Nguyn V Minh Ti liu ụn Toỏn 11
Dóy s - CSC - CSN
Đ1. Phơng pháp quy nạp toán học
1) CMR:
*
n

Ơ
a) 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n
2
b)
1 4 7 10 ... (3 2) (3 1)
2
n
n n+ + + + + =
c) 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ ... + n
2
=
6
)12)(1(
++
nnn
d) 1
3
+ 2

1 ... 2
2
n
n
+ + + <
n

Ơ
d)
( 1)
2 2
2 ... sin
2
nx n x
sin sin
sinx sin x nx
x
sin
+
+ + + =
*
n

Ơ
3) CMR:
n

Ơ
a) (13
n

- n + 1 c) u
n
= 1 - 3
n

b) u
n
=
n







3
1
d) u
n
= 2n + sinn
2) Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) u
n
= 5
n
c)
nn
n
+

2
n
n
n
u =
.
4) Cho (u
n
)xác định bởi:
Biờn Hũa ng Nai -2009
1
Nguyn V Minh Ti liu ụn Toỏn 11




=
=
+
nn
uu
u
2
3
1
1
Tìm số hạng tổng quát.
5) Cho (u
n
)xác định bởi:

2 1
n
n n
u u
u u u
+
= =


+ =


*
, 2n n Ơ
.
Đ3 Cấp số cộng
1) Cho cấp số cộng:
3
, 3 ... Tính u
10.
2) Cho biết:



=
=
75.
8
72
37

cộng.
5) Cho cấp số cộng với các số hạng dơng: u
1
, u
2
, ... u
n
, ...
Chứng minh rằng:
1 2
1
u u
+
+
2 3
1
u u
+
+
...
1
1
n n
u u

+ =
+

1
1

+ 4, 7x + 5 là cấp số cộng.
3) a) Tìm u
n
và n biết: u
1
= 2, d= 5, s
n
= 245.
b) Tìm 4 số biết: 4 số đó lập thành 1 csc có tổng bằng 5 và tổng bình ph-
ơng bằng 245.
10) Cho 4 số nguyên lập thành một cấp số cộng có tổng bằng 20, tích bằng
384. Tìm 4 số đó.
11) Tìm cấp số cộng biết:
a)



=+
=+
17.
10
61
351
uu
uuu
b)



=+

=++
21.
168
654
321
uuu
uuu

12) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
1 1 1
, ,a b c
c a
b c a b
ữ ữ + +
+
+ +
.
13)
Cho . 0 . CMR:
n i
u u i
ữ
1 2 1 1 2 1 1 1
1 1 1 1 2 1 1
... ...
n n n n
n n
u u u u u u u u u u u u
16) Cho

ABC có:
ữ ữ
2 2 2
cot ,cot ,cot . CMR: , ,A g C a b c

17) Xen giữa các số 1 và 25 năm số, tạo với 2 số đã cho 1 cấp số cộng.
18) Tìm csc gồm 3 số hạng có tổng bằng 21, tổng các bình phơng của chúng
bằng 309
Biờn Hũa ng Nai -2009
3
Nguyn V Minh Ti liu ụn Toỏn 11
19) Cho hệ:


=





2 3
2
2
cos cos 1
cos
cos
1 70
x x

hạng cuối lập cấp số nhân. Tổng số hạng đầu và số hạng cuối bằng 37,
tổng 2 số hạng giữa bằng 36. Tìm 4 số ấy.
9) Cho 4 số lập csn. Theo thứ tự ta bớt đi 2, 1, 7, 27 thì đợc cấp số cộng.
Tìm cấp số nhân.
10) Tính tổng:
2
2 99
1
2
2
10 10 ... 10 9 99 ... 999..9 (n so 9).
7 77 777 ... 777...7 (n so 7) 1 2.2 3.2 ... 100.2
P 1. 2. ... .
n
n
A B
C P
x x nx
= + + + = + + +
= + + + + = + + + +
= + + +
11) Xác định cấp số nhân biết: a)
4 2
5 3
24
72
u u
u u
=