ĐỀ THPT CHUYÊN BẮC GIANG
Câu 1: Cho cung lượng giác có số đo x thỏa mãn tan x = 2. Giá trị của biểu thức

M

sinx  3cos2 x
5sin3 x  2cos x

A.

7
.
30

bằng
B.

7
.
33

C.

7
.
32

D.

7
.

B.  0;   .

C. (0;4).

D.  ;0 .

Câu 5: Tổng các nghiệm trong đoạn 0;2 của phương trình sin3 x  cos3 x  1 bằng
A.

5
.
2

B.

7
.
2

C. 2.

D.

3
.
2

Câu 6: Cho hình hộp ABCD. A1B1C1D1 . Gọi M là trung điểm của AD. Khẳng định nào dưới đây
là đúng?


D. 8.

Câu 8: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào đồng biến trên tập R
1


A. y  log 10 3 x.





 e
B. y  log2 x  x . C. y   
 3
2

2x

x


D. y    .
 3

.

Câu 9: Cho tứ diện ABCD có A  0;1; 1 , B 1;1;2 , C 1; 1;0 , D  0;0;1 . Tính độ dài đường cao
AH của hình chóp ABCD.
A. 3 2.


C.

6a3
.
18

D.

2 2a3
.
3

Câu 11: Ba mặt phẳng x  2y  z  0,2x  y  3a  13  0,3x  2y  3z  16  0 cắt nhau tại điểm
A. Tọa độ của A là:
A. A(-1;2;-3).

B. A(1;-2;3).

C. A(-1;-2;3).

Câu 12: Tất cả các giá trị của m để phương trình 9

cos x

D. A(1;2;3).

  m  1 3

cos x

Câu 14: Số các số hạng có hệ số là số hữu tỉ trong khai triển  3 3 

2

A. 2.

B. 4.

C. 3.

Câu 15: Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn

là:
D. 5.

6

10

6

0

3

3

 f  x  dx  7,  f  x  dx  8,  f  x  dx  9.

10


D. a  3.

C. a  4, a  5.
4

Câu 17: Tìm tất cả các giá trị m để phương trình 3 x  1  m x  1  2 x2  1 có nghiệm là
1
A. m   .
3

1
B.   m  1.
3

1
C.   m  1.
3

1
D.   m  1.
3

3x  1
. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
x2
số trên đoạn [0;2]. Khi đó 4M – 2m bằng

Câu 18: Cho hàm số y 


a3 21
7

.

D. V  a3.

Câu 20: Cho hàm số y  f  x   x4  2  m  1 x2  1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ
thị hàm số có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông.
A. m = -1.
Câu 21: Cho hàm số y 
A. 2.

B. m = 0.

x3
3

C. m = 1.

D. m = 2.

 x  11 giá trị cực tiểu của hàm số là

B.

1
.
3


a3
3

.

3


Câu 23: Cho hàm số y  f  x  , có đạo hàm là f '  x  liên tục trên  và hàm số f '  x  có đồ
thị như hình dưới đây.

Hỏi hàm số y  f  x  có bao nhiêu cực trị?
A. 1.

B. 0.

C. 3.

D. 2.

Câu 24: Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều cạnh chung BC = 2. Gọi I là
  2 mà cos2   1 . Hãy xác định tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ
trung điểm của BC, AID
3
diện đó.
A. O là trung điểm của AD.

B. O là trung điểm của BD.

C. O thuộc mặt phẳng (ADB).


.

x2  cos x  sinx 
sinx  cosx

.

.
4


Câu 27: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng S, diện tích đáy bằng diện tích một mặt cầu
bán kính a. Khi đó thể tích của hình trụ bằng
A. Sa.

B.

1
Sa.
2

C.

1
Sa.
3

D.


3

D. m  ;   .
2


. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm

số có 4 đường thẳng tiệm cận.
A. 1  m  5.

B. 1  m  2.

C.

m  1
.
m 2

D.

m1
.
m 5

 x2  4x  3 với mọi x  . Có bao nhiêu giá trị nguyên
dương của tham số m để hàm số y  f  x2  10x  m  9 có 5 điểm cực trị?
Câu 30: Cho hàm số f '  x    x  2

A. 17.

trên

f '  x   xf  x   0, f  x   0, x   và f  0  1. Giá trị của f 1 bằng?
A.

1

e

.

B.

1

e

.

C.

e.

thỏa

mãn

D. e.

 ex2  x 

Câu 33: Cho hàm số y 

5


A. 7.

B. -4.

C. 5.

D. 6.

Câu 34: Số thực x thỏa mãn log2  log4 x   log4  log2 x   a, a  . Giá trị của log2 x bằng bao
nhiêu?
a

 1
A.   .
 2

B. a2.

C. 21 a.

D. 41 a.

Câu 35: Cho hàm số f  x   sin2 2x.sinx. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm f  x  .
A. y 




 3r 
B. log3 
  r  p.m  q.d
 ambd 



 3r 
C. log3 
  r  p.m  q.d .
 ambd 



 3r 
D. log3 
  r  p.m  q.d .
 ambd 



Câu 37: Cho các số thực không âm x,y thay đổi. M, n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
 x  y1 xy . Giá trị của 8M + 4m bằng:
của biểu thức P 
 x  12  y  12
A. 3.

B. 1.


C. d 

a 21
7

D. d  a.

.

Câu 40: Cho khối chóp S.ABC. Trên các đoạn SA. SB, SC lần lượt lấy ba điểm A ', B ',C; sao
1
1
1
cho SA '  SA, SB '  SB; SC '  SC. Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S. A ' B ' C ' và
2
3
4
S.ABC bằng
A.

1
.
2

B.

1
.
12

  sin



x  cos x dx  A  B. Tính A + B bằng

0

A. 7.

B. 6.

C. 5.

D. 4.

Câu 43: Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P); (Q) có các véc tơ pháp tuyến là


a  a1; b1; c1  ; b  a2 ; b2 ; c2  . Góc  là góc giữa hai mặt phẳng đó. cos là biểu thức nào sau đây
A.

a1a2  b1b2  c1c2
.
 
ab

B.

a a bb c c

9
.
14

C.

3
.
14

D.

1
.
2

Câu 45: Cho hình nón có chiều cao h và góc ở đỉnh bằng 900. Thể tích của khối nón xác định
bởi hình nón trên:

7


A.

2h3
.
3

6h3
.

A. 0  m  1.



1

x2



1

x1x2

 1. Khi đó, khẳng định nào sau đây về m là đúng?

B. 2  m  3.

C. 1  m  0.

Câu 48: Tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình



D. 1  m  2.



x



x  
3
A.  .
2

B.

1
.
2

C.

3
.
2



Câu 50: Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình 2  3

1
D.  .
2

   2  3
x

x

23-C
33-B
43-D

4-C
14-C
24-A
34-D
44-D

5-D
6-B
7-D
15-B
16-A
17-C
25-B
26-C
27-A
35-B
36-C
37-B
45-C
46-C
47-D
HƯỚNG DẪN GIẢI

8-D
18-B
28-D

Ta có: M 


 .
30
5sin3 x  2cos x 5tan3 x  2
5tan3 x  2 1  tan2 x
2
cos x
tanx.

3

sin 3cos x





Câu 2: Chọn B.
n

Đặt f  x   x. 1  x  , n  N  f  x   Cn0 x  Cn1 x2  Cn2 x3  ...  Cnn xn1
 f '  x   1  x n  n.x. 1  x n1


 f '  x   Cn0  2Cn1 x  3Cn2 x2  ...  (n  1)Cnn xn
 f ''  x   n 1  x n1  n. 1  x n1  n.  n  1 .x. 1  x n 2  2n. 1  x n1  n.  n  1 x. 1  x n 2



1 x n  Cn0  Cn1 x

 Cn2 x2  ...  Cnn xn
9


n

 x. 1  x   xCn0  Cn1 x2  Cn2 x3  ...  Cnn xn1 (1).

Lấy đạo hàm 2 vế của (1) ta được

1 x n  n.x 1 x n1  Cn0  2Cn1 x

 3Cn2 x2  ...  (n  1)Cnn xn (2).

Lấy đạo hàm hai vế của (2) ta được

n.  x  1

n1

 n. 1  x 

n1

 n.  n  1 .x. 1  x 

n 2


0
1
6
7
6
 C12
 ...C12
 C12
...  C12
Vậy C12
12 , vậy C12 là giá trị lớn nhất.

12

Vậy số hạng của khai triển 1  x 

6 6
x  924x6.
có hệ số lớn nhất C12

Câu 3: Chọn B.

 
Giả sử E là điểm đối xứng với A qua B ta có AB  BE
Xét tam giác ABD có BD  AB2  AD2  89
Xét tam giác ABD có cos ABD 

 
AB
8


y '  0  3x2  12x  0  
BBT:



x

y'

0
-



4

0

+

0

-



y

34


(1)Trở thành: t 1  1  t 2   1  t 3  3t  2  0   t  1 t 3  t  2  0.
 2


t  1

 1



 2 sin  x    1  sin  x   
.
4
4
2


t  2( L)
 



 x  4  4  k2
x   k2


k, l  .

2

 C1M  MA  C1C  C1D1  C1B1.
   1 
 C1M  C1C  C1D1  C1B1.
2

Câu 7: Chọn D.
Ta có: d  M,   

0.cos  4.sin   4  2  sin  
sin2   cos2 

 8.

Câu 8: Chọn D.
Hàm số y  log 10 3 x có cơ số a  10  3 nên hàm số nghịch biến trên  0; 





Hàm số y  log2 x2  x có tập xác định D   ;0  1;   nên hàm số đồng biến trên R.

 e
Hàm số y   
 3

2x

có



1
6

  
 BC, BD  .BA  1 .6  1 (đvdt)


6

3V
1
3 3 2
Ta có VABCD  . AH.SBCD  AH  ABCD 

.
3
SBCD
2
2
Câu 10: Chọn A.

Ta có: SABCD  a.2a  2a2.

 SB,  ANCD    SBA  450. Do tam giác SAB vuông cân tại A nên SA = AB = a.
1
1
2a3
.
Vậy V  SABCD .SA  2a2.a 

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương tình (1) có nghiệm thực thuộc [1;3].
 min f  t   m  max f  t  .

1;3

[1;3]

Ta có f '  t  

t 2  2t  3
 0, t  1;3 .
 t  1

5
Và f 1  0; f  3  .
2
5
Vậy 0  m  .
2

Câu 13: Chọn B.

 2
Chia cả hai vế của bất phương trình cho 9 ta được 6.  
 3
x

2x

x

3



 3   2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ; 1  1;   .
Câu 14: Chọn C.
15

x 

Ta có:  3 3 

2


k k
k
15
k 3 15 k  x 
k 5 3 2 k

C15 3
.
C153 2 x .
 
 2
k 0
k 0

t  2
Vậy có 3 giá trị của t, tức là có 3 số hạng có hệ số là số hữu tỷ.
Câu 15: Chọn B.
10

Ta có:



3

6

10

3

6

f  x  dx   f  x  dx 
10

Khi đó: I 



0





Câu 16: Chọn A.
1 a

Để tích phân

dx

 x  x  5 x  4
1

tồn tại  hàm số y 

1
liên tục trên [1;1+a]
x  x  5 x  4

hoặc [1+a;a]
Mà hàm số y 

1
liên tục trên khoảng  ;0 ;  0;4 ;  4;5 ;  5;  
x  x  5 x  4

Nên hàm số liên tục trên [1;1+a] hoặc 1  a;1  0  1  a  4  1  a  3.
Vậy -1 < a < 3.
Câu 17: Chọn C.
ĐK: x  1.
4


x 1

Ta được m  3t 2  2t  f  t  ,  0  t  1
15


1
3

f '  t   6t  2, f '  t   0  t  .
Bảng biến thiên:
t

1
3



f 't 

f t 

-

0

+
+

+


Kẻ AH  A ' B (1).
Ta có:
16


A' D '  A' B' 

A ' D '  AA '
  A ' D '   ABB ' A '   A ' D '  AH (2)
AA ' A ' B '  A '

A ' B  A ' D '  A ' (3)
Từ (1),(2),(3)  AH   A ' BCD '  do đó AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng  A ' BCD ' 
Xét tam giác A ' AB vuông tại A ta có:
3a2
1
1
1
1
AB2  AH 2
4  1  AA '  a 3.





2
2
2

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị  y '  0 có ba nghiệm phân biệt  m  1  0  m  1*  .
3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A  0;1 , B



 



m  1;2m  m2 , C  m  1;2m  m2 .

Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng
 
 ABC cân tại A  ABC vuông khi AB. AC  0.



AB 











m  1;2m  m2  1 , AC   m  1;2m  m2  1 .

x



y'

-1
+

y

0



1
-

0

+

1
3



5
3



Trong tam giác SBC ta có cos BSD 
2SB.SD
2.a 2. a2  x2
2 a2  x2

Trong tam giác SAD có SK 

SA2
a2

SD
a2  x2

Xét tam giác AHK có

HK 2  SH 2  SK 2  2SH.SK .cos BSD
2

a 2
a4
a 2
a2
a



2.
.
.


2a2
a2 x2 a2


2
2
2
4
2
a

x


5
a 2
ax
2
.
2
a2  x2


2
x
2
x2

 

a
+

0

b
-

0



c
+

0

-

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số y  f  x  có 3 cực trị.
Câu 24: Chọn A.

AI  DI  3 và cos AID  

1
  8.
nên AD2  AI 2  DI 2  2. AI .DI .cos AID
3

Pitago đảo dễ dàng suy ra tam giác ACD và tam giác ABD vuông có chung cạnh huyền AD.

sinx  cosx
.
sinx  cosx

Câu 27: Chọn A.
Gọi r là bán kính đáy của hình trụ, h là chiều cao của hình trụ

r  2a
 S  2rh


Theo bài ra ta có  2
S .
2
h  4a
r  4a
Thể tích khối trụ là V  r 2h  .4a2.

S
 Sa.
4a

Câu 28: Chọn D.
Cách 1:





y '  6cos2 x sin x  6cosxsinx  msinx  sin 6cos2 x  6cos x  m

 1 3
Ta có: f  t   6t 2  6tt   0;1 là Parabol có đỉnh I  ;  và hệ số a < 0 nên có giá trị lớn
 2 2
3
1
nhất là
tại t 
2
2

21


t

1
2

0

f 't 

+

f t 

1

0


Xét f  t   6t 2  6tt   0;1

f '  t   12t 2  6  0  t 

1
2

t

f 't 

f t 

1
2

0
+

1

0

-

0

0



lim x3  3x2  m  1   nên không tồn tại giới hạn lim

x 

x 

1
3

2

x  3x  m  1

.

Do vậy đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận ngang y = 0.
Để đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận thì phương trình x3  3x2  m  1= 0 (1) có ba nghiệm
phân biệt.
(1)  x3  3x2  1  m (2).
Số nghiệm của (2) là giao điểm của đường thẳng y = 1 –m và đồ thị hàm số y  x3  3x2.
Xét hàm số y  x3  3x2 . Ta có y '  3x2  6x  0 

x0
.
x2

Bảng biến thiên




Ta có







  x2  10x  m  8 x2  10x  m  6

 f x2  10x  m  9    2x  10 x2  10x  m  7





2



Để y  f x2  10x  m  9 có 5 điểm cực trị điều kiện là các phương trình:

x2  10x  m  8 = 0 (1) và x2  10x  m  6 = 0 (2) đều có hai nghiệm phân biệt khác 5, hay điều
kiện là:

23


 '1  0
17  m  0

2
 f  x

1 2
x
 e2 

f 1  e.

Câu 32: Chọn B.
 ex2  x 
x2
x2
1
2
x
.
e

1
2
x
.
e
1
  f '  x 
Ta có: f  x   log3 
.

2

2x  1
3
 2
nên điểm M  x; y   C  có tọa độ nguyên khi và chỉ khi
x 1
x 1

 x  
 x  

 x  4; 2;0;2 .

3  x  1
 x  1  3; 1;1;3
Vậy tổng hoành độ của các điểm có tọa độ nguyên nằm trên (C) là -4 + (-2) + 0 + 2 = -4.
Câu 34: Chọn D.
24


1
 1
log2  log4 x   log4  log2 x   a  log2  log2 x   log2  log2 x   a
2
 2

 log2  log2 x   1 

1
log2  log2 x   a  log2  log2 x   2  2a
2

log3 
  log3 3r  log3 ambd  r  log3 am  log3 bd  r  m log3 a  d log3 b
 ambd 







Câu 37: Chọn B.
Ta có
2
2
x  y1  xy x  y  x2 y  xy2 x  xy  2xy   y  x y  2xy x  y  1  y 1  x 

P



 x  12  y  12  x  12  y  12
 x  12  y  12
 x  12  y  12
2

 P

x

2