SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI
TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM

TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG THƯỜNG XUYÊN HÈ
MÔN TOÁN HỌC

THỰC TIỄN ĐỜI SỐNG
QUA CÁC BÀI TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ

Người biên soạn: TS. Trịnh Đào Chiến

Gia Lai, tháng 7 năm 2018

1


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU................................................................................................................................3
NỘI DUNG............................................................................................................................6
Chủ đề 1. Nên mua máy bơm nào?...................................................................................6
Chủ đề 2. Chọn phương án đi taxi.....................................................................................6
Chủ đề 3. Phân tích bản thiết kế đường chạy điền kinh.....................................................7
Chủ đề 4. Ước lượng chiều cao........................................................................................10
Chủ đề 5. Cần dùng ít nhất bao nhiêu thanh sắt?............................................................12
Chủ đề 6. Đặt bến xe ở địa điểm nào?.............................................................................14
Chủ đề 7. Làm sao trồng được nhiều hoa nhất?...............................................................16
Chủ đề 8. Khoanh vùng đất như thế nào?.......................................................................19
Chủ đề 9. Bạn đã chọn số nào?.......................................................................................23
Chủ đề 10. Chơi như thế nào để thắng?..........................................................................23

2

sẽ phản ánh lại thực tiễn, giải thích và phục vụ thực tiễn. Nếu giáo viên chỉ ra
được điều này, học sinh sẽ thấy rất thú vị, hứng thú học Toán từ đó sẽ tăng
lên.
Với sự phân bố lượng kiến thức như hiện nay, trong giờ học Toán, nếu áp
dụng liên hệ thực tế quá nhiều sẽ ảnh hưởng đến phân phối chương trình, đến
kỹ năng rèn luyện năng lực tư duy giải Toán. Các hoạt động ngoại khóa có thể
giúp giải quyết điều này.
Một hình thức ngoại khóa khác là tổ chức thăm quan, giúp học sinh trực tiếp
thấy được mối liên hệ giữa thực tiễn và Toán học. Nhà trường cũng có thể ra
các tập san, báo Toán. Đây sẽ là tiếng nói chung của học sinh yêu Toán, giới
3


thiệu lịch sử Toán học, các ứng dụng của Toán học trong đời sống, kinh
nghiệm kỹ năng tính toán, các sai lầm thường gặp khi giải Toán …
Trong các đề kiểm tra, giáo viên nên đưa vào các bài tập gần gũi với đời
sống thực tế. Qua đó, sẽ đánh giá được sâu sắc hơn sự thông hiểu bài học của
học sinh; đồng thời góp phần rèn luyện ý thức toán học hóa các tình huống
trong thực tế và giáo dục văn hóa toán học cho học sinh…
Do đó, liên hệ với thực tiễn đời sống qua các bài toán Trung học cơ sở là
vấn đề cần thiết, có ý nghĩa khoa học.
Qua các tài liệu tham khảo như sách, các trang mạng internet, chúng tôi sưu
tầm và giới thiệu một số vấn đề trong thực tiễn, có thể chuyển chúng thành
các mô hình Toán học (Hình học, Đại số, Số học) mà trong phạm vi chương
trình môn Toán ở bậc Trung học cơ sở có thể giải quyết được.
Từ đó, tùy mục tiêu, nội dung, đối tượng và điều kiện cụ thể mà giáo viên
có những hình thức tổ chức dạy học thích hợp, kết hợp các hoạt động dạy học
trong lớp học với hoạt động thực hành trải nghiệm nhằm vận dụng kiến thức
toán học vào thực tiễn. Chẳng hạn:
- Sử dụng các bài toán thực tiễn vào khâu đặt vấn đề và chuyển ý trong tiết dạy.

Bài viết này cũng là những gợi ý cho nội dung cần bồi dưỡng học sinh giỏi
bậc Trung học cơ sở, theo xu hướng toán học phổ thông gắn với thực tiễn đời
sống hiện nay.

5


NỘI DUNG
Chủ đề 1. Nên mua máy bơm nào?
Một người nông dân có ý định mua một cái máy bơm để phục vụ cho việc
tưới tiêu vào mùa hạ. Khi đến cửa hàng thì được ông chủ giới thiệu về hai loại
máy bơm có lưu lượng nước trong một giờ và chất lượng máy là như nhau.
Máy thứ nhất giá 1.500.000đ và trong một giờ tiêu thụ hết 1,2 kw.
Máy thứ hai giá 2.000.000đ và trong một giờ tiêu thụ hết 1 kw.
Theo bạn, người nông dân nên chọn mua loại máy nào để đạt hiệu quả kinh
tế cao?
- Phương án giải quyết:
Chọn máy bơm trong hai loại để mua sao cho hiệu quả kinh tế là cao nhất.
Như vậy ngoài giá cả ta phải quan tâm đến hao phí khi sử dụng máy nghĩa là
chi phí cần chi trả khi sử dụng máy trong một khoảng thời gian nào đó.
Giả sử rằng giá tiền điện hiện tại là 1.000 đ/1kw.
Vậy trong x giờ số tiền phải trả khi sử dụng máy thứ nhất là:
T1 = 1 500 000 + 1 200 . x (đồng)

Số tiền phải chi trả cho máy thứ 2 trong x giờ là:
T2 = 2 000 000 + 1 000 . x (đồng)

Ta có:
T1 = T2 ⇔ 500 000 + 1 200 . x = 2 000 000 + 1 000 . x ⇔ x = 2500 (giờ)
T1 < T2 ⇔ 500 000 + 1 200 . x < 2 000 000 + 1 000 . x ⇔ x < 2500 (giờ)

T1 = T2 ⇔ 60000 + 2500 x = 40000 + 4000 x ⇔ x =

20000
= 13,333 (km)
1500

T1 < T2 ⇔ 60000 + 2500 x < 40000 + 4000 x ⇔ x >

20000
= 13,333 (km)
1500

T1 > T2 ⇔ 60000 + 2500 x > 40000 + 4000 x ⇔ x
10 + 13,333 = 23,333 km, thì chọn cách 1.
2.3. Nếu S = 10 + x < 10 + 13,333 = 23,333 km, thì chọn cách 2.

Chủ đề 3. Phân tích bản thiết kế đường chạy điền kinh.
Theo “Tiêu chuẩn Việt Nam”, đường chạy điền kinh (cự ly 200m, 400m,
800m,...) được thiết kế như sau:

7



Gọi l1 là bán kính nửa đường tròn, là quỹ đạo chạy của vận động viên thứ
nhất. Ta có
l1 = π ( R + 0,3) .

Gọi l2 là bán kính nửa đường tròn, là quỹ đạo chạy của vận động viên thứ
hai. Ta có
l2 = π ( R + 0,3 + h ) .

Do đó, quỹ đạo chạy (nửa đường tròn) của vận động viên thứ hai nhiều hơn
vận động viên thứ nhất là
l2 − l1 = π ( R + 0,3 + h ) − π ( R + 0,3) = π h (m)

Do đó để cho công bằng, khi xuất phát ở đường chạy vạch thẳng song song,
vận động viên thứ hai phải xếp trên vận động viên thứ nhất π h mét.
Gọi l3 là bán kính nửa đường tròn, là quỹ đạo chạy của vận động viên thứ
ba. Ta có
l3 = π ( R + 0,3 + 2h ) .

Do đó, quỹ đạo chạy (nửa đường tròn) của vận động viên thứ ba nhiều hơn
vận động viên thứ hai là
l3 − l2 = π ( R + 0,3 + 2h ) − π ( R + 0,3 + h ) = π h (m)

Do đó để cho công bằng, khi xuất phát ở đường chạy vạch thẳng song song,
vận động viên thứ ba phải xếp trên vận động viên thứ hai π h mét.
9


Tương tự như vậy cho vận động viên thứ tư, vận động viên thứ năm, ...
Với h = 1, 25 mét, thì π h ≈ 3,14159 × 1, 25 = 3,93 mét.
Tóm lại, để cho công bằng, khi xuất phát ở đường chạy vạch thẳng song

Thay tọa độ điểm M vào phương trình y = ax 2 , ta có phương trình ẩn a và h
sau:
− ( h − 43) = − a . 712 ⇔ h − 43 = 5041.a

Giải hệ phương trình
 h = 6561.a

 h − 43 = 5041.a

ta được a =

43
43 2
x .
, h = 185,61 và hàm số là y = −
1520
1520

Vậy, theo đo dạc và tính toán của ta, cổng cao 185,61 m, với một sai số nhất
định. Trên thực tế cổng Acxơ cao 186m.

11


Chủ đề 5. Cần dùng ít nhất bao nhiêu thanh sắt?
Trong một xưởng cơ khí có những thanh sắt dài 7,4m. Người chủ muốn các
thợ của mình cắt mỗi thanh sắt thành các đoạn dài 0,7m và 0,5m để tiện sử
dụng. Bây giờ người chủ muốn có 1000 đoạn 0,7m và 2000 đoạn 0,5m. Bạn
hãy ước lượng xem cần dùng ít nhất bao nhiêu thanh sắt 7,4m để làm?
- Phương án giải quyết:


Vậy b + 2 cần phải chia hết cho 7, với 0 ≤ b ≤ 14, b ∈ ¢ , hay b = 12 hoặc b = 5 .
Do đó, phương trình 7a + 5b = 74 có các nghiệm nguyên dương là
a = 2
a = 7
và 
.

b = 12
b = 5

Vậy, với mỗi thanh sắt dài 74 dm, ta có hai cách cắt:
- Kiểu thứ nhất: Cắt thành 2 đoạn 7 dm và 12 đoạn 5 dm.

12


- Kiểu thứ hai: Cắt thành 7 đoạn 7 dm và 5 đoạn 5 dm.

- Bây giờ ta chọn cách tiết kiệm nhất trong hai cách trên.
Gọi x thanh cắt theo kiểu thứ nhất và y thanh cắt theo kiểu thứ hai.
Như vậy số đoạn 7 dm là 2x + 7y và số đoạn 5 d m là 12x + 5y.
Để có 1000 đoạn 7 dm và 2000 đoạn 5 dm thì x, y phải là nghiệm của hệ
phương trình
4500

x=
≈ 121,6

 2 x + 7 y = 1000


Vậy, tốt nhất, ta nên dùng thêm 1 thanh 74 dm để cắt theo kiểu thứ nhất,
mặc dù thừa 4 đoạn 5 dm.
Tóm lại, ta chỉ cần dùng tất cả 121+108 +1 = 230 thanh 74 dm.
Điều quan trọng lúc này chúng ta cần chỉ ra rằng cách cắt này là tiết kiệm
nhất.
Thật vậy, tổng độ dài của 1000 đoạn 7 dm và 2000 đoạn 5 dm là
7.1000 + 5.2000 = 17000 dm.

Vậy phải dùng ít nhất
17000
≈ 230 (thanh 74 dm)
74

Tóm lại chỉ cần cắt 122 thanh theo kiểu thứ nhất và 108 thanh theo kiểu thứ
hai.

Chủ đề 6. Đặt bến xe ở địa điểm nào?
Khi chúng ta đi học, đi làm việc, đi mua hàng, ta thường phải đi xe công
cộng. Có người ở gần bến xe, có người ở xa. Vậy nên đặt bến xe ở địa điểm
nào là tốt nhất? Việc bố trí các bến xe phải dựa trên nguyên tắc nào?
- Phương án giải quyết:
Việc bố trí bến xe tại địa điểm nào dĩ nhiên không thể thuận tiện cho tất cả
mọi người. Việc chọn địa điểm của bến xe phải dựa trên nguyên tắc là thuận
tiện cho số đông người đi xe.
Ta thử xem xét một ví dụ đơn giản nhất.
Đặt một bến xe trên đường giữa hai đầu một đoạn đường A, B ở mỗi điểm
đầu có một xưởng máy. Hàng ngày có 20 công nhân ở A và 30 công nhân ở B
đi làm việc bằng xe tương ứng cho mỗi nhà máy.
Cần bố trí một bến xe giữa hai nhà máy. Vậy cần bố trí bến xe ở địa điểm

Vậy

P
= 56 người.
2

Số người ở nhà máy A là 25 < 56.
Số người ở các nhà máy A, B là 25 + 30 = 55 56.
Số người ở nhà máy A cần đi xe nhỏ hơn một nửa số người cần đi xe nói
chung, tức là số người đi xe ở nhà máy A nhỏ hơn tổng số người đi xe ở 4 nhà
máy B, C, D, E cộng lại, như vậy bến xe cần đặt gần hơn về hướng 4 nhà máy
B, C, D, E.
Mặt khác tổng số người cần đi xe ở hai nhà máy A và B nhỏ hơn một nửa số
người cần đi xe, nên bến xe nên bố trí ở gần hơn về phía nhà máy C, D, E; mà
tổng số người đi xe ở ba nhà máy A, B, C lớn hơn một nửa số người cần đi xe
nên bến xe nên đặt ở gần hơn về phía ba nhà máy A, B, C.
Theo các trật tự ưu tiên nêu trên thì bến xe vừa phải gần về phía nhà máy A,
B, C lại vừa phải gần ba nhà máy C, D, E.
Vì vậy địa điểm bến xe tốt nhất là tại điểm C, nghĩa là tại cổng nhà máy C.

15


Chủ đề 7. Làm sao trồng được nhiều hoa nhất?
Bác nông dân có một mảnh vườn hình vuông cạnh bằng 3,3 mét. Theo kinh
nghiệm thì mỗi cây được trồng cách nhau ít nhất

1
mét sẽ đạt sản lượng cao



- Đoạn thẳng “kề trên” của BD là EF. Ta có
EF = BD − ( c + c ) = BD − ( 0,33 + 0,33 ) = 4, 67 − 0, 66 = 4, 01 (m)

Số cây tối đa có thể trồng trên đường chéo EF là:
 4, 01 
 EF 
 c  + 1 =  0,33  + 1 = [ 12,15] + 1 = 12 + 1 = 13 (cây)



17


- Tương tự, số cây tối đa có thể trồng trên đoạn thẳng “kề trên” của EF là:
11 (cây)
Tóm lại, theo cách trồng này, số cây tối đa có thể trồng trong vườn là:

( 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) + 15 + ( 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) = 113 (cây)
Phương án 4. Trồng theo dạng tam giác đều, mỗi hàng song song với một
bờ ruộng.

18


Dựng tam giác đều có đường cao MH (1 đỉnh ở đáy sát đỉnh A, để A và M
lọt vào hình vuông đầu tiên).
- Số cây trồng tối đa ở hàng 1 (và cũng là của mỗi hàng khác):
 a   3,30 

Tóm lại, theo cách trồng này, số cây tối đa có thể trồng trong vườn là:
12 (hàng) × 10 (cây) = 120 (cây)

Chủ đề 8. Khoanh vùng đất như thế nào?
Với một sợi dây thừng đã có, làm sao khoanh được một vùng đất to nhất ở cạnh
bờ sông? Giả thiết rằng bờ sông thẳng, dài và lưu ý là những chỗ ở sát sông thì có
thể tận dụng bờ sông mà không cần khoanh dây chỗ đó.
- Phương án giải quyết:
Giả sử chiều dài của dây thừng là l mét.

19


Phương án 1. Khoanh dây lại thành hình tròn, vì hình tròn là hình to nhất trong
các hình có cùng chu vi.
Giả sử R và S1 lần lượt là bán kính và diện tích của hình tròn. Ta có l = 2π R .
Suy ra
R=

l
.
2π

Do đó, diện tích vùng đất là
2

l2
l2
l2
 l 


Với hai phương án trên, ta có
S1 < S2 .

Đây chưa phải là cách tốt nhất vì, chẳng hạn, cắt một góc không chạm sông của
hình vuông đó, theo một tam giác không cân, rồi xoay ngược tam giác đó lại sao
cho cạnh huyền vẫn ở vị trí cũ, chỉ có hai cạnh góc vuông thì chuyển chỗ. Khi đó,
ta được một hình khác cùng diện tích và chu vi với hình vuông, nhưng là hình
lõm. Mà hình lõm thì không thể có diện tích to nhất được, vì chỉ cần kéo căng
dây ra để thành hình lồi thì diện tích đã được tăng lên.

Phương án 3. Làm thành một hình tam giác đều, một cạnh giáp sông.

Diện tích vùng đất là
2

l
 ÷ 3 l 2 3 1,7321
.
2
S3 =  
=
=
. l 2 = 0,1083. l 2
4
16
16

Đến đây, ta có
S1 < S3 < S2 .

π  ÷
2
πR
l2
1
.
π
S4 =
=   =
=
. l 2 = 0,1592. l 2
2
2
2π 2 × 3,1416

Đến đây, ta có
S1 < S3 < S2 < S4 .

Phải chăng phương án cung nửa đường tròn là tốt nhất?
*
* *
22


Trong môn Số học để bồi dưỡng học sinh giỏi có bài về Hệ thống cơ số,
trong đó các bài toán về đổi cơ số. Đa số các tài liệu đang hiện hành thường
chỉ có những bài toán đơn thuần và khô khan về đổi từ cơ số a sang cơ số b
và ngược lại, tạo không khí đơn điệu và nhàm chán cho học sinh.
Ngược lại, số bài toán thực tiễn cho vấn đề này là khá nhiều mà dưới đây là
một vài ví dụ mà chúng tôi sưu tầm được.


23


Có hay không một cách chơi để thắng?
- Cách chơi để thắng: Ngày nay các viên sỏi thường được thay thế bởi các
đồ vật khác, thí dụ, các que diêm, vì vậy người ta cũng gọi trò chơi này là trò
chơi “ăn diêm”.
Để giải bài toán này ta sẽ sử dụng hệ đếm cơ số 2. Giả sử trong mỗi đống có

a , b và c viên sỏi. Ta gọi ba đống sỏi tương ứng là các đống thứ nhất, thứ

hai và thứ ba. Trong hệ cơ số 2, các số này được biểu diễn dưới dạng
a = an .2n + an −1.2n −1 + ... + a1.2 + a0 = ( an an −1...a1a0 ) 2 ;
b = bn .2n + bn−1.2n −1 + ... + b1.2 + b0 = ( bnbn −1...b1b0 ) 2 ;
c = cn .2n + cn −1.2n −1 + ... + c1.2 + c0 = ( cn cn −1...c1c0 ) 2 .

Các hệ số ai , bi , ci , i = 0,..., n có giá trị 0 hoặc 1. Ở đây, để tiện trình bày, ta
đã viết biểu diễn của a , b , c cùng có bậc cao nhất là 2n . Điều này dễ dàng
làm được vì nếu cần ta có thể thêm các hệ số bằng 0, tức là ta không đòi hỏi
tất cả các hệ số an , bn , cn phải khác 0, nhưng vì n là bậc cao nhất nên ít nhất
một trong ba hệ số an , bn , cn phải khác 0.
Người chơi đầu tiên sẽ lấy một số sỏi từ một trong ba đống, chẳng hạn từ
đống thứ nhất. Khi ấy các hệ số ai , i = 0,..., n sẽ bị thay đổi. Tương tự, nếu lấy
sỏi từ đống thứ hai (hoặc từ đống thứ ba), thì các hệ số bi , i = 0,..., n (hoặc ci )
sẽ thay đổi.
Xét các tổng
an + bn + cn , an −1 + bn −1 + cn−1 ,…, a1 + b1 + c1 , a0 + b0 + c0 .

Vì các hệ số ai , bi , ci , i = 0,..., n chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1 nên mỗi tổng này

của người thứ nhất, và anh ta thắng.
Nếu ban đầu tất cả các tổng ai + bi + ci , i = 0,..., n là chẵn, thì sau lần đi đầu
tiên của người thứ nhất, cho dù anh ta lấy đi bao nhiêu sỏi từ một đống bất kì
nào đó, thì có ít nhất một tổng ai + bi + ci bắt buộc phải lẻ. Vì vậy, đến lượt
người chơi thứ hai, anh ta sẽ sử dụng cách chơi như người chơi thứ nhất thực
hiện khi số sỏi ban đầu là lẻ (như cách chơi đã trình bày ở trên) và anh ta sẽ
thắng.
Tùy theo số sỏi cụ thể trong từng đống, mỗi người chơi có thể chọn số
lượng sỏi trong mỗi bước đi để đảm bảo thắng nhanh nhất hoặc lâu thua nhất.
..............................................HẾT.............................................

25