SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH THUẬN

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề này có 01 trang)

KÌ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2018 – 2019
Ngày thi: 18/10/2018
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (6,0 điểm).
a) Cho x và y là các số thực thỏa mãn 2 x  y  0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P 

x 2  xy  y 2
.
x 2  xy  y 2

b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
y  x3  3 x 2  3mx  m có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành.
Bài 2 (5,0 điểm).
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số  un  biết u1  2 và un1  2un  5, n *.
b) Cho dãy số  vn  thỏa mãn v1 

2vn
1
, n *. Chứng minh
, vn1 
2

t2  t 1
x 1
, với t   .
2
t  t 1
y 2
2
1
t  t 1
Xét hàm số f (t )  2
với t  .
2
t  t 1

f
(
 t)  0
2t 2  2

Tính được f (t)  2
,  1
 t  1.
2
(t  t  1) t 
 2
Bảng biến thiên
1
Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng , không có giá trị lớn nhất.
3
Ta có P 


n   , ta có un 1  2un  5  un 1  5  2  un  5 
*

0,25
0,5
0,25

0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
5,0
0,5

Đặt wn  u n  5, n   * .
Khi đó wn 1  2 wn , n  * .
Do đó  wn  là cấp số nhân có w1  u1  5  7, công bội q  2.

0,5
0,5

Suy ra wn  w1.q n 1  7.2 n 1 , n  * .

0,5

Vậy un  7.2 n 1  5, n  * .


1  2018vn2

1,0


3

2 xy  x  y  1  x 2  y 2
 2
2
2
2
 x y y  1  x  1  x y  x
Điều kiện xy  0

(1)

4,0

.

(2)
0,25

Ta có x  1  x  0, x   nên y  0 không thỏa mãn (2). Do đó
y  0. Suy ra x  0 không thỏa mãn (1).
Nếu x, y cùng âm thì (1) vô lí. Do đó x, y cùng dương.
1
Suy ra (2)  2 x 2  1  x  y y 2  1  1
x

x
Thay xy  1 vào phương trình (1) ta được

0,5

2

2

2  x  y  1  x 2  y 2   x  1   y  1  0  x  y  1

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  x; y   1;1
4
a

0,25



Xét hàm số f (t )  t t 2  1  t trên khoảng  0;   .
Ta có f (t )  t 2  1 

0,5

Gọi I là giao điểm của AD và BC.
Ta có IB 2  IA.ID  IC 2 .
Suy ra IB  IC.
Do đó I là trung điểm của BC. Hay đường thẳng AD đi qua trung
điểm I của BC.


1,5