.

.
Bài toán hình học không gian là
c sinh G

.

B
ắ

ữ

ừ
ẽ
N
ữ
ừ

ầ

ũ
hai ũ
ễ
ầ
ũ

ẹ
sáng
: " Các hướng tiếp cận khác nhau khi giải bài toán hình học không
gian lớp 11, 12 "


ông g an, chúng tô t

ng

a :
1.

ng

t

2.

o bà tậ á

3. G

n

ìt

t.
ụng.
ên bảng t ìn bà . G áo v ên

à chúng tô t

ng


ng

n ững
t

v

n

ên

g ả bà toán

ông b t bắt ầ từ

ng

á t a ộ

t ậ
a

t a ộ Ox z

4.

t ống bà tậ vận ụng.

ng ên ứ


n

ng

an.

x t bà toán t

5. H t ống bà tậ tự

1.

o

g ả bà toán ìn

t ống á
ịn

ả t n
á n
a :

ở ầ .

3.

tích bài toán.

.


n ng t.

ố

Ả PHÁP

á

ông b t vận ụng
n

ữa bà và n ận xét.

nt ứ

.

2

n tì
á

gả

bà toán
á n a và

a t á


n t
t ng
. B t g ả bà toán ìn
ông
g an b ng
ng á to ộ oá từ
ôn tậ
n t ứ v hìn g ả t
trong không gian.
4. á
a t á bà toán, giú
n
bà toán
n t
ên
g ữa á bà toán.
n
ông n b ng
g ả á bà toán
ông g an từ
gi
n b t
v
n, g
n t
n
á n ìn ộng n g ữa
nt ứ
và
t o a ự ên t a

t bà toán á

n bà toán. ì vậ t
tì
bà toán tì t
t
g ả toán n o t

v ông g

n b t
o từng bà .

PHÁP T Ế HÀ H

Ả PHÁP 1: C

gả

g
n t

o t áng t o và ỹ n ng t n toán

C. PHƯƠ
.

n

DN, v

n
t o

á b ng a 2 , BM

a SA S .

n t

t

ố

chóp S.ABCD.
Hướng dẫn học sinh tìm hiểu bài toán và tìm lời giải cho bài toán
Y
H1. Bà toán

o gì? Yê

ầ gì?

ầ

1. Bài toán cho:
●

S.AB D à ìn

● BM

a AC và BD.
nào
xá ịn
BM  DN ?
(
t
n
à b
nn t ố v
n ).

· , DN )
3. Dựng ( BM

tn t
t
S.AB D ần t n
ng nào?

ố
n ững

4. D n t

á và

?

5. D n t


ng ao.

ng ao SO.
n

n v

ìn :

S

M
N
G
E

A

D

O
B

Bà toán

t

F

nt ứ

n O t ộ a ( o b) ựng b'
a O ong ong v
g g ữa a và b' ( o b và b') à g g ữa a và b.

4

b( o

a). K


b'

a

a
O

b

b

b'
O

n ( P)  a,(Q)  b sao cho ( P)  (Q)  d ễ xá

Cách 2 : a

a O ựng á


g ữa

ộ oá.
· , DN ) .
( BM

ựng
· , DN ) à
( BM

n bà toán:

a b ần

ịn .

t

nào

tn

SO?

3
2

n SO  3OG  EF  3OE .



O

B

n

ễ àng
n

Cách 1:
Cách 2: G
àn

át

n a á

ựa vào ta

gả

t n EF.

g á OED t o ịn

J  EF  CD  EF 

vậ bà toán


ử ụng

ng

ta

S.AB D ột
á t a ộ a.

á t a ộ

· , DN ) thì làm sao tính
( BM

ông ựng

a ta ần

t a ộ Ox z
ả à

á b
Y

H1.

n

H2.


?

ả

to

ộ

B D S A

3. Dựng ìn

aB D S A

trên Ox, Oy, Oz.
4.

H4. Tính SO?

t SO  h

uuuur uuur
BM  DN  BM .DN  0  h

z
S

M
N
A


t

n ẹ n àng

n ov

ng n ìn á n a
gả
g ả bà toán t o á
à á

ghiên cứu sâu lời giải, đề xuất những bài toán mới
ng ẫn
n g ả xong bà toán t ên ựa t ên
g ả t t BM v ông g v DN ta t n
SO ìn

6

t

á

t ên ồng

t bà toán.
ựa
n.
ả bài toán

3. G g ữa a
t ẳng (BND) và (SA ).
: Hãy tính:
1. K oảng á từ N n
2. K oảng á từ M n
3. K oảng á g ữa a
õ àng

t

ẳng (SAD).
ng t ẳng S .
ng t ẳng AN và BD.

ng ẫn
t a ộ á

ng t ẳng v t
ng t ên à
t

t

n g ả bà toán b ng

ỉn

á t
n g ản.


gả

á t a ộ á
ỉ

ng
ỏ b

t bà toán t o

ng ìn

a ố
o

vậ v
g
g ả bà toán ìn
ng
n .

n

ỏ n

D1 và g ữ ng ên á g ả t

n

t ban ầ

a

t á

t
. N
á n a

ông g an à t ứ ần t t. G áo v ên
t
n
n
n ỹ n ng t n toán ng n t ìn bà
I.2. Thay đổi dữ kiện đáy:
: Ẩn
D .

v t

ẳng t ì v
n

ng

n: AB  BC 

7

a


DN.
S.ACD.

t à t ng

b t OK v ông g
1.
t
ố

v

2. G

g ữa a

ng t ẳng AD và SC.

3. G

g ữa

4. G

g ữa a

ng tự ta
á AB D à ìn

t


ễ àng t

a S t ên

ìn

a S t ên

t

t

v

n a 2. G
DN.

ố

M N ần

v

t

S.ABCD.

2. G
3. G

g ữ ng ên g ả

ẳng (AB D) b ng á

tn :

5. K oảng á

g

v

éo ỉn S

ẳng (ABCD) là A ta có bài toán sau:

Bài 3: Cho hình chóp S.AB D SA v ông g
v ông g

nga SO v ông g

ìn v ông AB D. B

ìn

à ìn v ông

A và DM

ẳng (CDM) và (SAD).


ẳng (SAD).

ng t ẳng S .
ng t ẳng AN và BD.

8

ẳng (AB D)

á AB D

a SA S . B t BM


: ìn
a S t ên
ABC, ta có bài toán sau:

t

Bài 4: Cho hình chóp S.AB D
t ng t
a ta
t à t ng

ẳng (AB D) à G t ng t

á AB D à ìn v ông



5. K oảng á

từ N

n

t

6. K oảng á

từ M

n

ng t ẳng S .

7. K oảng á

g ữa a

n vị t

a ta

ẳng (SAD).

ng t ẳng AN và BD.

ng tự ta


a SA S . B t BM t o v DN g

t
ố
g ữa a

3. G
4. G

g ữa
ng t ẳng DN và t ẳng (SBC).
g ữa a
t ẳng (BND) và (SAC).

bà toán

.

n a 2. G M

600. Hãy tính:

S.ABCD.
ng t ẳng AB và SC; BM và SC.

5. K oảng á

từ N


1.

t

n t

n

á AB D à ìn v ông

1.
2. G

Bài 6:

n à og
g ữa a
ng

n   600 ta có bài toán sau:

n

Bài 5:

gảt

DN
ng



bà toán a :
n a 2 . AB và


2. G M N ần t à t ng
a SA S . n g
3. Tính g g ữa a
t ẳng (BND) và (SAC).
4. Tính k oảng á

g ữa a

g ữa a

ng t ẳng BM và DN

ng t ẳng AN và BD.

I.6. Lồng khối chóp vào trong khối lăng trụ.
Lồng ố
S.AB D vào t ong ố ng t ụ tứ g á v va t S n A’. a
có bài toán
Bài 7: Cho ng t ụ tứ g á ABCD.A’B’ ’D’ á AB D à ìn v ông n
ìn

a 2.

a A’ t ùng v


tá

ng t ụ.
á
ụng.

toán

ì t ên t ự t v

v
a ố
nên
ng n
bà toán ìn

n

nê t ên õ àng
xá

ịn g

n nữa á
ng
ên n
.
không g an b ng

ần t n

A

OXYZ
HÓA

II.1 Thiết lập hệ toạ độ Oxyz cho một số hình cụ thể.
ong nộ
ng nà chúng tô
a a o
n
ột ố ìn t
ng g
t ong bà tậ : ình chóp, hìn
ng t ụ ìn ộ
ữ n ật ìn ậ
ng
ác
tự xâ ựng và gắn
to ộ Ox z ột ách thí
ng o t ộng
nhóm sau khi cá
xong bà " to ộ t ong ông g an". Sa â à nộ
ng o t ộng n óm:
Thiết lập hệ toạ độ trong các hình sau:
II.1.1 Hình chóp:
II.1.1.1 Hình chó
1.1 Hình chóp tam giá

SAB
S

2.1. Hình chóp SABC có SA vuông gó
áy và tam giác ABC vuô

A

S

C

A

B

2.2 Hình chóp SABC có SA vuông gó

B

áy và tam giác ABC vuô

S

C

A

B

2.3 Hình chóp SABCD có SA vuông gó

áy và ABCD là hì

II.1.2 Hình lăng trụ:
II.1.2.1. L
ụ
AB A’B’ ’
A

1.1. áy là tam giác ABC vuô
A

C

B

C'

A'

B'

A

1.2. áy là tam giác ABC câ
A

C

B

C'


C'

A'

D'

12

ữ

)


2.2. áy ABCD là hình thoi
B

C

D

A

B'

C'

A'

to


ộ Ox z t ong

Sau khi nghiên ứ
t ứ .
t
t
t

ịn ng a

ó là: Phân tí

t ậ

ả
to

ng à
ng án t

ng

ột ố ìn

n g ản n

áp trong quá trìn t

a ồng ví ụ vào bà g ảng ý t



B
y

t

C

ìn v .
S

x

t

O
C

ụ

áy là tam giác câ

13

A

z

B



t chúng tôi

n n ận b t và át
n v ông, hìn ậ

n t ng bìn
) ác em khá và g ỏ t ì
t ậ
to ộ t ong ột ố ìn
ứ t
n.

: ta

ách
ả ố
n


án 1:
n t ụ to
Gố O  M M à t ng

ộ Ox z n
B

ình v .

z


z
A'

C'
B'

A O

AA'

t

t ậ

to

a ìn

tính hìn

X t át từ ột
à gố O 3 t a ô

●

●

X t át từ
t a tụ

B

ột
ẻ a 2 t a v ông gó v i nhau thì
ứa góc vuông ó.

●

●

ộ

to

C

M

x
t

K

C'

an

ng án t
ộ á



t ong

á

trình tính toán.
II.2. Thiết lập hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp.
Sa â à ột ố ình chó t
ng g
ng án t t ậ
to ộ t ng ứng.
2.1. Hình chóp SABC có SA vuông gó
n t ụ t a ộ Ox z n
ìn v :

á

t ong

á trìn

à

bà tậ và
A

áy là  ABC vuô
z
S


B
A

S

ìn v :

z

C

A

O

y

B
x

2.4. Hình chó
SAB
n t ụ t a ộ Ox z n

S

ìn v :

z


C

B
x

2.6. Hình chóp SABCD có SA vuông gó
n t ụ t a ộ Ox z n
ìn v :

á

ữ

y ABCD là hì
z
S

D

A

y

B
C
x

trìn t

á

ng án tốt n t.

to

ộ

ng ác

ác nhau, giáo viên nên phân tí

II.3. Thiết lập hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ.
ng tự ần ình chóp, trong quá trình là bà tậ ta
3 L
ụ
AB A'B' ' ó áy là  ABC vuô
A
z A'
n t ụ t a ộ Ox z n
ìn v :

ng t

ng g .

C'

B'

A



( ò

ình

)
t ụ t a ộ Ox z n

ìn v :

A'

z

D'
C'

B'
A O

D

B

y
C

x

nt

B'
D

y
O

A
x

B

ác hìn
ng t ụ ác, giáo viên
ng ẫn
cao và tín
t a agá á
t t ậ
t ụ to ộ t í
gả
ác bài toán hìn
ông g an b ng
giáo viên ần

ng ẫn

ỉn
ên quan, ựa vào
Bài toán n g ản a
ông
vuông góc. Giáo viên a a

n
a ình.
t ụ to ộ


Phương pháp:
:
n t ụ to

B
B

: Dựa vào

ộ Ox z t í
n

úý

a bà toán

xá

n vị t í

ịn to

ộ

a gố O.

Cá
ng toán t
ng g : ính cá
•
tí
ố a
n.
• D n tí t t n.
• Gó g ữa hai
ng t ẳng.
• Gó g ữa

ng t ẳng và

• Gó g ữa hai t
• K oảng á từ

ẳng.
n

• K oảng á

từ

• K oảng á

g ữa hai

n


ab
b  ( P )

•

•

b //( P)
•
ab
a  ( P)

a  b; a  c
 a  ( P)
• b  c  I
b  ( P); b  ( P)


(Q)  ( P); ( R)  ( P)
 a  ( P)
•
(Q)  ( R)  a

( P)  (Q)
• ( P)  (Q)    a  ( P)
a  (Q); a  


• a ( P); b  ( P) : b  a  b  a' (a' à ìn


t ùng
ng v a và b.

III.1 3 G

ữ

ặ

• Xá ịn ìn
tì g ao
I
ng t ẳng a (
à
ng t ẳng
g ữa

t ẳng a’.
III.1.4 G
a)

v ông g a’ a
a
ng t ẳng a và
ông t ùng v I) và xá
a I và .

ng t ẳng a và
n



t

t

ẳng (Q) à g

ẳng (P) và

t

g ữa a

ẳng (Q).

b)
:
Cách 1: Sử ụng ịn ng a.
Cách 2:
• ì

g ao t

•

n

•K
III.1



ẳng (Q).

v

g ao t

t

ẳng ( ) v
àg

n .
a

t

g ữa a và b.

ừ

:

à ìn
ừ

a M t ên ).
ặ

:

ng t ẳng a’
a’ à ìn
a
ng t ẳng a t ên t ẳng (P).
:

a)
g ữa
t ong
b)

•G

ng t ẳng a’ và b’ ùng

à ìn

a M t ên (P)).

18

ẳng (P) và (Q).

ng


n tự t

Cách 1:


n

ẳng (Q)

v

• ậ
B

à ìn
: Tính MH.

a M t ên (P).

(P) t

(P).

ẳng (Q)
a M và v ông g
ta à n
au:
ng t ẳng a

v

t

.



(P). N

vậ

a M và v ông g

ựng
v

ả

ựng
t

t
ẳng (Q)

ng t ẳng  n

t ong

(Q).
•

ừ ột
b t ì t ên
ng t ẳng  .

ng t ẳng a

t

ng t n ngo t

agá

á .

•N
ìn
á
t bên t o v v
á á g b ng n a và ìn
a ỉn ìn
t ên
t á t ộ
n t ong a g á á t ì ìn
ỉn t ên t á t ùng v t
ng t n nộ t
agá á .
19

a


Cách 2: n g án t
Á ụng t ong t ng
ta ựa vào

ột ố

M

I
K

H

P

H

K

P

N

MN//(P) t ì (M;(P)) = (N;(P))

N

MN  (P) = I thì

•

n tỉ ố

IM
IN



ốt v n
à ta ả tì a
N t ên
t ẳng (P) ột á

N
ễ àng. ì

ý:
Nn

ựng

oảng á

ng
ìn

ta ần

•

d ( M ; ( P)) IM

;
d ( N ; ( P)) IN

ẳng v ông g



n
o
ng ao a ìn
a ột tứ n v ông.
a ba
A B
ông t ẳng àng
à tứ

n v ông t M t ì (M;(P)) =

1
1
1
1



2
2
2
h
MA
MB
MC 2

20

o


t ố

n

a 6
.
3

à tứ
n v ông t
a MN v (P)

N ( o tứ
n
a (M;(P)).

III.1 7 K
ữ
Ta có a//(P) t ì (a;(P)) = (M;(P)) v
ữ

III.1.8.K

).

n

(N;(P)). Dựa vào vị


g

o n t ẳng AB g

à

b t ì t ên (P)
b t ì t ên (Q).
é
ôn tồn t
t t A và B.

ng v ông g

ng

à o n v ông g

ng

n t

ột

ng t ẳng

a a và b.
a a b.
a


á S

ng ao

1
V  S .h
3

21

à:


•

t

ố

ng t ụ

nt

á S

ng ao

à:

V  S.h

t
t ẳng

ắ
a

ẳng to

:

t ả á

ộ

ịn ng a t n

t ên

an

à

ột ố

nt ứ

bản ần n ắ

g áo v ên ê



 x  xB  xC y A  yB  yC z A  z B  zC 
G A
;
;

3
3
3



5. o

ộ t ng t

G1

a tứ

n AB D à

 x  xB  xC  xD y A  yB  yC  yD z A  z B  zC  z D 
G1  A
;
;

4
4
4


á v t

ụ oàn
ụ t ng

●

●

Oz ta g

ộ v ông g

ng b  0  a  k b (k 

)( o
22

a, b  0 )

ầ

av t
ng
ng
n


a.b

G

n

1 uuur uuur uuur
 AB, AC  . AD

6

VABCD 

11.

gá

1 uuur uuur
 AB, AC 

2

S ABC 

10.

ta

ộ

uuur uuur uuur
  AB, AD  . AA '

d2 là 

tn :

x1 x2  y1 y 2  z1 z 2

cos  =

x12  y12  z12 . x22  y 22  z 22

g ữa a

t

G ả ử (P1)

v t

á t

n n1 ( x1; y1; z1 )  0

(P2)

v t

á t

n n2 ( x2 ; y2 ; z2 )  0


15. K oảng á

uur

r

tn :

x12  y12  z12 . x22  y 22  z 22

g ữa

sin  =

r

x1 x2  y1 y 2  z1 z 2

Gả ử( )
G

ur

ẳng (P1), (P2) là 

t

cos  =

ẳng

2

2
2

n

ột

2
2

(0 0    90 0 )

t

ẳng

Trong không gian, cho (P): Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 +C2  0) và
M (x0; y0; z0) t ì ta
oảng á từ M n (P) à:

23


Ax0  By 0  Cz 0  D

d(M, (P)) =
16. K oảng á
ong


M M , u

a M0
n

v t
ỉ
ng t ẳng

ng u
à

0

u

17. K oảng á g ữa 2
ong ông g an o 2
a M1

d1

v t
a

ng t ẳng éo n a .
ng t ẳng éo n a

oảng á




Ả PHÁP 4: HỆ THỐ

IV.

Bài 1:

o ìn

S.AB D

ẳng (AB D) AB = a; S
t

BÀ TẬP VẬ

1.

n t

ố

2.
3.

n
oảng á từ
n g g ữa a


O
C

B

24

v

45o ;30o

t


1.

n t

t

ố

S.AB D.
Y
gì?

H1. Hình
H2.
H3.


a S t ên
t àB D

·,( SAB)  B
·SC  45o
 ( SC
·,( SAD)  CSD
·
( SC
 30o

5.

H5. Tính SA; AD

Dựa vào v
2.

n

tì

oảng á

bà toán n

từ

ong ta g á S D t n

ễ

từ
t

n

1. Dựng

nào?

ìn

a

t ên

t

2. Không
từ
n?

3. d ( A,(SBD)) ASBD à tứ

n v ông

t A

)

5.

H5. Tính d ( A, ( SBD))  h

25

1
1
1
1



2
2
2
h
AS
AB
AD 2

a