PHÒNG GIÁO DỤC EAKAR
----------------------------
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2007-2008
Môn : TOÁN – LỚP 9
Thời gian làm bài 150 phút
Đề bài :
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức
6
6
6
3
3
3
1 1
2
1 1
x x
x x
P
x x
x x
   
+ − + −
 ÷  ÷
   
=
 
+ + +
 ÷
 

tiếp điểm với đường tròn (O) ở T, với đường tròn (O’) ở T’. Đường thẳng nối tâm OO’
cắt đường thẳng TT’ ở S. Tiếp tuyến chung trong tại A cuả hai đường tròn cắt TT’ ở M
a) Tính độ dài AM theo các bán kính cuả hai đường tròn (O) và (O’)
b) Chứng minh rằng : SO . SO’ = SM
2
, ST . ST’ = SA
2
c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác TAT’ tiếp xúc với OO’ tại A và
đường tròn ngoại tiếp tam giác OMO’ tiếp xúc với SM tại M
Bài 5 : (4 điểm)
Cho tam giác ABC. P là điểm nằm trên đường thẳng BC, trên tia đối cuả tia AP lấy
điểm D sao cho
2
BC
AD =
. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm cuả DB và DC.
Chứng minh rằng đường tròn đường kính EF luôn đi qua một điểm cố định khi P
di động trên BC
Bài 6 : (2 điểm)
Giải hệ phương trình
2 2
3 3
1
3
x y xy
x y x y

+ + =



x x x x
 
   
   
+ − +
 
 ÷  ÷
+ − + −
 ÷  ÷
   
 
     
= =
     
+ + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
(1,5 điểm)

3
3
3
1 1 1
3x x x
x x x
     
= + − + = +
 ÷  ÷  ÷
     
(1,5 điểm)

3
10 6 3 6 3 10
8 2
1
+ −
= =
(1 điểm)
Suy ra x
3
– 4x + 1 = 1
Suy ra P =
( )
2008
2007
1 1=
(1 điểm)
Bài 3 : (3 điểm)
Áp dụng hằng đẳng thức (a – b)
3
= a
3
– b
3
– 3ab(a - b)
3 3
125 125
3 9 3 9
27 27
P = + + − − + +
Suy ra P

⇔ P = 1 (vì P
2
+ P + 6 > 0). Vậy P là một số nguyên. (0,5 điểm)
Bài 4 : (4 điểm)
+ Hình vẽ, GT; KL :
(0,5 điểm)
M '
S
M
T'
A
T
O
O'
a) MO, MO’ lần lượt là tia phân giác cuả hai góc kề bù AMT và AMT’ nên góc OMO’
= 90
0
. (0,5 điểm)
Tam giác OMO’ vuông ở M có MA ⊥ OO’ nên MA
2
= OA.OA’, suy ra

. ' . 'MA OAOA R R= =
(0,5 điểm)
b) + Ta có góc MOA = góc AMO’ ( vì cùng phụ với góc AMO)
góc AMO’ = góc O’MT’ ⇒ góc MOA = góc O’MT’
⇒ ∆ SO’M ∼ ∆SMO (g – g)
⇒
'SO SM
SM SO

1
2
AD =
1
4
BC (giả thiết) (1) (0,5 điểm)
I
O
F
E
D
MB C
A
P
+ EF là đường trung bình cuả ∆ABC nên EF =
1
2
BC (2) (0,5 điểm)
Từ (1) và (2) suy ra OI =
1
2
EF. Suy ra I thuộc đường tròn (O;
1
4
BC) (1 điểm)
Vậy đường tròn đường kính EF (O;
1
4
BC) luôn đi qua điểm cố định I khi P thay đổi
trên đường thẳng BC (0,5 điểm)

3
= x
3
+ xy
2
+ x
2
y + 3x
2
y + 3y
3
+ 3xy
2
⇔ 2y
3
+ 4xy
2
+ 4x
2
y = 0 ⇔ 2y(y
2
+ 2xy + 2x
2
) = 0
⇔
2 2
0
2 2 0
y
y xy x

• Với
2 2
2 2 0y xy x+ + =
⇔ (x + y)
2
+ x
2
= 0 . Vì
( )
2
2
0
0
x y
x

+ ≥


≥


.
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = 0 (không thoả mãn) vì
2 2
1x y xy+ + =
(0,5 điểm)
Vậy hệ đã cho có nghiệm là
1
0