Bài 1:Giới hạn
-Một số định lý về giới hạn
0
lim ( )
x x
f x a

=
;
0
lim ( )
x x
g x b

=
:

0
lim( ( ) ( ))
x x
f x g x a b

=

0
lim ( ). ( ) .
x x
f x g x a b

=


1
lim(1 )
x
x
e
x

+ =

0
1
lim 1
x
x
e
x


=

0
ln(1 )
lim 1
x
x
x

+
=
-Ngoài ra ta còn chú ý đến giới hạn 0/0,để giải loại này ta có các phơng pháp nh sau:


=
2
3
( 1) 7
lim
3
x
x x
x

+
=
Ví dụ 2: I=
2
0
1 1
lim
x
x
x

+
Ví dụ 3: I=
3
2
2
1
5 7
lim

thêm vào một biểu thức chứ không phải là số hạng.
Ví dụ 4: I=
3
2
0
2 1 1
lim 1
sin
x
x x
x

+ +
=
Ví dụ 5: I=
3
0
2 1 8 13
lim
12
x
x x
x

+
=
Ví dụ 6: I=
0
lim
ax bx

h

+
(
0x

)
-Ngoài các giới hạn cơ bản trên ta còn có giới hạn phải và trái :
+
0
lim ( )
x x
f x
+

:Giới hạn phải
+
0
lim ( )
x x
f x


:Giới hạn trái
-Hàm số có giới hạn tại
0
x
thì hai giới hạn này bằng nhau.
Ví dụ 9:
Cho

b) Cho
2
sin
, 0
( )
0, 0
x
x
f x
x
x



=


=

Tìm I=
0
( 0) (0)
lim
x
f x f
x

+
.
Ví dụ 11: Cho

1-Đạo hàm tại một điểm:
-Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a;b)
0
( ; )x a b
.Đạo hàm của hàm số tại điểm
0
x
Nếu tồn tại là giớii hạn sau:

0
0
0
0
( ) ( )
'( ) lim
x x
f x f x
f x
x x


=


0 0
0
0
( ) ( )
'( ) lim
x

a.Tính f(0) b.Tính f(1004).
Ví dụ 2:
2
sin
, 0
( )
0, 0
x
x
f x
x
x



=


=

Tính f(0).
2-Đạo hàm một bên:
*)
0
0 0
0
0
0
0
0









Đợc gọi là đạo hàm phải tại
0
x
Tơng tự với đạo hàm tráI tại
0
x
*)Từ đó hàm số có đạo hàm tại
0
x
nếu nó có đạo hàm tráI và phảI tại đó.
Ví dụ 3:Cho hàm số
( )
1
x
f x
x
=
+
.Tính f(0).
3-Đạo hàm trên khoảng,đoạn,tính liên tục.
*) Ta nói y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc
khoảng đó.

=

+ +


Tìm a,b để hàm số có đạo hàm tại 0.
Giải:-Ta cần tìm a,b mà thoả mãn:
+Hàm số liên tục tại 0
+Đạo hàm trái và phải tại 0 là bằng nhau
Ví dụ 5: Cho hàm số

2
2
, 1
( )
, 1
x a x
f x
x bx x

+

=

+ <


Tìm a,b để hàm số có đạo hàm tại x=-1
4-ý nghĩa hình học của đạo hàm:
- Giả sử y=f(x) có đồ thị (C) .Điểm


=


=

b.
ln , 0
( )
0, 0
x x x
f x
x
>

=

=

.
Bài 2:Cho hàm số
.cos .sin ; 0
( )
1; 0
a x b x x
f x
ax b x
+

=

*)Các công thức:

' 0y c y= =

' 1y x y= =
.

'y ax y a= =

1
'y x y x



= =
(
; 0R x

>
)

2
1 1
'y y
x x
= =

1
'
2

0
x
0
y
0 0 0
( ; )M x y
M
O
-Rõ ràng tiếp tuyến tại M chính là vị trí
giới hạn của cát tuyến ,và hệ số góc của
tiếp tuyến tại là

4

2
1
tan '
cos
y x y
x
= =

2
1
cot '
sin
y x y
x
= =
*)Đạo hàm của tổng tích hiệu thơng:

3 5
7 8
x
y
x

=

e.
2
2
5 4 9
2 3 8
x x
y
x x

=
+
f.
sin cos
sin cos
x x
y
x x

=
+
g.
2

' 2
u
y u=
.
Do đó:
2
' 2 .2 4 .( 1)y x u x x= = +
Ví dụ 3: Cho hàm số y=tan(x
2
+2x+2).
Đặt u= x
2
+2x+2


' 2 2
x
u x= +
Hàm số trở thành y=tanu
2
1
'
cos
u
y
u
=
Do đó:
2 2 2
1 2 2

b.
2
( 5). 3y x x= +
c.
2
9
x
y
x
=

d.
2
sin 2y x=
e.
2 3
sin( 3 ) cos 2y x x x= +
f.
4
tany x=

Ví dụ 6: Tính các đạo hàm cấp 1:
a.
sin(cos ) cos(sin )y x x= +
b.
2
ln( 1 )y x x= + +
c.
2
1y x x x= + +