SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH THUẬN
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề này có 01 trang)

KÌ THI THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
LỚP 12 THPT DỰ THI QUỐC GIA
NĂM HỌC 2018 – 2019
Ngày thi: 19/10/2018
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (5 điểm)
Giải phương trình nghiệm nguyên: x 3  y 3  x 2 y  xy 2  4  x 2  xy  y 2   1.
Bài 2. (5 điểm)
 
Cho x, y   0;  . Chứng minh rằng:
 2

1
1
1
9
 2


.
2
2
2
2

Bài 1. (5 điểm)
Giải phương trình nghiệm nguyên: x 3  y 3  x 2 y  xy 2  4  x 2  xy  y 2   1.
Nhận xét: x  y

0,5

 2  x 2  y 2   4 xy  1

0,5

x 3  y 3  x 2 y  xy 2  4  x 2  xy  y 2   1   x 2  y 2   x  y  4   4 xy  1

0,5

 2 4 xy  1  2  x 2  y 2   x  y  4   4 xy  1 x  y  4

1,5

 2  x  y  4  x  y  3;4;5
x  y  3 không thỏa
x  y  4 không thỏa
x  y  5 tìm được x  1; y  4 hoặc x  4; y  1
Bài 2. (5 điểm)

0,5
0,5
0,5
0,5

 

1
1
1
Thật vậy, 21  21  21 


a  1 b  1 c  1  a  b  a  c   b  c  b  a   c  a  c  b 

0,5

Ta cần chứng minh



2

1,0

2 a  b  c
 a  b  a  c  b  c 

Mà  a  b  a  c  b  c    a  b  c  ab  ac  bc   abc
1,0
1
8
  a  b  c  ab  ac  bc    a  b  c  ab  ac  bc    a  b  c  ab  ac  bc 
9
9
Nên


Cho tam giác ABC có AB  AC và nội tiếp đường tròn  O  . Phân giác trong góc

 cắt  O  tại điểm D khác A , lấy E đối xứng B qua AD , đường thẳng BE
BAC
cắt  O  tại F khác B . Lấy điểm G di chuyển trên cạnh AC ( G khác A, C ),
đường thẳng BG cắt  O  tại H khác B. Đường thẳng qua C song song AH cắt
FD tại I . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCG cắt EI tại hai điểm phân biệt

K , L . Chứng minh rằng đường trung trực đoạn thẳng KL luôn đi qua một điểm

cố định.
Gọi giao điểm của đường thẳng EI và BC là J .
DF là trục đối xứng của EC
  ECI
  HAC
  HBC
 nên tứ giác BGEJ nội tiếp
CEJ
Phép nghịch đảo NCk CE .CG CJ .CB biến đường tròn ( BCG ) thành đường thẳng EJ
nên biến K , L thành chính nó.
Do đó CK 2  CL2  k hay đường trung trực đoạn thẳng KL luôn đi qua điểm C
cố định.
Bài 4. (5 điểm)

0,5
1,0
1,5
1,0
1,0