Bài tập dành cho học sinh giỏi
A . Phần dãy số
1.
Cho dãy số dơng
( )
n
u
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng k ta đều có:
( )
2 2
1 2 1 2 3
1
1 3 4 ( 1)
. ... 2 ...
1 2 3
k
k
k k
k
k
u u u u u u u
k k
k
-
ổ ử
+
ữ
ỗ
ữ
Ê + + + +
ỗ

2.
Cho a>0 Xét dãy số xác định nh sau
( )
1
2 3
1
3 1 3
n n n n
u a
u u u u
+
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
+ = +
ù
ợ
Hãy chứng minh dãy số
( ) ( )
: 1
n n n
v v a u= -
có giới hạn? Hãy tìm giới hạn đó
3.
Cho hai dãy
( ) ( )
0 0

i
k
S k
n
=
=
ồ
, với
*
n ẻ N
. Tính
lim
n
x
S
đƠ
5.
Cho dãy số
( )
1
2
1
1
2
:
1 1
1,
2
4
n

ố ứ
ù
ù
ợ
. Tìm
lim
n
x
u
đƠ
6.
Cho dãy số
( )
1
4
1
2
:
9
10
n
n
n
n
u
u
x
u
x
+

n n n
u u
u
u u u
+
ỡ
= =
ù
ù
ớ
ù
= -
ù
ợ
Đặt
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 3
1 1 1 ... 1 1.
n n
S u u u u= + + + + -
1,2,3,...
n
CMR voi n thi S" =
là số chính phơng?
8.
Cho dãy Fibonaci:
1 2 1 1
1; ; 2
n n n

+ -
ỡ
= =
ù
ù
ớ
ù
= - =
ù
ợ
Chứng minh rằng
2007
u
chia hết cho 11
10.
Cho dãy
( )
( )
1
2 2 *
1
2008
:
1 2 ,
n
n n n
u
u
u u a u a voi n N
+

13.
Cho tứ diện ABCD có AB=CD, AC=BD, AD=BC. Gọi
, ,a b g
là các góc do các mặt
(ABD), (ABC), (ACD) tạo với mặt (BCD) và hình chiếu của A trên (BCD) thuộc miền tam
giác (BCD). Chứng minh rằng:
cos cos cos cos cos cos
cos cos cos cos cos cos
3 3 3
3
cos .3 cos .3 cos .3
a b b g g a
b g g a b a
a b g
+ + +
+ + +
+ +

+ +
14. Cho tứ diện ABCD thoả mãn điều kiện AC=BD, AD=BC. Gọi I, J lần lợt là trung điểm các
cạnh AB và CD. Một mp(P) đi qua IJ cắt BC và AD lần lợt tại M và N. Xác định vị trí của
M sao cho diện tích tứ giác IMJN lớn nhất. Khi đó thể tích của khối chóp AIMJN có đạt
giá trị lớn nhất không?
15. Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác. Một mp(P) thay đổi song song với hai
đáy của lăng trụ cắt các đoạn thẳng AB', BC', CD' và DA' lần lợt tại M, N, P, Q. Hãy xác
định vị trí của mp(P) sao cho diện tích của tứ giác MNPQ nhỏ nhất?
16. Cho tứ diện SABC, trên SA, SB lấy M, N sao cho 2SM=MA, SN=2NB. Một mặt phẳng (P)
qua M và N song song với SC chia tứ diện thành hai phần. Tính tỷ số thể tích hai phần đó?
17. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau tại A , I là tâm mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện, mp(P) là mặt phẳng đi qua I và vuông góc với AI. Chứng minh điều kiện

ù
+
ớ
ù
ù
ù
+ = -
ù
ợ
22.
Giải PT:
2
3
2 4 1
2
x
x x voi x
+
+ = -
23.
Tìm m để PT có nghiệm duy nhất:
( ) ( )
2 5 2 5x x x x m+ + - - + - =
24.
Giải hệ PT:
2 2 2
2 2
2 3
2 1
x y z xy xz yz

2 3
2( 2) 5 1x x+ = +
29.
Giải PT:
( )
2 2 2
3 2 1 2 2x x x x+ - + = + +
30.
Giải PT:
2 4 2 4
13 9 16x x x x- + + =