I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Trong quá trình dạy học và bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán ở trường
THCS đặc biệt là lớp 7, khi học về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau chúng
tôi nhận thấy việc áp dụng lí thuyết vào giải một số bài tập còn nhiều hạn
chế: chưa linh hoạt trong quá trình giải bài tập, học sinh ít đi sâu nghiên cứu
kiến thức đã học, việc giải bài tập còn nhiều lúng túng.
Phân phối chương trình của sở giáo dục chỉ có bốn tiết học cả lí thuyết
và bài tập về tỉ lệ thức, về dãy tỉ số bằng nhau nên thầy cô chủ yếu dạy lí
thuyết và hướng dẫn học sinh giải một số bài tập, thời gian hướng dẫn các em
về một vài phương pháp giải cụ thể cho từng dạng toán gần như không có.
Nên giáo viên ít có điều kiện rèn kĩ năng cho học sinh ở phần này.
Xuất phát từ thực tế này, chúng tôi đã tiến hành phân loại các bài toán
theo những đặc trưng riêng của nó, đưa ra cách giải chung nhất cho từng
dạng toán nhằm giúp học sinh khắc phục những hạn chế trên.
Hơn nữa để giúp học sinh chuyên cần hơn, yêu thích, say mê môn học
hơn, trong quá trình giảng dạy, chúng tôi thấy cần thiết phải khai thác, phát
triển mở rộng kiến thức cơ bản. Qua đó học sinh phát hiện cái hay cái đẹp của
từng bài toán. Từ đó các em yêu thích, tích cực học tập môn học hơn.
Chính vì lẻ đó tôi đã nghiên cứu đề tài “ Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài
tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”
2. Mục đích nghiên cứu
-Phát huy những tiềm năng toán học ở học sinh.
-Nâng cao bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, học sinh đại trà.
-Nâng cao chất lượng học tập môn toán.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Học sinh lớp 7A, Đội tuyển Học sinh giỏi Toán 7 năm học 2018-2019
trường THCS ...........
4. Kế hoạch nghiên cứu
1



luận

thuyết

đến 15/12/2018

- Khảo sát thực trạng, tổng hợp số

- Số liệu khảo sát đã

liệu thực tế

xử lý
- Tập hợp ý kiến

từ … đến ...
Từ 15/10 /218

Từ 15/12/2018
đến 15/03/2019

- Trao đổi với đồng nghiệp đề xuất
các biện pháp, các sáng kiến
- Áp dụng thử nghiệm

Từ 15/03/2019

- Hệ thống hóa tài liệu, viết báo cáo


từng bài toán ta có các cách giải khác nhau.
Dạy học giải các bài tập toán có ý nghĩa rất quan trọng:
- Củng cố đào sâu, hệ thống hoá kiến thức đã học của học sinh, rèn
luyện kĩ năng kĩ xảo.
- Mang tính chất ứng dụng những kiến thức đã được học vào từng bài
toán cụ thể, vào thực tế và những vấn đề mới.
2


- Để học trò tự đánh giá năng lực nhận thức của chính mình và cũng
giúp giáo viên đánh giá được sự tiếp thu kiến thức của học sinh và trình độ
học toán của từng em.
- Gây hứng thú học tập toán của học sinh. Từ đó phát huy được các
phẩm chất trí tuệ, các năng lực cần thiết mà mục tiêu giáo dục THCS đề ra.
Tính chất của tỉ lệ thức, của dãy tỉ số bằng nhau là một phần kiến thức
rất nhỏ trong chương trình toán 7, tuy nhiên không vì thế mà chúng ta được
phép coi nhẹ phần này. Bởi chính những kiến thức này các em được gặp lại ở
các lớp trên, đặc biệt là trong quá trình chứng minh hình học khi biến đổi để
tìm ra các đoạn thẳng tỉ lệ, biến đổi các tỉ số đồng dạng của hai tam giác để
tính độ dài đoạn thẳng, tìm ra các tỉ số đoạn thẳng cần chứng minh…Vì vậy,
ngoài việc dạy lí thuyết giáo viên chú ý khắc sâu kiến thức trọng tâm của bài
học, chúng tôi đã phân loại các bài toán theo từng dạng trong quá trình dạy
học của mình, để giúp các em có được những kĩ năng tốt, những kinh nghiệm
quý báu khi giải các bài tập có liên quan.
2. Thực trạng
Qua giảng dạy một số tiết ở học kì I, tôi nhận thấy đa số các em học
sinh hiểu bài, nắm vững kiến thức cơ bản và biết vận dụng các kiến thức đó
vào làm được hầu hết các bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập. Nhưng với
đối tượng học sinh khá, giỏi thì không chỉ dừng lại ở đó, mà còn phải làm
được các dạng bài tập mở rộng và nâng cao.

%
SL
12 10

3.5-4.9

%
SL
29 19

%
56

0-3.4
SL
0

TB trở lên

% SL
0 15

%
44,1

3. Các giải pháp thực hiện sáng kiến:
a.Vấn đề đặt ra:
Qua kinh nghiệm giảng dạy và được sự giúp đỡ của đồng nghiệp,
thông qua một số tư liệu tham khảo nhắc lại một số cơ sở lý thuyết và giải
quyết một số bài tập ở một số dạng, nhằm giúp các em thấy được sự bổ ích và


Giải: Từ: x :  3  y : 5 � 
5 3
3 5
y x y  x 24
 

 3
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
3 5 3  5 8
x
�  3 � x  5.  3 � x  15
5
y
 3 � y  3.  3 � y  9
3
Vậy: x  15 ; y  9 .
Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết.

x y
z


và x  y  z  10
8 12 15

Áp
dụng
tính
chất


x y x  y x  y 20
 


4
2 3 23
5
5

dãy

4

tỉ

số

bằng

nhau

ta

có:


y
x
�  4� x 2.4� x 8 ;  4� y 3.4� y 12

  

 . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng
2 3 4 4 12 4

2 x 3 y z 2 x  3 y  z 34

 

2
4
9 4
494
17
x
�  2 � x  2.2 � x  4
2
y
 2 � y  3.2 � y  6
3
z
 2 � z  4.2 � z  8
4

Vậy: x  4 ; y  6 ; z  8 .

x 1 y  2 z  3


và x  2 y  3z  14 .

8
8
x 1
�
 1 � x 1  2 � x  3
2
y2
�
1� y  2  3 � y  5
3
5
Ví dụ 5: Tìm x, y, z biết.


z 3
1� z  3  4 � z  7
4
Vậy: x  3 ; y  5 ; z  7
Nhận xét: Ở bài này ta còn có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ 6: Tìm x, y, z biết. 2 x  3 y  4 z và x  y  z  169 .
Phân tích đề bài: Ta đưa dãy đẳng thức 2 x  3 y  4 z về dạng dãy tỉ số
bằng nhau sao cho hệ số của x, y, z trong dãy tỉ số bằng nhau bằng bằng 1.
Cách làm chia các tích cho 12 [ vì: BCNN  2;3; 4   12 ] sau đó làm như ví
dụ 3
�

Giải: Từ: 2 x  3 y  4 z �

2x 3y 4z x y z



. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng
9 7 90 56

nhau ta có:

10 x 8 y 10 x  8 y 68



2
90 56 90  56 34
x
�  2 � x  9.2 � x  18
9
y
 2 � y  7.2 � y  14
7
Vậy: x  18 ; y  14 .
x y
 và x. y  112
Ví dụ 8: Tìm x, y biết.
4 7
Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến
đổi dãy tỉ số bằng nhau làm xuất hiện tích x.y bằng cách lập luận để chứng tỏ

6


x �0 rồi nhân hai vế của hai tỉ số

Nếu x  8 � 8. y  112 � y 
8
112
� y  14
Nếu x  8 � 8 y  112 � y 
8
Vậy: x  8 ; y  14 hoặc x  8 ; y  14
Nhận xét: Ở bài này ta còn có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
x y y z
Ví dụ 9: Tìm x, y, z biết.  ;  và x  2 y  3 z  19
2 3 2 3
x y y z
Phân tích đề bài: Đưa hai dãy tỉ số  ;  về một dãy ba tỉ số bằng
2 3 2 3
nhau bằng cách biến đổi y ở hai dãy tỉ số về cùng mẫu sau đó làm giống ví dụ
4
Giải:
x y
x y�
 �  �
2 3
4 6 � x y z x 2 y 3z

��    
y z
y z � 4 6 9 4 12 27
 � 
2 3
6 9�
Áp

x
y

a)  và x  y  30
b)
và 2 x  y  34
6 9
19 21
7


x y
 và x. y  180
4 5
Bài 2: Tìm x, y, z biết.
x y z
 
a)
và x  y  z  9
2 3 4
x  3 y  4 z  62
c)

d) x : y  4 : 5 và x. y  5

x y z
 
và 5 x  y  2 z  28
10 6 21
x  y  z  49


3
4
5

và

1) x, y, z tỉ lệ thuận với a, b, c � x : y : z  a : b : c ( Hay
2) x, y, z tỉ lệ nghịch với a, b, c � x : y : z 

x y z
  )
a b c

1 1 1
: : ( Hay ax  by  cz
a b c

)
* Bài tập:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có các góc A, B, C tỉ lệ với 7: 5: 3. Các góc
ngoài tương ứng tỉ lệ với các số nào.
�, C
�.
Phân tích đề bài: Nếu gọi ba góc của tam giác ABC lần lượt là: �
A, B
� � �
�, C
� tỉ lệ với 7: 5: 3 nên ta có A  B  C
Vì ba góc �


Theo bài ra ta có:

�
� C
�
A B
�C
�  1800 .
và �
 
A B
7 5 3

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

�
� C
� �
�C
� 1800
A B
A B
  

 120
7 5 3
753
15
0


Vậy các góc ngoài tương ứng tỉ lệ với: 4 : 5 : 6 .
Ví dụ 2: Ba đội công nhân I, II, III phải vận chuyển tổng cộng 1530 kg hàng
từ kho theo thứ tự đến ba địa điểm cách kho 1500m, 2000m, 3000m. Hãy
phân chia số hàng cho mỗi đội sao cho khối lượng hàng tỉ lệ nghịch với
khoảng cách cần chuyển.
Phân tích đề bài: Vì phân chia số hàng cho mỗi đội sao cho khối lượng hàng
tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển nên ta có: 1500a  2000b  3000c
Tổng số hàng cần chuyển đến ba kho là 1530 nên ta có: a  b  c  1530 .
Giải:
Gọi số lượng hàng chuyển tới ba kho lần lượt là a, b, c  a, b, c  0  .
Theo bài ra ta có: 1500a  2000b  3000c và a  b  c  1530
a b c
Từ: 1500a  2000b  3000c �  
4 3 2
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b c a  b  c 1530
  

 170
4 3 2 43 2
9
� a  4.170  680 ;
b  3.170  510 ;
c  2.170  340
Vậy số hàng cần chuyển tới ba kho A, B, C lần lượt là: 680 tạ, 510 tạ, 340
tạ.
Ví dụ 3: Chu vi của hình chữ nhật bằng 28 dm. Tính độ dài mỗi cạnh, biết
rằng chúng tỉ lệ với 3; 4.
Phân tích đề bài: Trong hình chữ nhật có hai kích thước là chiều dài và

mỗi loại tiền trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ.
Phân tích đề bài:
Gọi số tờ tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là a, b,
c
Vì giá trị mỗi loại tiền đều bằng nhau nên ta có:
2000a  5000b  10000c
Có 16 tờ giấy bạc các loại nên: a  b  c  16
Giải:
Gọi số tờ tiền của loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là a,
b, c
Theo bài ra ta có: 2000a  5000b  10000c và a  b  c  16

a b c
 
5 2 1
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b c a  b  c 16
  

2
5 2 1 5  2 1 8
� a  5.2  10 ; b  2.2  4 c  1.2  2
Vậy số tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng, 10000 đồng lần lượt là 10 tờ, 4 tờ
và 2 tờ.
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có số đo các góc �A, B�, C� lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3.
tính số đo các góc của tam giác ABC.
�, C
� lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3.
Phân tích đề bài: Ở bài này cho các góc �
A, B




Theo bài ra ta có:

�
� C
�
A B
�C
�  1800
và �
 
A B
1 2 3

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
�
� C
� �
�C
� 1800
A B
A B
  

 300
1 2 3
1 2  3
6

lớp 7C, 7D, 7E tỉ lệ với

1 1 5
: : . Tính diện tích vườn giao cho mỗi lớp.
2 4 16

Bài 5: Tính chiều dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi là 30m và 3 cạnh tỉ
lệ với 4:5:6.
Dạng III: Dạng chứng minh tỉ lệ thức.
Có nhiều phương pháp chứng minh tỉ lệ thức. Sau đây là một số cách
chứng minh tỉ lệ thức áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Ví dụ 1:

a c
ac a 2  c 2
a
,
b
,
c
,
d
�
0

Cho tỉ lệ thức
. với
. Chứng minh:

b d

Mà: 2  2  2
(2)
b
d
b  d2
ac a 2  c 2
Từ (1) và (2) �
(đpcm)

bd b 2  d 2
Ví dụ 2:

11

(1)


Cho tỉ lệ thức

 a  b
2
cd
2



a c

. với
b d

��
c d �b  d � cd  b  d  2
b d
c d cd
2

2

 a  b
2
cd
2

Hay



ab
(đpcm)
cd

Ví dụ 3:

a b c d

( a, b, c, d �0 và a �b, c ��d ). Chứng minh rằng
a b c d
a c
 .
b d


(đpcm)

Ví dụ 4:

Cho tỉ lệ thức

ab cd

b
d

a c

với b, c, d �0 và c � d . Chứng minh rằng:
b d

Phân tích đề bài: Quan sát tỉ lệ thức phải chứng minh, dùng phương pháp
phân tích suy luận ngược để tìm ra hướng chứng minh. Khi chứng minh ta
chứng minh theo chiều xuôi. Khi chứng minh chú ý điều kiện có nghĩa của tỉ
lệ thức.

a c
 � Cần
b d
ab cd

b
d
Có:

d
b
ab cd

b
d

Từ

hay:

Ví dụ 5:

a c

b d

Cho tỉ lệ thức

a
c

ab c d

với b, c, d �0 . Và a �b; c � d . Cmr:

a c
a b
a a b
a

a2 b3

Bài 2: Cho tỉ lệ thức:
với a �2; b �3 . Chứng minh rằng
a 2 b3
a b

2 3

a c
 ��1 với a, b, c, d �0 . Chứng minh rằng:
b d
ab cd
a
c
a b c d



a)
b)
c)
b
d
a
c
ab cd
a c
Bài 4: Cho tỉ lệ thức 
c/m các tỉ lệ thức sau (với giả thiết các tỉ số đều

Bài 5: Cho b 2  ac ; c 2  bd với b, c, d �0 ; b  c �d ; b3  c 3 �d 3

c)

3

a 3  b3  c3 �a  b  c �
Chứng minh rằng: 3
�
�
b  c 3  d 3 �b  c  a �
13


4. Hiệu quả của sáng kiến đối với hoạt động giáo dục, với bản thân đồng
nghieempj và nhà trườn.
Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy lớp 7 ở trường
THCS .......... trong năm học 2018- 2019 đã thu được các kết quả khả quan.
Kết quả học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt qua các giờ học, qua
mỗi kỳ thi, đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn. Bên cạnh đó các
phương pháp này được học sinh giỏi dễ dàng tiếp cận với các dạng toán khó
và các kiến thức mới cũng như việc hình thành một số kỹ năng trong quá
trình học tập và giải toán khi học bộ môn toán.
Với phương pháp dạy học theo các chuyên đề, đặc biệt là chuyên đề
“Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”
các em không những không còn sợ dạng toán này mà còn rất thích làm bài
tập dạng này.
* Kết quả
Chất lượng
Số HS

14


năng phát hiện ra các cách giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách
giải.
Triển vọng áp dụng kinh nghiệm trên trong bồi dưỡng học sinh giỏi
theo tôi sẽ đạt được kết quả tốt.
2.Kiến nghị.
Tôi xin đưa ra một số ý kiến sau:
- Cần tạo điều kiện hơn nữa để người giáo viên có thời gian nghiên cứu
đổi mới phương pháp dạy học, đặc biệt phân loại được các dạng bài tập cơ
bản và khó
- Nếu có thể khi chọn lọc từ đầu vào chúng ta nên chọn ra hai lớp:
Chuyên về các môn tự nhiên và một lớp chuyên về các môn xã hội để
giáo viên có điều kiện hơn nữa để rèn cho nhiều học sinh.
Phòng giáo dục cần tổ chức một chuyên đề hướng dẫn làm sáng kiến
kinh nghiệm giới thiệu những sáng kiến kinh nghiệm hay để giáo viên có dịp
trao đổi bàn bạc và học tập ở đồng nghiệp.
Trên đây là một số kinh nghiệm trong việc dạy học sinh lớp 7 giải bài
toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, mong hội đồng khoa học góp ý
kiến bổ sung cho đề tài được tốt hơn.
Xin chân thành cảm ơn !
.........., Ngày 22 tháng11 năm 2018
NGƯỜI VIẾT

PHỤ LỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
MỤC LỤC
I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài …………………………………………………… 1
15

- Nhận xét: .............................................................................................................
........................................................................................................................................
-

Xếp
loại:
......................................................................................................................
Ngày …… tháng …… năm 2018
TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC

17