Phần 1: Biến đổi lợng giác
Bài 1. Tính A = sinx.cosx; B = sin
3
x + cos
3
x; C = tanx+cotx; D = tan
2
x+cot
2
x; E = tan
3
x+cot
3
x biết:
a) sinx+cosx = 1/3 b)sinx+cosx = -3/4 c) sinx cosx=4/5 với sinx+cosx<0 d) sinx-cosx = -1/2.
Bài 2. Cho cotx = 2, tính: A = (3sinx+5cosx)/(7sinx-8cosx); B = (8sinx-3cosx)/(sinx+4cosx)
C = (sin
3
x+5cosx)/(7sinx+cos
3
x); D = (6sin
3
x+cos
3
x)/(sinx-cosx); E = (6sinx-5cosx)/(3sin
3
x-23cos
3
x).
Bài 3. Cho 3sin
4

2
1 sin
x
tg x
x
+
= +

2/.
2 2 4
1 cot 1
.
2 2 2 2
1 cot cot
tg x g x tg x
tg x g x tg x g x
+ +
=
+ +
3/.
1 sin cos
cos 1 sin
a a
a a

=
+

cos 1
1/.

a a ga
a a a
+
=
+
2 2
5 /.(sin cos ) (sin cos ) 4sin .cosa a a a a a+ + =
6 / .1 2sin .cos sin .cos .(1 ).(1 cot )a a a a tga ga
+ = + +
2 2 2 2
7 / . sin .sintg a a tg a a
=

2
(sin cos ) 1
2
8/. 2
cot sin .cos
a a
tg a
ga a a
+
=

9/.
2 2
sin cos
1 sin cos
1 cot 1
=

6
x+cos
6
x=1-3sin
2
x.cos
2
x
D, sin
8
+cos
8
x=1-4sin
2
x.cos
2
x+2sin
4
x.cos
4
x 12/. a)sin
2
x-tg
2
x=tg
6
x(cos
2
x-cotg
2

=
+ +

II- Rút gọn biểu thứcA=cos
2
x+cos
2
x.tg
2
x
1 1
1 1
cos cos
B tgx tgx
x x

= + + +
ữ ữ


2
2cos 1
sin cos
x
C
x x

=
+
cos sin

cos cos .cot
sin sin .
x x g x
B
x x tg x
+
=
+
cos
sin cot
tga a
C
a ga
=
2 2 4
2 2 4
sin cos cos
cos sin sin
x x x
N
x x x
+
=
+
cos .cot sin .
1 1
sin cos
a ga a tga
A
a a

x (=1) C=2(cos
6
x+sin
6
x)-3(sin
4
x+cos
4
x) (=-1) D=3(sin
8
x-
cos
8
x)+4(cos
6
x-2sin
6
x)+6sin
4
x (=1)E=
4 2 4 2
sin 4 cos cos 4sinx x x x+ + +
(=3) A=2(sin
4
x+cos
4
x+sin
2
x.cos
2

4
x-1)(tg
2
x+cotg
2
x+2)
2 2
2
cot cos sin .cos
cot
sin
g x x x x
E
gx
x

= +

2 2 2 2
2 2
cos cot cos
sin cos
tg x x g x x
F
x x

= +
2
6
6 2

tgx


= + +
ữ

M=sin
8
x+cos
8
x+6sin
4
x.cos
4
x+4sin
2
x.cos
2
x(sin
4
x+cos
4
x)
B- Bài tập ứng dụng:
I- Chứng minh đẳng thức
Bài 1.
Chứng minh rằng:
2
1 sin
2

+
Bµi 4.
Cho
4 4
sin cos 1a a
m n m n
+ =
+
. Chøng minh r»ng:
10 10
sin cos 1
4 4 4
( )
a a
m n m n
+ =
+
Bµi 5.
Cho
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 . . . . . 1tg a tg b tg c tg a tg b tg b tg c tg a tg c+ + + =
CMR:
2 2 2
sin sin sin 1a b c+ + =
Bµi 6.
Cho:
3 2
.cos .cos .sin
3 2
.sin .cos .sin

+ =
+
2
cot 1
3/ . . 1
2
cot
1
tga g a
ga
tg a
−
=
−

1 cos 1 cos 4cot
4 /.
1 cos 1 cos sin
a a ga
a a a
+ −
− =
− +
2 2
5 / .(sin cos ) (sin cos ) 4sin .cosa a a a a a+ + − =
6 /.1 2sin .cos sin .cos .(1 ).(1 cot )a a a a tga ga+ = + +
2 2 2 2
7 / . sin .sintg a a tg a a− =

2

Bµi 10.
A, sin
4
x-cos
4
x=1-2cos
2
x B, sin
4
x+cos
4
x=1-2cos
2
x.sin
2
x
C, sin
6
x+cos
6
x=1-3sin
2
x.cos
2
x D, sin
8
+cos
8
x=1-4sin
2

A,
sin
1
3
cos (1 cos )
sin
−
=
+
tgx x
x x
x
B,
sin cos 1 cos
sin cos 1 1 sin
x x x
x x x
+ −
=
− + +
2
Bµi 13.
Cho
sin
1
sin .sin
2
cos .cos
3






=
=
=
=
a x
a x y
a x y z
a x y z
CMR:
2 2 2 2
1 2 3 4
1a a a a
+ + + =
II- Rót gän biÓu thøc
Bµi 14.
A=cos
2
x+cos
2
x.tg
2
x
1 1
1 1
cos cos
B tgx tgx

-(tgx-cotgx)
2
Bµi 15.
2 2
sin
2 2
cos cot
x tg x
A
x g x
−
=
−

2 2 2
2 2 2
cos cos .cot
sin sin .
x x g x
B
x x tg x
+
=
+
cos
sin cot
tga a
C
a ga
= −

( )
2
1 sin cot 1 cotC x gx gx= − + −
III- Chøng minh c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc x
Bµi 17.
A=cos
4
x-sin
4
x+2sin
2
x (=1) B=cos
4
x+sin
2
x.cos
2
x+sin
2
x (=1)
C=2(cos
6
x+sin
6
x)-3(sin
4
x+cos
4
x) (=-1) D=3(sin
8


.
Bài 19.
Cho x,y thoả mãn:
2 2 2 2
2 2 2 2
1
cos sin 1
.sin .cos
m tg x n tg y
m x n y
m x n y

+ =

+ =


=

. Tìm hệ thức giữa m, n không chứa x,y.
Đ/s:
4 4
2 2
2 2 2 2
2 2
1
1 1
m n
m n

6 6
sin cos 1
sin cos 1
x x
C
x x
+
=
+
D=(sin
4
x+cos
4
x-1)(tg
2
x+cotg
2
x+2)
2 2
2
cot cos sin .cos
cot
sin
g x x x x
E
gx
x

= +


x+(1+tgx)cos
3
x-sinx-cosx
( ) ( )
2
2
2 2
1
1 1 cos
tg x
K tg x x
tgx


= + +
ữ

M=sin
8
x+cos
8
x+6sin
4
x.cos
4
x+4sin
2
x.cos
2
x(sin

6
x+cos
6
x+a(sin
4
x+cos
4
x)+4(a+1)sin
2
x.cos
2
x
Tìm a đề S không phụ thuộc x.
IV- Tính giá trị của các biểu thức l ợng giác
Bài 24.
Cho sinx+cosx=4/5
Tính giá trị các biểu thức sau:
A=sinx.cosx (9/50) B=sinx-cosx C=sin
3
x-cos
3
x
Bài 25.
Cho tgx-cotgx=3
Tính các giá trị của biểu thức sau: A=tg
2
x+cotg
2
x B=tgx+cotgx C=tg
4

8
x H= sin
7
x-cos
7
x
Bài 28.
Cho sinx-cosx=m
Tính các giá trị của biểu thức sau: A=sinx+cosx B=sin
3
x-cos
3
x C= sin
4
x+cos
4
x
D= sin
5
x-cos
5
x E= sin
6
x-cos
6
x F= sin
7
x-cos
7
x G= sin

6
x
Bài 30.
Cho tgx-cotgx=m
Tính các giá trị của biểu thức sau: A=tg
2
x-cotg
2
x B= tg
3
x-cotg
3
x C= tg
4
x-cotg
4
x
D= tg
5
x-cotg
5
x E= tg
8
x+cotg
8
x
Bài 31.
Tìm Max, min của:
2 2
2 2

Cho sin
4
x+2cos
4
x=1. Tính: A=5sin
6
x-8cos
8
x
Bài 35.
Cho 17cos
4
x-5sin
4
x=7. Tính: A=9sin
8
x-2cos
6
x
Phần 2: góc liên quan đặc biệt
Bài 36.
Tính giá trị của các biểu thức:
0 0
0 0
cos750 sin 420
sin( 330 ) cos( 390 )
A
+
=


5