UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2004 - 2005
Môn : Toán (Vòng 1)
Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (8 điểm)
Cho parabol
2
1
( ) :
3
P y x=
.
1. Viết phơng trình các tiếp tuyến của (P), biết các tiếp tuyến này đi qua điểm
(2;1)A
.
2. Gọi d là đờng thẳng đi qua điểm
(2;1)A
và có hệ số góc m. Với giá trị nào
của m thì đờng thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N, khi đó tìm quĩ
tích trung điểm I của đoạn thẳng MN khi m thay đổi.
3. Tìm quĩ tích các điểm M
0
từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến của parabol (P)
và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.
Bài 2: (4điểm)
Giải hệ phơng trình:
2 2
19
7
x y xy
x y xy

suy ra b = 1 - 2a, do đó d
1
: y = ax - 2a+1.
0,50
Phơng trình cho hoành độ giao điểm của d
1
và (P) là:
2 2
1
2 1 3 6 3 0
3
x ax a x ax a= + + =
0.50
Để d
1
là tiếp tuyến của (P) thì cần và đủ là:

' =
2
2
9 24 12 0
2
3
a
a a
a
=


= + =

= + > + >
ữ

2
4 4 4 2
0
3 9 3 3
m m

> >
ữ

4
3
4 2
2
3 3
(*)
3
4
2
3
4 2
3 3
m
m
m
m
m
m



>




1,5
Với điều kiện (*), d cắt (P) tại 2 điểm M và N có hoành độ là x
1
và x
2
là 2
nghiệm của phơng trình (2), nên toạ độ trung điểm I của MN là:
1 2
2
2 2 2 2
; 2 1; 3
3
3 3 3 3
2 2
2 4
1 2
1
3 3
x x x
m x x
x x
m
x

1; 3x x< >
.
0,50
1.3
(2,0 điểm)
Gọi
0 0 0
( ; )M x y
là điểm từ đó có thể vẽ 2 tiếp tuyến vuông góc đến (P). Phơng
trình đờng thẳng d' qua M
0
và có hệ số góc k là:
y kx b= +
, đờng thẳng này đi
qua M
0
nên
0 0 0 0
y kx b b y kx= + =
, suy ra pt của d':
0 0
y kx kx y= +
.
0,50
Phơng trình cho hoành độ giao điểm của d và (P) là:
2 2
0 0 0 0
1
3 3 3 0
3

y =
0,50
2.
(4,0 điểm)
( )
2
2 2 2
19 3 19
3 19
7 7
7
S x y
x y xy S P
x y xy
P xy
x y xy S P
x y xy

= +

+ = =

+ =



ữ
=
+ + = + =
+ + =

nghiệm của hệ phơng trình đã cho là:

3 2 1 6 1 6
; ; ;
2 3
1 6 1 6
x x x x
y y
y y

= = = = +
= =
= + =
2,0
3. 8,0
3.1
Gọi K là giao điểm của Ax và GF, I là giao điểm của By
và ED. Ta có:
ã
ã
0
90BEI BCA= =
ã
ã

ã
ã
0
45EBI IBD KBD IBD
EBI KBD
+ = + =
=
Do đó:
ã
ã
0
90
BEI BDK
BDK BEI

= =
:
+ Vậy: Quĩ tích của D là nửa đờng tròn đờng kính BK.
+ Tơng tự, quĩ tích của F là nửa đờng tròn đờng kính AI. 3,0
UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2004 - 2005
Môn : Toán (Vòng 2)
Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (7 điểm)
1. Giải phơng trình:
4 4
1 2 9 6 2x x x x+ + + =
2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số không âm và b là số trung bình cộng
của a và c thì ta có:
1 1 2

+
, khi đó cho biết vị trí của điểm E ?
2. Gọi GH là dây cung cố định của đờng tròn tâm O bán kính R đã cho và GH
không phải là đờng kính. K là điểm chuyển động trên cung lớn GH. Xác
định vị trí của K để chu vi của tam giác GHK lớn nhất.
Hết
UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2004 - 2005