ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HÀ NỘI
NĂM HỌC 1999-2000
Bài 1: Tìm tất cả các số chẵn có ba chữ số mà khi chia mỗi số đó cho ta được thương là số có
3 chữ số
Bài 2: Tính giá trị biểu thúc:
Bài 3:
Tổng độ dài hai cạnh hình chữ nhật gấp lần hiệu độ dài hai cạnh đó. Tính chu vi hình chữ nhật ,
biết diện tích của nó là 600
Bài 4:
cho là các số tự nhiên khác và
hãy giải thích tại sao
Giải
Bài 1: gọi hai số đó là A và B( 99<A,B<1000)
ta có
A=B.9
vì A<1000 nên B.9 <1000
B<111,111...
vậy B sẽ là 100,101,102,...,111
do đó A sẽ nhận những giá trị là 900,909,...,999
Bài 2.
a)
b)
Ta không cần biết số đằng trước là gì vì số nào nhân với cũng bằng
bài 3 gọi chiều dài là a và chiều rộng là b
ta có
a+b=(a-b). 5
a+b=a.5-b.5
b.6 = a.4
b.1,5=a
mà diệntích là 600 m^2 nên
b.1,5.b=600

của
a) Tứ giác là hình gì ? Vì sao ?
b) Chứng minh: Các đường chéo của tứ giác giao nhau tại trung điểm I của (với
là tâm đường tròn đi qua )
c) Cho Tính bán kính của đường tròn
Giải
Bài 1
Xét đề bài , ta xét TH( x,y có vai trò như nhau đối với đề bài )
<=>
Nếu(x-y)(y+x)>1.
=> => ( vô lý)
Nếu
=> => vô lý
Từ các nhận xét trên ta có thể rút ra trường hợp
+
+ và ngược lại
-Nếu x=y thì x=y=0
-Nếu x=-y thì x=y=0
-Nếu x^2=y^2+1 => vô lý
=>....
Tính giá trị biểu thức :
(1)<=>
<=>
Tương tự
Từ (2) và(3) =>
=>
Bài 2:
Cộng(1) với(2) theo vế ta được
Lấy (2) trừ(1) theo vế ta dược
Ta có hệ

Đề thi học sinh giỏi THCS Bungary
KỲ THI MUA ĐÔNG NĂM 1995
LỚP 8 NHÓM I
(Trích cuốn "Tuyển tập các bài toán từ những cuộc thi tại Bungary" tác giả Nguyễn Sinh Nguyên)
Bài toán 1 :
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta có " 7 là ước số của nếu và chỉ nếu 7 là
ước số của ".
Bài toán 2 :
Cho ABCDE là một ngũ giác lồi và gọi M,P,N,Q lần lượt là trung điểm các đoạn AB,BC, CD , DE ,
nếu K và L lần lượt là các trung điểm của các đoạn MN và PQ và đoạn AE có độ dài a , tìm độ dài
đoạn KL .
Bài toán 3 :
Mỗi điểm trong mặt phẳng được tô bằng màu đen hoặc màu trắng . Chứng minh rằng tồn tại
một tam giác vuông với cạnh huyền độ dài băng 2 và một góc nhọn , mà các đỉnh của nó
được tô bởi cùng một màu .
Đề thi học sinh giỏi THCS Bungary
KỲ THI MUA ĐÔNG NĂM 1995
LỚP 8 NHÓM II
(Trích cuốn "Tuyển tập các bài toán từ những cuộc thi tại Bungary" tác giả Nguyễn Sinh Nguyên)
Bài toán 1 :
Cho và cắt BC và AC lần lượt trại D và E . Chứng minh rằng tứ giác DEMN nội tiếp
trong một đường tròn nếu và chỉ nếu tồn tại một đường tròn nội tiếp trong tứ giác CMGN .
Bài toán 3 :
Cho ba mươi điểm trong mặt phẳng . Một số trong các điểm ấy được nối bởi các đoạn thẳng như
hình 1 ( xem hình vẽ ) . Các điểm được đánh số bởi các số nguyên dương phân việt
Nếu a là một đoạn và p và q là các số , tương ứng với các đầu mút của chúng , ta ký hiệu