk + uk+2 )
2
•

•

un = u1 + (n − 1)d

Ba số hạng

qn − 1
q− 1

số hạng đầu tiên

được xác định bởi công thức :

A.

120

và tổng các bình phương của chúng bằng


d= 3

A.
B.
C.
2. công thức tổng quát của cấp số

un = 3n − 2
A.

un = 3n − 4

d= 5
D.

un = 3n − 3

B.

C.

un = 3n − 1
D.

Ví dụ 5. Cho một cấp số cộng

.

S = 673015


C.

u1 = 1,u1 = 8
B.

u1 = 1,u1 = 5
C.

u1 = 1,u1 = 9
D.

u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 11


82
u1 + u5 =

11

u1 =

D.

1
81
,u1 =
11
11

A.

81
u1 = ,u1 =
13
13

(un )

S = 3021233
B.

u1 = 1,u1 = 2

S = −1222

S = u5 + u7 +…+ u2011

S = 3028123

D.

1.

D.

Ví dụ 4. Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn
1. Xác định công sai?
A.d=3
B. d=5
C. d=6



S15 = −253

.

S = −1286

4
23

Ví dụ 6. Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm
biết:

D.

S = u4 + u5 + ... + u30
3. Tính

S=

u1

.

2. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ;

S15 = −244

9
246

u1u2 u2u3

24850
đầu bằng

S = u1 + u4 + u7 + ... + u2011
2. Tính

u1 = 1

(un )


2
u4 =
27

u3 = 243u8


Ví dụ 7. Cho cấp số nhân
thỏa:
1. Viết năm số hạng đầu của cấp số;

u1 = 2,u2 =

D.
A.

2

2
2
2
2
,u3 = ; u4 =
,u5 =
3
9
27
64

4.

C.

u1 = 2,u2 =

B.

d=

d= ∅

2
2
2
2
,u3 = ;u4 =
,u5 =
3


d= 3
B.

C.

d= 1
D.

q= ∅

q= 4
C.

D.

.

q=

q= 3
A.

1
2

B.

q= ∅



D.3

un = 2n + 3

d= ∅

A.

d= −3

d= 3
B.

C.

d= 1
D.

un = 4− 5n
2.

2

3.

q= 3

A.


2.

q= 3

A.

2
6561

1.

d= 1
D.

un = 2n

59048
S10 =
19683

C.

d= −3
C.

Bài 2 . Dãy số
có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy
xác định số công bội ? Biết:

B.


B.

u1 = 2,u2 =

d= −3

d= 3

A.

d= ∅

d= −5

d= 3
B.

C.

d= 1
D.


un =

2n + 3
5

un =

C.

d= 1
D.

q= 2

d= −3

d= 3
B.

C.

d= ∅

d= 1

số cộng và

B.

C.

d= 1
D.

C.

có ba góc

q= 4
C.

D.

3+ 3
2
tính các góc của tam giác

0

0

0

0

20 ,60 ,1000

30 ,60 ,90

0

B.

q=

q= 2
B.



q= 2

 A = 200

0
 B = 60
C = 1000


0

B.

(un )

q= 3

.

A = 5

0
 B = 60
C = 250


0

A.

A , B,C

0

D.

d= −3

d= 3

D.

q= 4

B.

C = 5A

un = 2n

A.

C.

Bài 5.

Bài 4 Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không?
Nếu phải hãy xác định công bội.

3.

2n

A.
6.

q= 2
3

5.

d= ∅

q= 3

A.

D.

n+ 1
un =
n
4.

2n − 1
3

A.

3
2

A.

b = 15,c = 20, d = 25, a = 12

A.

B.

9
S = (310 − 1)
2

7
S = (310 − 1)
2

C.

b = 16, c = 20,d = 25, a = 12

B.

b = 15,c = 25,d = 25, a = 12

C.
Bài 8.

D.

u7 − u3 = 8


d = 2

u1 = 3,u1 = −17

u1 =

2
2
;u2 = ;u3 = 2;u5 = 18;u6 = 54;u7 = 162
7
3

u1 =

2
2
; u2 = ;u3 = 2; u5 = 21;u6 = 54;u7 = 162
9
3

2. Cho cấp số cộng (un) có công sai
số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

u1 =

2
2
;u2 = ;u3 = 2;u5 = 18;u6 = 54;u7 = 162
9


C.

−3; −2; −1

un = 3n − 66
D.

số hạng đầu của một cấp số cộng.

S
S1
S
n2 − n3 ) + 2 ( n3 − n1 ) + 3 ( n1 − n2 ) = 0
(
n1
n2
n3

−9

−4; −3; −2

. Hãy tìm

n1; n2 ; n3

2. Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của
và tổng các bình phương của chúng bằng 29.



A.

b = 16, c = 20,d = 25, a = 18

D.

Chứng minh rằng:

u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 11


82
u1 + u5 =

11

D.

(un )
Bài 9. Cho CSN

thỏa:


2,3,5

1. Tìm công bội và số hạng tổng quát của cấp số

q = 3;un =


un = aq
.n

2. Tính tổng

1
243 
1 
q = ;S2011 =
1− 2011 ÷

3
22  3 
A.
C.Cả A, B đúng

1 2011
q = 3;S2011 =
3 −1
22

(

)

B.
D. Cả A, B sai

2. CSN khi và chỉ khi

2. Nếu phương trình

có ba nghiệm lập thành

c(ca − b ) = 0
3

3

CSN thì

X = { 1,2,3,...,9}

Bài 10.

1
(xn ) : xn = , n = 1,2,3...
n
1. Cho dãy số
. Chứng minh rằng luôn tồn
tại một CSC gồm 2011 số hạng mà mỗi số hạng đều thuộc dãy số
trên.
Vấn đề 2. Chứng minh tính chất của cấp số
Phương pháp:

•

Sử dụng công thức tổng quát của cấp số, chuyển các đại lượng
qua số hạng đầu và công sai, công bội.



i ) a,b,c

1.

Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi cách chia tập
thành hai tập con rời nhau luôn có một tập chứa ba số lập thành
cấp số cộng.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1

a, b, c > 0
2. Cho

lập thành cấp sô cộng.Chứng minh rằng :

1
a+ b

+

1
b+ c

=

2
c+ a
.


số cộng.

lập thành cấp

cot

lập thành cấp số cộng.

lập thành cấp số nhân . .Chứng minh rằng :

( a+ b+ c) ( a− b+ c) = a + b + c
2

1.

( a + b ) ( b + c ) = ( ab+ bc)
2

2.
3.

2

2

2

( ab+ bc + ca)

2

x, y
lập thành cấp số nhân.Tính

 10 4   3 3 
(x; y) = ( 0;0) ; ; ÷;  − ; − ÷
 3 3   4 10 

3

2n

B.

 11 4   3 3 
(x; y) = ( 1;0) ;  ; ÷;  − ; − ÷
 3 3   4 10 

+ b2n + c2n ; n ∈ ¥ *
C.

a1an = ak.an− k+1 , k = 1; n

Sn ( S3n − S2n ) = ( S2n − Sn )

D.

 1 4  3 3 
(x; y) = ( 0;0) ; ; ÷; − ; − ÷
 3 3   4 10 



Vấn đề 3. Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số
Phương pháp:

• a,b,c
• a,b,c

⇔ a+ c = 2b

theo thứ tự đó lập thành CSC
theo thứ tự đó lập thành CSN

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

x

⇔ ac = b2
.

x = 2, x = 1
D.

lập thành cấp số nhân.

A.

2

= abc( a+ b+ c)


;cot ;cot
2
2
2

2. Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng

biết :

2

1. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng

C
tan
2

x

Bài 1. Tìm

để các số sau lập thành cấp số cộng


 3 1
(x; y) = ( 3;1) ; ; ÷
 8 8

1; x; x3
1.

Bài 4 Tìm

có ba nghiệm

b = 0, a > 0

C.

b > 0, a < 0
D.

để phương trình:

mx − 2( m− 1) x2 + m− 1= 0
4

lập thành cấp số nhân.


3 
3
(x; y) =  − 3; ÷; 3;
÷
2  
2 ÷



1.
cấp số cộng.


A.
B.
Bài 5 Xác định m để:


3 
3
(x; y) =  − 3; −
; 3;
÷
÷

÷
÷
2
2

 



10
 m = − 27

 m = 0

 m = −1

 m= 0


lập thành cấp số cộng và các số

B.

7
16

C.

2.


3 
3
(x; y) =  3;
; 3;
÷
÷


2 ÷
2 ÷

 


 3 1
(x; y) = ( −3; −1) ;  ; ÷
 8 8


A.

x3 + ax + b = 0

Bài 3. Xác định
để phương trình
phân biệt lập thành cấp số cộng.

x, y

( y − 1)

D.

a,b

2.

Bài 2. Tìm

 12 1 
(x; y) = ( −3; −1) ;  ; ÷
 8 8

m= 13

m= 12

C.

m= −2

m= 4
C.

hoặc

m= −1

m= 3
D.

hoặc

x3 + 2x2 + ( m+ 1) x + 2( m+ 1) = 0
3. Phương trình
thành cấp số nhân.

có ba nghiệm lập

m = −1, m= −3, m= −4

A.
C.

m= 1, m= 3, m= 4

m = −1, m= 13, m= −4
B.
D.