Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị Trường THPT Ngô Quyền

Mã số:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11
GIẢI BÀI TẬP
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Người thực hiện: LÊ THANH HÀ
Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lý giáo dục 
Phương pháp dạy học bộ môn: 
Phương pháp giáo dục 

- Chuyên ngành đào tạo: ĐHSP Toán.

III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy học Toán
- Số năm có kinh nghiệm: 32 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 4
+ Năm học 2010 – 2011, thực hiện chuyên đề: “Sử dụng Miền Giá trị của Hàm
số để giải toán”.
+ Năm học 2011 - 2012, thực hiện chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh ôn tập bằng
cách thuyết trình”.
+ Năm học 2012 – 2013, thực chuyên đề: “Sử dụng Hàm số bậc hai và Dấu Tam
thức bậc hai để giải toán”.
+ Năm học 2013 – 2014, thực hiện chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải
bài tập Hình học Không gian”.

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 3

Tên sáng kiến kinh nghiệm:

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
1/. Ở cấp Trung học cơ sở, học sinh đã được học hình học không gian thông qua
một số hình ảnh như : hình chóp, hình hộp, hình lập phương, hình nón, hình cầu,…và

- Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi
điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
- Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm
chung khác nữa.
b/ Điều kiện xác định mặt phẳng: Trong phần đầu của hình học không gian học
sinh được học ba điều kiện để xác định mặt phẳng:
Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 4

k
S
I
D
O
B
C
A
J
- Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng
hàng.
- Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một
đường thẳng không đi qua điểm đó.
- Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt
nhau.
2/. Nội dung thực hiện:
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Dạng 1 : Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (

a. Xác định giao tuyến của (SAC) và (SBD)
Ta có : S

(SAC)

(SBD)
Trong (

), gọi O = AC

BD
 O

AC mà AC

(SAC)

O

(SAC)
 O

BD mà BD

(SBD)

O

(SBD)
 O


(SCD)

I

(SCD)
 I

(SAB)

(SCD)
Vậy : SI = (SAB)

(SCD)
Nhận xét: Khi mới là bài tập hình học không gian học sinh rất lúng túng khi vẽ hinh,
giáo viên cần phải hướng dẫn cho các em cách vẽ một số hình thường gặp để các em
làm quen dần
Ví dụ 2 :
Cho bốn điểm A,B,C,D không cùng thuộc một mặt phẳng .Trên các đoạn thẳng AB,
AC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không song song với BC. Tìm giao
tuyến của ( BCD) và ( MNP)
Giải
 P

BD mà BD

( BCD)

P


Trong mp (ABC) , gọi E = MN

BC  E

BC mà BC

( BCD)

E

( BCD)
 E

MN mà MN

( MNP)

E

( MNP)

 E

( BCD)

( MNP)
Vậy : PE = ( BCD)

( MNP)


 I

( I,a)

(SAC )
Trong (ABC ), a không song song với AC .
Gọi O = a

AC


O

AC mà AC

(SAC )

O

(SAC ) 
O

( I,a)
 O

( I,a)



( I,a)

L

( I,a )
 L

( I,a)

(SBC )
Vậy: KL = ( I,a)

(SBC ) Ví dụ 4: Cho bốn điểm A ,B ,C , D không cùng nằm trong một mặt phẳng
a. Chứng minh AB và CD chéo nhau
b. Trên các đoạn thẳng AB và CD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho đường thẳng
MN cắt đường thẳng BD tại I. Hỏi điểm I thuộc những mặt phẳng nào. Xác định giao
tuyến của mp (CMN) và( BCD)

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 6

M
I
C
B


(ABD )

I

(ABD )


I

MN mà MN

(CMN )

I

(CMN )


I

BD mà BD

(BCD )

I

(BCD )
Vậy: (CMN)



(SAB )
Trong ( P) , ta có a không song song với AB
Gọi E = a

AB


E

AB mà AB

(SAB )

E

(SAB )


E

( A’,a)
 E

( A’,a)

(SAB )
Vậy: A’E = ( A’,a)

(SAB )


(SAC )

F

(SAC )


E

( A’,a)
 F

( A’,a)

(SAC )
Vậy: A’F = ( A’,a)

(SAC )
c. Xđ giao tuyến của (A’,a) và (SBC)
Trong (SAB ) , gọi M = SB

A’E


M

SB mà SB

( SBC)


( A’,a)

(SBC )
Trong (SAC ) , gọi N = SC

A’F


N

SC mà SC

( SBC)

N

( SBC)


N

A’F mà A’F

( A’,a)

N

( A’,a)
 N


E

BD mà BD

( BCD)

E

( BCD)
 E

( AMN)

(BCD )
Trong (ACD ) , gọi F = AN

CD


F

AN mà AN

( AMN)

F

( AMN)


P

(DMN )


P

AB mà AB

( ABC)

P

(ABC)
 P

( DMN)

(ABC )
Trong (ACD) , gọi Q = DN

AC


Q

DN mà DN

( DMN)



)
 Giao điểm của a và b là giao của đường thẳng a và mặt phẳng (

)
Chú ý : Đường thẳng b thường là giao tuyến của mp () và mp ()  a. Cần chọn
mp() chứa đường thẳng a sao cho giao tuyến của mp() và mp() dễ xác định và giao
tuyến không song song với đường thẳng a

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 8

Ví dụ 1: Trong mp () cho tam giác ABC . Một điểm S không thuộc () . Trên cạnh
AB lấy một điểm P và trên các đoạn thẳng SA, SB ta lấy lần lượt hai điểm M, N sao
cho MN không song song với AB .
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC )
b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng ()

Giải

a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC ) Cách 1 : Trong (SAB) , gọi E = SP  MN. Ta có:
 E  SP mà SP  (SPC)  E (SPC)
 E  MN
Vậy : E = MN  (SPC )
Cách 2 : - Chọn mp phụ (SAB)  MN .
- Tìm ( SAB)  (SPC ) = SP

D
B
P
E
C
N
S


Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 9

M
A
D
O
C
B
S
K
N
Trong (ABCD ) , gọi O = AC  BD
Trong (SAC ) , gọi K = AM  SO
 K SO mà SO  (SBD)  K ( SBD)
 K AM mà AM  (ABM )
 K ( ABM )
 K  ( SBD)  (ABM )
 ( SBD)  (ABM ) = BK
Trong (SBD) , gọi N = SD  BK N BK mà BK  (AMB)  N (ABM)

Vậy: J = MN  (SBD)
Ví dụ 4: Cho một mặt phẳng () và một đường thẳng m cắt mặt phẳng () tại C. Trên
m ta lấy hai điểm A, B và một điểm S trong không gian . Biết giao điểm của đường
thẳng SA với mặt phẳng () là điểm A’. Hãy xác định giao điểm của đường thẳng SB
và mặt phẳng () .
Q
A
C
P
D
N
I
B
M
S

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 10

A
B
S
m
C
B'
A'

E
E'

-Trong (ABC ), gọi E = BC  HE’
 E  BC mà BC  ( ABC)  E  ( ABC)
 E  HE’ mà HE’  ( IHK)  E  ( IHK)
Vậy: E = BC  ( IHK) Ví dụ 6: Cho tứ diện SABC .Gọi D là điểm trên SA , E là điểm trên SB và F là điểm
trên AC ( DE và AB không song song ) .
a. Xđ giao tuyến của hai mp (DEF) và ( ABC )
b. Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng ( DEF )
c. Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng ( DEF )

Giải
a. Xđ giao tuyến của hai mp (DEF) và ( ABC )
Ta có : F  (ABC)  (DEF)
Trong (SAB) , AB không song song với DE.
Gọi M = AB  DE
 M  AB mà AB  (ABC)  M  (ABC)
 M  DE mà DE  (DEF)  M  (DEF)
 M  (ABC)  (DEF)
Vậy: FM là = (ABC)  (DEF)
N
M
F
E
K
D
C
B
A

- Chọn mp phụ (SBD)  SO
- Tìm giao tuyến của ( SBD ) và (MNP).Ta có
 N  MN mà MN  (MNP)  N  (MNP)
 N  SB mà SB  (SBD)  N  (SBD)
 N  ( SBD ) và (MNP)
 P  MP mà MN  (MNP)  P  (MNP)
 P  SD mà SD  (SBD)  P  (SBD)
 P  ( SBD )  (MNP)  (MNP)  (SBD) = NP
Trong (SBD), gọi I = SO  NP
 I  SO
 I  NP mà NP  (MNP)  I  (MNP)
Vậy: I = SO  (MNP) b. Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng ( MNP )
- Chọn mp phụ (SAC)  SC
- Tìm giao tuyến của ( SAC ) và (MNP)
Ta có  M  MN mà MN  (MNP)  M  (MNP)
 M  SA mà SA  (SAC)  M  (SAC)
I
Q
P
N
M
O
D
C
B
A
S

Trong (BCD), gọi I = CD  NK
 I CD
 I NK mà NK  (MNK)  I  (MNK)
Vậy: I = CD  (MNK)
b. Tìm giao điểm của AD và (MNK )
- Chọn mp phụ (ACD)  AD
- Tìm giao tuyến của (ACD ) và (MNK). Ta có:
 M  (MNK)
 M  AC mà AC  (ACD)  M  (ACD)
 M  (ACD )  (MNK)
 I NK mà NK  (MNK)  I  (MNK)
 I  CD mà CD  (ACD)  I  (ACD)
 I  (ACD )  (MNK)
 (ACD)  (MNK) = MI
Trong (BCD), gọi J = AD  MI
 J AD
 J MI mà MI  (MNK)  J  (MNK)
Vậy: J = AD  (MNK)
J
I
B
D
C
N
K
M
A

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian


 I AO
 I BQ mà BQ  (BMN)  I  (BMN)
Vậy: I = AO  (BMN)
Ví dụ 10: Trong mp () cho hình thang ABCD , đáy lớn AB . Gọi I ,J, K lần lượt là các
điểm trên SA, AB, BC ( K không là trung điểm BC) . Tìm giao điểm của :
a. IK và (SBD)
b. SD và (IJK )
c. SC và (IJK )
Giải
a. Tìm giao điểm của IK và (SBD)
- Chọn mp phụ (SAK)  IK
- Tìm giao tuyến của (SAK ) và (SBD).Ta có : S  (SAK )  (SBD)
Trong (ABCD), gọi P = AK  BD
 P  AK mà AK  (SAK)  P  (SAK)
P  BD mà BD  (SBD)  P  (SBD)
O
Q
P
N
M
I
C
D
B
A

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 14


Trong (SAC), gọi F = IE  SC
 F  SC
 F  IE mà IE  ( IJK)  F  ( IJK)
Vậy : F = SC  ( IJK )

Ví dụ 11: Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lấy hai điểm M,N sao cho MN không
song song với CD.Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD.
a. Tìm giao tuyến của (OMN ) và (BCD )
b. Tìm giao điểm của BC với (OMN)
c. Tìm giao điểm của BD với (OMN)
Giải
a. Tìm giao tuyến của (OMN ) và (BCD ):
Ta có : O  (OMN )  (BCD )
N
F
M
Q
P
K
J
I
C
B
D
A
S

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 15

 I  AC mà AC  (SAC)  I  (SAC)
 I  (SMN )  (SAC)
 ( SMN)  (SAC) = SI
Trong (SMN), gọi O = MN  SI
 O  MN
 O  SI mà SI  ( SAC)  O  ( SAC)
Vậy : O = MN  ( SAC )
b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) :
- Chọn mp phụ (SAC)  SC
- Tìm giao tuyến của (SAC ) và (AMN). Ta có : ( SAC)  (AMN) = AO
- Trong (SAC), gọi E = AO  SC
 E  SC
 E  AO mà AO  ( AMN)  E  ( AMN)
Vậy : E = SC  ( AMN )
P
I
Q
O
M
D
N
C
B
A

M
N
B
C
N'

Trong (SAC), gọi I = AN  SO
 I  AN
 I  SO mà SO  ( SBD)  I  ( SBD)
Vậy: I = AN  ( SBD) b. Xác định giao điểm J = MN

(SBD)
- Chọn mp phụ (SMC)  MN
- Tìm giao tuyến của (SMC ) và (SBD)
S là điểm chung của (SMC )  (SBD)
Trong (ABCD) , gọi E = MC  BD
 ( SAC)  (SBD) = SE
Trong (SMC), gọi J = MN  SE
 J MN
 J SE mà SE  ( SBD)  J  ( SBD)
Vậy J = MN  ( SBD)
c. Chứng minh I , J , B thẳng hàng
Ta có : B  (ANB) và ( SBD)
 I  SO mà SO  ( SBD)  I  ( SBD)
 I  AN mà AN  (ANB)  I  (ANB)
 I  (ANB)  ( SBD)
 J  SE mà SE  ( SBD)  J ( SBD)
 J  MN mà MN  (ANB)  J  (ANB)
 J  (ANB)  ( SBD). Vậy : B , I , J thẳng hàng.
I

E
L
A
D
C
B
O
J
I
S
Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD và S  (ABCD). Gọi I , J là hai điểm trên AD và SB , AD
cắt BC tại O và OJ cắt SC tại M .
a. Tìm giao điểm K = IJ  (SAC)
b. Xác định giao điểm L = DJ  (SAC)
c. Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng
Giải
a. Tìm giao điểm K = IJ

(SAC)
- Chọn mp phụ (SIB)  IJ
- Tìm giao tuyến của (SIB ) và (SAC)
Ta có: S  (SIB )  (SAC)
Trong (ABCD) , gọi E = AC  BI
 (SIB)  ( SAC) = SE
Trong (SIB), gọi K = IJ  SE
 K IJ
 K SE mà SE  (SAC )  K  (SAC)
Vậy: K = IJ  ( SAC)
b. Xác định giao điểm L = DJ



Giải a. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)
Ta có : N  (LMN)  (ABC)
Trong (SAB) , LM không song song với AB
Gọi K = AB  LM
 K  LM mà LM  (LMN )  K  (LMN )
 K  AB mà AB  ( ABC)  K  ( ABC) b. Tìm giao điểm I = BC

( LMN)
- Chọn mp phụ (ABC)  BC
- Tìm giao tuyến của (ABC ) và (LMN)
 (ABC)  ( LMN) = NK
Trong (ABC), gọi I = NK  BC
 I BC
 I NK mà NK  (LMN )  I  (LMN)
Vậy : I = BC  ( LMN)
b. Tìm giao điểm J = SC


A

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 19

Trong (SBD), gọi I = BN  SO
 I BN
 I SO mà SO  (SAC )  I  (SAC)
Vậy : I = BN  ( SAC)
b. Tìm giao điểm J = MN

( SAC) :
- Chọn mp phụ (SMD)  MN
- Tìm giao tuyến của (SMD ) và (SAC)
Trong (ABCD), gọi K = AC  DM
 (SMD)  ( SAC) = SK
Trong (SMD), gọi J = MN  SK
 J  MN
 J  SK mà SK  (SAC )  J  (SAC)
Vậy : J = MN  ( SAC)
c. Chứng minh C , I , J thẳng hàng :
Ta có : C , I , J  (BCN )  (SAC). Vậy : C , I , J thẳng hàng Dạng 4 : Tìm thiết diện của hình chóp và mặt phẳng ( )
Chú ý : Khi xác định thiết diện cần dự đoán mặt phẳng ( ) sẽ cắt những cạnh nào của
hình chóp để dễ xác định

Có hai cách thường dùng để tìm thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (

N
M
D
C
B
Q
I
P
K

O
J
K
I
M
N
A
D
C
B
S

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 20

N
M
B
C
b. M ở ngoài đoạn CD:
Trong (BCD), gọi L = KM  BD
Vậy : thiết diện là tam giác HKL Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, R lần lượt là trung điểm AD và DC, lấy
trên SD điểm E . Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNE)
Giải
Trong (SCD), gọi Q = EN  SC
Trong (SAD), gọi P = EM  SA
Trong (ABCD), gọi F = MN  BC
Trong (SBC), gọi R = FQ  SB
Vậy : thiết diện là ngũ giác MNQRP

M
L
N
B
C
D
A
K

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB và SC . Giả sử
AD và BC không song song .
a. Xác định giao tuyến của (SAD) và ( SBC)
b. Xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD
Giải
a. Xác định giao tuyến của (SAD) và ( SBC) :
Trong (ABCD) , gọi I = AD  BC
Vậy : SI = (SAD)

( SBC)
b. Xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD
Trong (SBC) , gọi J = MN  SI
Trong (SAD) , gọi K = SD  AJ
Vậy : thiết diện là tứ giác AMNK
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD.Trong tam giác SBC lấy một điểm M trong tam giác
SCD lấy một điểm N.
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC)
b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN)
c. Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD
Giải
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC):

N'
E
D
M'
I
O
A
SChuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 22

b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) :
- Chọn mp phụ (SAC)  SC
- Tìm giao tuyến của (SAC ) và (AMN)
Ta có : ( SAC)  (AMN) = AO
-Trong (SAC), gọi E = AO  SC
 E  SC
 E  AO mà AO  ( AMN)  E  ( AMN)
Vậy : E = SC  ( AMN )

c. Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD:
Trong (SBC), gọi P = EM  SB
Trong (SCD), gọi Q = EN  SD
Vậy : thiết diện là tứ giác APEQ

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’, C’ là ba điểm lấy trên các cạnh SA, SB,
SC. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (A’B’C’)

D'
A'
B'
O
D
B
A
S

S
O'
B
A
C
D'
E
F
D
A'
B'
O
C'

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 23

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác SABCD với AD không song song với CB. Gọi M, N là
trung điểm của SB và SC.
a/ Tìm giao điểm của SD và (AMN)
Lê Thanh Hà
Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 24 SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT NGÔ QUYỀN CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Biên Hoà, ngày 18 tháng 05 năm 2014

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học : 2013 - 2014
––––––––––––––––
Tên sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

được tổ chức thực hiện tại đơn vị, được Hội đồng chuyên môn trường xem xét, đánh giá; tác giả không
sao chép tài liệu của người khác hoặc sao chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của chính tác
giả.

NGƯỜI THỰC HIỆN SKKN XÁC NHẬN CỦA TỔ
CHUYÊN MÔN

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
HIỆU TRƯỞNG

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 25 Lê Thanh Hà

Lê Văn Đắc Mai