SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 NĂM HỌC 2018-2019
Ngày thi: 18/10/2018
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

QUẢNG NGÃI
ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1 (5,0 điểm).
a) Giải phương trình

2 3 sin 2 x  3 cos x  2sin x
 cos x .
(1  2cos x) tan x





 2 x 2 y  7  3 x  2  x  3 xy  5

b) Giải hệ phương trình 
.
2
2
2
 x (4  y )  1  1  4 x  xy



b) Có hai chiếc hộp chứa bi, mỗi viên bi chỉ mang màu xanh hoặc màu đỏ. Lấy ngẫu
nhiên từ mỗi hộp đúng 1 viên bi. Biết tổng số bi trong hai hộp là 20 và xác suất để lấy
được 2 viên bi màu xanh là

55
. Tính xác suất để lấy được 2 viên bi màu đỏ.
84

Câu 4 (4,0 điểm).
Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , tam giác SAB đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết AB  7 a, BC  7 3a , E là điểm trên
cạnh SC và EC  2 ES .
a) Tính thể tích khối chóp E .ABC .
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BE .
Câu 5 (3,0 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD và điểm E thuộc cạnh
BC . Đường thẳng qua A và vuông góc với AE cắt CD tại F . Gọi M là trung điểm
EF , đường thẳng AM cắt CD tại K . Tìm tọa độ điểm D biết A  6; 6  ,
M  4; 2  , K  3; 0  và E có tung độ dương.

Câu 6 (2,0 điểm).
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa c  a, c  b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
 2a  c  2  2b  c 2
64
8(a 2  1) 
P  ( a  b)  2 2    2 2  

.


+)Điều kiện cos x  0 .
tan x  0



0,5

 3 sin x  cos x  0 (1)

Với điều kiện trên Pt  

 2sin x  3  0

0,5

(2)


6


 x  3  k 2
+) (2)  
,k  .
 x  2  k 2

3

0,5


(1)

.

(2)

0,5

1 1

x2 x
2
3

(2')


Xét hàm số f (t )  4  t 2  t,  t   ;    ta có f '(t ) 

0,5
t



4  t2
2
1
Suy ra f (t ) đồng biến trên  ;   . Do đó (2')  y  .
x

7


 0, x  , x 
2
3
2
2 3 x  2 2 x  3 (2 x  7)
2 7
7
Suy ra g(x) đồng biến trên  ;  và  ;  
3 2 
2

Mà g (1)  g (6)  0 nên (3) có 2 nghiệm là 1 và 6.
1
Vậy nghiệm (x;y) của hệ là (1;1), (6; ) .
6
2x 1
Cho hàm số y 
có đồ thị (C). Chứng minh rằng với mọi m đường
x 1
thẳng y  2 x  m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B . Gọi
k1 , k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để

Ta có: (3)  g '( x) 

Câu 2
(3,0đ)



Vậy đường thẳng y  2 x  m và (C) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt
với mọi m.
+) A  x1; 2 x1  m  , B  x2 ; 2 x2  m  . Trong đó x1 , x2 là nghiệm phương trình (1).
k1 

1

 x1  1

+) k1.k 2 
P   k1 

, k2 
2
1
2

0,5

1

 x2  1

.

1

 x1  1  x2  1


0,5
0,5

 2 42019  22020 .

1

 x1  1

2



1

 x2  1

2

 x1  x2 (loai )

m0 .
 x1  x2  2

0,5

a)Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cnn41  Cnn3  7  n  3 . Tìm hệ số của số 2,0đ
n

3

0,5





k

k 0


b)Có 2 hộp đựng bi, mỗi viên bi chỉ mang màu xanh hoặc màu đỏ. Lấy
ngẫu nhiên từ mỗi hộp đúng 1 viên bi. Biết tổng số bi trong 2 hộp là 20
và xác suất để lấy được 2 viên bi xanh là

0,5

55
. Tính xác suất để lấy
84

được 2 viên bi đỏ
+) Giả sử hộp thứ nhất có x viên bi , trong đó có a bi xanh, hộp thứ hai có
y viên bi
trong đó có b bi xanh (điều kiện: x, y, a, b nguyên dương, x  y, x  a, y  b ).

0,25

 x  y  20 (1)



.
x
y
28

a) (2,0đ). Tính thể tích khối chóp E.ABC .
S

E

I

0,5
A

K

C

H
D

B

Gọi H là trung điểm AB, vì ABC đều và ( SAB)  ( ABC ) suy ra SH  ( ABC )
Ta có : AC  BC 2  AB 2  7 2a .
1
3


b) (2,0đ) +) Tính khoảng cách giữa AC và BE.


Lấy điểm D sao cho ACBD là hình bình hành
Vì BD / / AC nên d ( AC , BE )  d ( AC ,( BDE ))  d( A, ( BDE ))  2d( H , ( BDE )) .
+) Gọi I  SH  DE , ( BDE )  ( SAB) theo giao tuyến BI.
Kẻ HK  BI , ( K  BI )  HK  ( BDE )  d( H , ( BDE ))  HK .
 HI 

0,5
0,5

1
7 3
SH 
a.
2
4

0,5

Trong tam giác BHI vuông tại H có HK  BI , suy ra
0,5

1
1
1
21

 2  HK 


+) Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AFE:  x  4    y  2   20
2
2
 x  4    y  2   20
+) Tọa độ điểm E, F thỏa hệ 
 x  2 y  8  0

0,5

Giải hệ ta được tọa độ E  0; 4  , F  8;0  , ( y E  0 ).

0,5

Với E  0; 4  , F  8;0 
Đường thẳng CD qua F  8;0  và K  3; 0  nên có phương trình y  0 .

0,5

Đường thẳng AD qua A  6;6  và vuông góc với FK nên có phương trình
x6  0.

D  CD  AD  D  6, 0  .

0,5


Câu 6
(2,0đ)


a
2

c 2
c 2


4(
a
)
4(
b
)



64
1
2 
2 
2 
+) Suy ra: P  (a  b) 
 8(a  )

c
c
c
c
a
 (b  ) 4

  x y 
 x y
Hay P  4    2      3     16   16 .

y x
  y x 
 y x
x y
+)Đặt t   , (t  2) . Xét hàm số f (t )  4(t  2)(t 3  3t  16) ,
y x
5
Ta có: f '(t )  4(4t 3  6t 2  6t  10) , f '(t )  0  t  .
2
63
Lập bảng biến thiên, suy ra f (t )   .
4
a  1
a  1

1
1
1


Suy ra P   và P    b  2 hoặc b 
4
4
2
c  0
