UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi học sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2005 - 2006
Môn : Toán (Vòng 1)
Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (8 điểm)
Cho phơng trình
2 2
2 2 2 0 (1).x mx m + =
.
1. Tìm các giá trị của
m
để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân biệt.
2. Tìm các giá trị của
m
để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
1
x
và
2
x

thoả mãn hệ thức
3 3
1 2
5
2
x x+ =
.
3. Giả sử phơng trình (1) có hai nghiệm không âm. Tìm giá trị của
m
để

(2,0 điểm)
Để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân biệt, cần và đủ là:
2
2
' 4 0
2
0
2
0
m
m
P
S m

= >



= >


= >


0.5
2
2 2 2
0
m
m m

2 3
3( 2) 5
6 5 0
2 2
m
m m m m


= + =0,5
( )
( )
2
1 2,3
1 21
1 5 0 1;
2
m m m m m

+ = = =
m
0,5
Ta có:
2
1 21 3 21 1 21
2 0 2
2 2 2
x

2
' 4 0
2
0 2 2 (**)
2
0
m
m
P m
S m

=



=


= >


0,50
Khi đó 2 nghiệm của phơng trình là:
( )
2 2
1 2 1 2
4 4
; 0 2; 2
2 2
m m m m

+ +
= =
0,50
Theo bất đẳng thức Cô-si:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
4 2 4 2 4 4m m m m m m+
0,50
Suy ra:
2
2 2
2 2x x .
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
2 2
4 2 2; 2m m m

= =

.
0,5
Vậy nghiệm dơng của phơng trình đạt giá trị lớn nhất là
2 2khi m =
0,5
2.
(4,0 điểm)
( )
2
2 2
2
2 2


=




=

+ =


=


(3)
0,5
1,0
Gii phng trỡnh theo t, ta cú:
1
1 13
0
2
t

= <
(loại);
2
1 13
0
2




=

= + =



= +


Vậy: phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:
1,2
9 13
2
2
x

=
1,0
0,5
3. 8,0
3.1
+ Đặt
(0 )AM x x c=
.
Ta có:

MN AM ax

a b a b
ab ab a b
+ +

> >
ữ

áp dụng, ta có:
2
2
( )
2 4
x c x c
x c x
+

=
ữ

.
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
2
c
x c x x= =
.
Suy ra:
2
3 3
2 4 8
a c ac

+ Cách dựng và chứng minh: Trên cạnh AB lấy điểm E' tuỳ ý, dựng hình
vuông E'F'G'H' (G', H' thuộc cạnh BC). Dựng tia BF' cắt AC tại F. Dựng hình
chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh tơng tự trên, ta có EF =
FG, suy ra EFGH là hình vuông. 1,0
+ Ta có:
0
' 1
cot 60
' '
3
BH
g
E H
= =
;
ã
' ' ' ' ' 1
cot ' 1 1
' ' ' ' ' '
3
BG BH H G BH
g F BC
F G F G E H
+
= = = + = +
.
Suy ra: Tia BF' cố định khi E' di động trên AB, cắt AC tại một điểm F duy
nhất.
Trờng hợp hình vuông E'F'G'H' có đỉnh F' ở trên cạnh AC; G' và H' ở trên cạnh
BC, lý luận tơng tự ta cũng có tia CE' cố định, cắt AB tại E.

2 2
2
2
3
2 3
a c
S EF
a c
= =
+
1,0
UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi học sinh giỏi tỉnh