Phần thứ nhất: Đại số
I. Biến đổi đồng nhất

*Bài 2: Cho a là nghiệm của phơng trình: x
2
-
5x
+ 1 = 0
Tính giá trị biểu thức:
A= a
4
+
3 2
4 3 2
1 1 1 1
2 3 4a a a
a
a a a

+ + + +
ữ ữ ữ

*Bài 3: Cho các số a, b R thoả mãn
(a - 3) (b - a) + (a - b) (b - 3) + (a -3) (3 - b) + 3 = 0
Tính giá trị biểu thức:
2 2 2
( ) ( 3) ( 3)a b a b + +
*Bài 4: Cho x
2
+ y
2

2 2 2
1 1 1
a b c
+ +
là bình phơng của một số hữu tỷ
Ta có:
2 2 2
1 1 1
a b c
+ +
=
( )
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2
a b c
a b c ab bc ac a b c abc a b c
+ +

+ + + + = + + = + +
ữ ữ ữ ữ

Vậy M là bình phơng của một số hữu tỷ
*Ví dụ 2 : Cho abc = 1, biết biểu thức sau đợc xác định.
Tính giá trị của biểu thức: P =
1 1 1
1 1 1ab a bc b ca c
+ +
+ + + + + +
Giải:

y z z x z x x y x y y z
+ +

(Đặt : a =
x
y z
; b =
y
z x
; c =
z
x y
ta có : (a+1)(b+1)(c+1) = (a-1)(b-1)(c-1) nên M = ab+bc+ca = 1 )
Bài 5 Chứng minh rằng không thể có các số nguyên a,b,c,d nào thoả mãn đẳng thức :
abcd - a = 1961 abcd - b = 961
abcd - c = 61 abcd - d = 1
Giải :
Bài 5 :
Giả sử ta có các số nguyên a,b,c,d thoả mãn các đẳng thức đã cho . Phân tích vế trái của đẳng
thức đã cho thành nhân tử , ta có
a(bcd-1) = 1961 (1)
b(acd -1 ) = 961 (2)
c(abd - 1) = 61 (3)
d(abc - 1) = 1 (4)
Vế trái của (1) là số lẻ vế trài của (1) là tích hai số lẻ a là số lẻ
Tơng tự ta có : b,c,d là số lẻ nên a,b,c,d, là số lẻ .
Hiệu (abcd - a ) là một số chẵn . Mâu thuẫn (1)
Bài 6 Chứng minh rằng đa thức x
10
y

Trong đó a
10
b
10
= 1 nên a
10
= b
10
= 1 hoặc a
10
= b
10
= -1 .
Giả sử a
10
= b
10
= 1 thì x
10
y
10
+ 1 = f(x).g(y) = (a
0
x
10
+ a
1
x
9
+ + 1)( b

c
c
b
b
a
a
+
+
+
+
+

+
+
+
+
+
2
3
111
222
Bài 3: Chứng minh rằng:
4006
2001
)20022001(4003
1
...
)43(7
1
)32(5



+






+
c
a
ba
Bài 5: Cho abc = 1; a
3
> 36,
Chứng minh rằng:
3
2
a
+ b
2
+ c
2
> ab + bc + ca
Bài 6 : Chứng minh rằng .
Nếu x, y, z 0 thì x(x - y) (x - z) + y(y - z) (y - x) + z (z - x) (z - y) 0
Bài 7: Cho a, b, c [0;2] có a + b + c = 3. CMR: a
2
+ b

và
1
( )x x y+

1
5
( )
2 2
1 1
x
x y

ữ
+
ữ
+

Bài 10: Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng:
3
+++
+
+
+
+
+
cba
c
ba
b
ac

Bài 13: Tìm GTLN và GTNN của xy với x, y là nghiệm của phơng trình:
x
4
+ y
4
3 = xy (1 2xy)
Bài 14: Giải bất phơng trình:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4 3 0x x x x+ + + +
H ớng dẫn giải
Bài 1: Vì x
2

; y
2
=> x
2
+ y
2


4 =>
2
2
22

+
yx
=> 2.
2

Tơng tự cho b , c ta đợc
2 2 2
3
1 1 1 2
a b c
a b c
+ +
+ + +
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1
* Mặt khác :
3 1 1 1 9
( )
2 2
a b c
a b c
b c a c a b b c a c a b

+ + <=> + + + +
ữ
+ + + + + +

Đặt a+b= x ; b+c =y ; c+a = z ta có
( )
0)()()(
2
9111
222
++<=>



2 2
3 3 5 1
n
S
n n n

< + + + =
ữ ữ
+

)2(22
2
1
44
2
1
44
2
12
2
+
<=>
+
=
++
<
+
<
n
n


+






+
333
1
1
1
1
1
1
cba
Ta có A =
333333333333
1111111
1
cbacacbbacba
+






+++

a b c
abc abc
abc
+ +

= => =>
ữ

Vậy
512
729
8
1
1
3
=






+
A
(Dấu bằng xảy ra: a = b = c = 2)
Bài 5 : Ta có :
3
2 2
3
a

> 0
<=> a( b + c)
2
a
2
(b + c) +
3
3
a
- 3 > 0
Đặt b + c = x ta có: ax
2
a
2
x +
3
3
a
- 3 > 0 Với mọi x
Điều này tơng đơng:

= a
4
4a (
3
3
a
- 3) < 0
<=> a
4

2
) 4
(a
2
+ b
2
+ c
2
) < 5
Dấu "=" xảy ra khi a, b, c có một số bằng 2; một số bằng 0; một số bằng 1.
Bài 8 :Ta có: (a
3
- b
3
) (a
2
- b
2
) 0 (a
5
+ b
5
) a
2
b
2
(a + b)
Do đó :
2
5 5 2 2 2

x(x + y) x
2
(x + y)
2

5
(x
2
+ 2xy) 3x
2
+ 2xy + 2y
2
2y
2
- 2(
5
- 1)xy + (3 -
5
)x
2
0
4y
2
- 4 (
5
- 1)xy + (6 - 3
5
)x
2
0


b c c a a b ca ab ab bc bc ca
b c c a a b
a b c

+ + +
+ + + + + + +
ữ ữ ữ
ữ ữ ữ

6
2( ) 3 3
b c c a a b
a b c a b c abc a b c
a b c
+ + +
+ + + + + + + = + + +
(Bất đẳng thức cosi cho 3 số)
Dấu bằng xảy ra khi a = b= c =1