ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————————————

NGUYỄN QUỲNH HOA

BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG DẠNG BLUM OETTLI TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN QUỲNH HOA

BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG DẠNG BLUM OETTLI TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG

Ngành: Toán Giải tích
Mã số: 9460102

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn

THÁI NGUYÊN - 2019


i


Nguyễn Quỳnh Hoa


iii

Mục lục
Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

vi

Mở đầu

1

Chương 1. Kiến thức cơ bản

7

1.1 Không gian thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1 Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2 Không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.3 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff . . . . . . 12
1.2 Nón và ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14


Tài liệu tham khảo

106


v


vi

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

R

tập hợp các số thực

R+

tập các số thực không âm

2X

tập các tập con của tập hợp X

X∗

không gian đối ngẫu tôpô của không gian tôpô tuyến tính X

p, x


∃x

tồn tại x

∅

tập rỗng

{xα }

dãy suy rộng

coA

bao lồi của tập hợp A

coneA

bao nón lồi của tập hợp A

clA, A¯

bao đóng tôpô của tập hợp A

intA

phần trong tôpô của tập hợp A



hay không tồn tại nghiệm của phương trình. Bài toán này được phát biểu như sau:
Tìm x ∈ D sao cho
F (x) = 0,

(1)

trong đó, D là tập con khác rỗng của không gian X và F là ánh xạ đi từ D vào
không gian tuyến tính Y . Bài toán này còn được gọi là phương trình toán tử.
Câu hỏi thứ hai, trong toán học, ta có thể liên hệ với bài toán: Tìm x ∈ D sao
cho
f (x) ≤ f (x), với mọi x ∈ D,

(2)

trong đó, D là tập con của không gian X và f là hàm số từ tập D vào không gian
các số thực R. Bài toán này còn được gọi là bài toán tối ưu.
Bài toán (1) và (2) đóng vai trò quan trọng trong việc ứng dụng toán học vào
giải quyết những vấn đề đặt ra trong thực tiễn cuộc sống. Các nhà toán học đã xây
dựng lý thuyết để giải hai bài toán (1) và (2). Lý thuyết để giải bài toán (1) được
gọi là lý thuyết phương trình toán tử. Lý thuyết để giải bài toán (2) được gọi là lý
thuyết tối ưu. Hai bài toán trên đóng vai trò trọng tâm của hai lý thuyết này. Lý
thuyết phương trình toán tử và lý thuyết tối ưu có mối liên hệ qua lại, tương tác
lẫn nhau. Trong nhiều trường hợp, bài toán (1) có thể đưa về bài toán (2) và ngược
lại. Ví dụ: Khi X là không gian Hilbert, f là hàm lồi và có đạo hàm f , bài toán (2)


2

tương đương với bài toán: Tìm x ∈ D sao cho
x = PD (x − f (x)),

trong đó, D là tập con khác rỗng của không gian Banach X, X ∗ là không gian đối


3

ngẫu của X, T : D → X ∗ là ánh xạ đơn trị, φ : D → R là hàm số thực.
Năm 1994, Blum và Oettli [14] đã đưa ra bài toán điểm cân bằng (EP): Cho ánh
xạ f : D × D → R, f (x, x) = 0, với x ∈ D. Tìm x ∈ D sao cho
f (t, x) ≥ 0, với mọi t ∈ D.

(5)

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (5), các tác giả đã sử dụng định lý
về sự tương giao của ánh xạ KKM, một dạng tương đương của Định lý về điểm bất
động Browder.
Bài toán điểm cân bằng bao hàm các bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân,
bài toán điển yên ngựa, bài toán minimax, bài toán điểm bất động, ... như những
trường hợp đặc biệt. Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu thuật toán nhằm
tìm nghiệm cho những bài toán này đã được rất nhiều các nhà toán học trong nước
cũng như quốc tế mở rộng và phát triển mạnh mẽ.
Tiếp theo, các bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm cân bằng
được mở rộng khi các hàm số liên quan là những hàm véctơ và chúng lần lượt được
gọi là: Bài toán tối ưu véctơ, bất đẳng thức biến phân véctơ, bài toán điểm cân
bằng véctơ. Những năm cuối của Thế kỷ 20 và những năm đầu của Thế kỷ 21, các
tác giả N. X. Tan và N. B. Minh [49], Bailaij và D. T. Luc [11], N. X. Tan và P. N.
Tinh [61], P. H. Sach và L. A. Tuan [56], N. X. Hai và P. Q. Khanh [34], L. J. Lin
và N. X. Tan [43], T. T. T. Duong và N. X. Tan [24], B. T. Hung và N. X. Tan [37],
N. T. Q. Anh và N. X. Tan [8], ... đã phát biểu các bài toán trên và chứng minh sự
tồn tại nghiệm của chúng khi các ánh xạ liên quan là những ánh xạ đa trị.
Những bài toán (1), (2) và những bài toán mở rộng, liên quan đến hàm vectơ,

ii) y ∈ Q(x, y);

(8)

iii) 0 ∈ F (x, y).
Các ánh xạ P, Q được gọi là các ánh xạ ràng buộc, F được gọi là hàm mục tiêu.
Ta thấy, nếu đặt D = D × K, P = P × Q thì bài toán (8) trở về dạng bài toán
(7).
Bài toán tựa cân bằng tổng quát (8) bao hàm rất nhiều lớp bài toán tối ưu mà
ta đã biết như bài toán tựa bao hàm thức biến phân, bài toán tựa quan hệ biến
phân,... Điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán (8) đã được nhiều tác giả
nghiên cứu như L. J. Lin và S. Park [42], M. P. Chen, L. J. Lin và S. Park [19], S.
Park [54], J. W. Peng và D. L. Zhu [55], ... Đặc biệt, các tác giả D. T. Luc và N.
X. Tan [46], L. J. Lin và N. X. Tan [43], T. T. T. Duong và N. X. Tan [24], B. T.
Hung và N. X. Tan [37], N. T. Q. Anh và N. X. Tan [8] xét trong trường hợp P là
ánh xạ liên tục, Q là ánh xạ u.s.c và F là ánh xạ u.s.c hoặc l.s.c và tất cả các ánh
xạ P, Q, F đều cần có giá trị lồi, đóng, khác rỗng.


5

Mở rộng hướng nghiên cứu này, chúng tôi xét bài toán (8) với hàm mục tiêu là
dạng tổng của hai ánh xạ: F (x, y) = G(x, y) + H(x, y). Tức là, chúng tôi xét bài
toán: Tìm (x, y) ∈ D × K sao cho
1) x ∈ P (x, y);
2) y ∈ Q(x, y);
3) 0 ∈ G(x, y) + H(x, y),
với các điều kiện đặt trên hai hàm G và H khác nhau và ta gọi là "Bài toán tựa cân
bằng dạng Blum - Oettli tổng quát". Đã có rất nhiều tác giả nghiên cứu về những
bài toán dạng Blum - Oettli, tức là các bài toán đa trị có hàm mục tiêu là tổng

nửa liên tục trên yếu vô hướng. Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2 chứng minh sự tồn tại
nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát liên quan tới tích Đề các của ánh xạ
nửa liên tục dưới yếu vô hướng và nửa liên tục trên yếu vô hướng. Trong chương
này, chúng tôi cũng đưa ra một số kết quả mở rộng nối Định lý Ky Fan và định lý
Fan - Browder với nhau (Hệ quả 2.1.7, Hệ quả 2.1.8).
Chương 3 trình bày một số ứng dụng, xét sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân
bằng suy rộng loại I (Định lý 3.1.1, Hệ quả 3.1.1), bài toán tựa cân bằng suy rộng
loại II (Định lý 3.2.1, Hệ quả 3.2.2, Hệ quả 3.2.3) và bài toán tựa cân bằng suy rộng
hỗn hợp (Định lý 3.3.1, Định lý 3.3.2) dựa trên các kết quả có được từ Chương 2.
Nội dung cơ bản của luận án được viết dựa trên cơ sở là các bài báo trong Danh
mục công trình nghiên cứu.


7

Chương 1

Kiến thức cơ bản
Trong toán học cũng như trong cuộc sống tự nhiên và xã hội, muốn giải quyết
một vấn đề nào đó, người ta thường mô hình hóa dưới dạng một bài toán. Bài toán
đưa ra phải được đặt trong không gian nhất định, nghiệm của bài toán đó cũng phải
được xác định trong một không gian nào đó. Không gian phải có những cấu trúc
để đảm bảo cho bài toán có nghiệm và có thể đánh giá được sự tồn tại nghiệm và
ước lượng được nghiệm theo thuật toán. Do đó, trước khi nghiên cứu các bài toán
được nêu trong luận án, ta cần nhắc lại những kiến thức cơ bản về các không gian
thường dùng và các khái niệm liên quan đến các bài toán ta cần nghiên cứu.

1.1
1.1.1


1) x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y);
2) αi (H1 (y, x, x, t), C(y, x)), với mọi t ∈ S(x, y);
3) αi (H2 (y, x, t), C(y, x)), với mọi t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t).
trong đó
α1 = {(A, B) ∈ 2Y × 2Y |A

B};

α2 = {(A, B) ∈ 2Y × 2Y |A ⊆ B};
α3 = {(A, B) ∈ 2Y × 2Y |A ∩ B = ∅};
α1 = {(A, B) ∈ 2Y × 2Y |A ∩ B = ∅}.
Bài toán trên được gọi là bài toán bao hàm thức tựa biến phân véctơ suy rộng. Bài
toán này đã được các tác giả P. H. Sach và L. A. Tuan (xem [64], [65]) nghiên cứu.
Ta định nghĩa các ánh xạ M : K × D × D → 2Z , F1 : K × K × D × D → 2Z , N :
K × D → 2X , F : K × D × D → 2X :
M (y, x, t) = {z ∈ S(x, y)|αi (H1 (y, x, z, t), C(y, x))};
F (y, x, z, t) = z − M (y, x, t), (y, x, z, t) ∈ K × D × D × D;
N (y, x) = {t ∈ D|αi (H2 (y, x, t), C(y, x))};


95

F (y, x, t) = t − N (y, x), (y, x, t) ∈ K × D × D.
Ta thấy, (x, y) là nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân véctơ suy rộng khi
và chỉ khi 0 ∈ F1 (y, x, x, t), với mọi v ∈ T (x, y) và 0 ∈ F (y, x, t), với mọi t ∈ P (x),
y ∈ Q(x, t). Tức là, bài toán bao hàm thức tựa biến phân véctơ suy rộng tương
đương với bài toán (M GQEP ).
3.3.2

Định lý tồn tại nghiệm

Từ điều kiện v) và vi), dễ thấy với mỗi (x, y) ∈ D × K thì H(x, y) là tập lồi,
đóng, khác rỗng. Cho dãy (xα , yα ) hội tụ về (x, y) và dãy zα ⊂ H(xα , yα ), zα → z.
Ta cần chứng minh z ∈ H(x, y). Thật vậy, ta thấy 0 ∈ F1 (yα , xα , zα , tα ), với mọi
tα ∈ S(xα , yα ). Lấy bất kỳ t ∈ S(x, y).Vì S là l.s.c, nên tồn tại tα ∈ S(xα , yα ), tα → t.
Do đó, 0 ∈ F1 (yα , xα , zα , tα ). Vì (yα , xα , zα , tα ) → (y, x, z, t) và A là tập đóng nên
(y, x, z, t) ∈ A. Suy ra 0 ∈ F1 (y, x, z, t) với mọi t ∈ S(x, y), tức là H là ánh xạ đóng
và do đó H là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng trên tập D × K.
Ta định nghĩa ánh xạ G : D × K → 2D :
G(x, y) = {t ∈ P0 (x, y)|0 ∈
/ F2 (y, v, x, t), với v ∈ Q0 (y, x, t) nào đó}, (x, y) ∈ D×K.
Ta có G(x, y) = P (x, y) ∩ P0 (x, y), trong đó
P (x, y) = {t ∈ D|0 ∈
/ F2 (y, v, x, t), với v ∈ Q0 (y, x, t) nào đó}.
Cho t ∈ D tùy ý, tập P −1 (t) = A1 = {(x, y) ∈ D × K|0 ∈
/ F2 (y, v, x, t), với v ∈
Q0 (y, x, t) nào đó} là mở trong D × K. Do đó, ta có ánh xạ P có nghịch ảnh mở.
Mặt khác, vì P0 là cũng ánh xạ có nghịch ảnh mở nên G = P ∩ P0 là ánh xạ có
nghịch ảnh mở. Từ đó, suy là G là ánh xạ l.s.c. Ta đặt
C = {(x, y) ∈ D × K|x ∈ H(x, y), y ∈ T (x, y)}.


97

Dễ thấy, C là tập đóng, khác rỗng trên D × K. Giả sử, nếu tồn tại (x, y) ∈ C sao
cho G(x, y) ∩ P0 (x, y) = ∅, suy ra
1) x ∈ S(x, y);
2) y ∈ T (x, y);
3) 0 ∈ F1 (y, x, x, t), với mọi t ∈ S(x, y);
4) 0 ∈ F2 (y, w, x, t), với mọi t ∈ P0 (x, y) và w ∈ Q0 (x, t, y),
khi đó, định lý được chứng minh.

iii) ψ : K × K × D × D → R là hàm số thực thỏa mãn:
a) Với mỗi t ∈ D cố định, hàm ψ(., ., ., t) : K × K × D → R là u.s.c;


98

b) ψ(y, v, x, x) ≥ 0, với mọi y, v ∈ K, x ∈ D.
Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho (x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y) và
ψ(y, v, x, t) ≥ 0, với mọi (t, v) ∈ S(x, y) × T (x, y).
Chứng minh. Ta lấy P0 = P , ánh xạ Q0 : K × D × D → 2K xác định bởi
Q0 (y, x, t) = Q(x, y) và ánh xạ F2 : K ×K ×D×D → 2R xác định bởi F2 (y, v, x, t) =
ψ(y, v, x, t) − R+ . Ta thấy, với t ∈ D tùy ý, tập
A1 = {(x, y) ∈ D × K|0 ∈
/ F (y, v, x, t), với v ∈ Q0 (y, x, t) nào đó}
= {(x, y) ∈ D × K|ψ(y, v, x, t) < 0, với v ∈ Q0 (y, x, t) nào đó}
là tập mở trong D × K. Thật vậy,
(D × K)\A1 = {(x, y) ∈ D × K|ψ(y, v, x, t) ≥ 0, với mọi v ∈ Q(x, y)}
Cho dãy (xα , yα ) ⊂ (D × K)\A1 , (xα , yα ) → (x, y). Ta cần chứng minh (x, y) ∈ (D ×
K)\A1 . Lấy v ∈ Q(x, y) tùy ý. Vì Q là ánh xạ l.s.c, nên tồn tại vα ∈ Q(xα , yα ), vα →
v. Mặt khác, vì (xα , yα ) ∈ (D × K)\A1 nên ψ(yα , vα , xα , t) ≥ 0. Do đó, (x, y) ∈
(D × K)\A1 , tức là (D × K)\A1 là tập đóng. Suy ra A1 là tập mở. Khi đó, áp dụng
Định lý 3.3.1, ta có điều phải chứng minh.
Áp dụng Hệ quả 2.1.8, ta đưa ra điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán
tựa cân bằng suy rộng hỗn hợp tổng quát. Kết quả này là sự tổng quát hóa của
Định lý 3.1 trong [26].
Định lý 3.3.2. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) S : D × K → 2D là ánh xạ liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iii) T : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iv) Tập A = {(y, x, z, t) ∈ K × D × D × D|0 ∈ F1 (y, x, z, t)} là đóng;

100

1) x ∈ S(x, y);
2) y ∈ T (x, y);
3) 0 ∈ F1 (y, x, x, t), với mọi t ∈ S(x, y);
4) 0 ∈ F2 (y, v, x, t), với mọi t ∈ P0 (x, y), v ∈ Q0 (x, t, y)
và khi đó định lý được chứng minh. Do đó, ta cần chỉ ra sự tồn tại của điểm (x, y)
như vậy.
Thật vậy, ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng. Giả sử với mọi (x, y) ∈
H(x, y) × T (x, y), G(x, y) ∩ P0 (x, y) = ∅. Ta định nghĩa ánh xạ P : D × K → 2D×K :

P (x, y) =



(G(x, y) ∩ P0 (x, y)) × {y},

nếu x ∈ H(x, y);


P0 (x, y) × {y},

nếu x ∈ H(x, y).

Dễ thấy P thỏa mãn các điều kiện của Hệ quả 2.1.8. Áp dụng kết quả này, suy ra tồn
tại (x, y) ∈ D × K sao cho x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y) và x ∈ P (x, y). Nếu x ∈ H(x, y),
/ F2 (y, v, x, x) với v ∈ Q0 (x, x, y) nào đó. Suy
thì x ∈ G(x, y) ∩ P0 (x, y) và do đó 0 ∈
ra mâu thuẫn với điều kiện viii).
Nếu x ∈

4) φ2 (y, v, x, t) ≥ 0, với mọi t ∈ P0 (x, y) và v ∈ Q0 (x, t, y).
Chứng minh. Ta định nghĩa các ánh xạ F1 : K × D × D × D → 2R và F2 :
K × K × D × D → 2R :
F1 (y, x, z, t) = φ1 (y, x, z, t) + R+ ;
F2 (y, v, x, t) = φ2 (y, v, x, t) − R+ .
Ta thấy tập
A = {(y, x, z, t) ∈ K × D × D × D|0 ∈ F1 (y, x, z, t)}


102

= {(y, x, z, t) ∈ K × D × D × D|φ1 (y, x, z, t) ≤ 0}
là tập đóng và tập
B = {z ∈ P (x, y)|0 ∈ φ1 (y, x, z, t) ≤ 0, với mọi t ∈ Q(x, y)}
= {z ∈ P (x, y)|0 ∈ F1 (y, x, z, t), với mọi t ∈ Q(x, y)}
là tập khác rỗng, lồi.
Ta thấy, với (x, y) ∈ P0 (x, y) × Q(x, y), 0 ∈ F1 (y, x, x, t), với mọi t ∈ P (x, y) khi
và chỉ khi với (x, y) ∈ P0 (x, y) × Q(x, y) thì có ψ1 (y, x, x, t) ≤ 0, với mọi t ∈ P (x, y).
Hơn nữa, tập
C = {(x, y) ∈ D × K|0 ∈
/ F2 (y, v, x, t), với v ∈ Q0 (y, x, t) nào đó}
= {(x, y) ∈ D × K|φ2 (y, v, x, t) < 0, với v ∈ Q(x, y) nào đó}
là tập mở trong D × K và φ2 (y, v, x, x) ≥ 0, với mọi (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), v ∈
Q0 (x, x, y). Từ đó, suy ra 0 ∈ F2 (y, v, x, x), với mọi (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), v ∈
Q0 (x, x, y). Vậy, theo Định lý 3.3.2, ta có điều phải chứng minh.
Chú ý sau cho ta thấy rõ hơn sự mở rộng kết quả của Ky Fan trong [29] và kết
quả của Minty trong [50] của Hệ quả 3.3.3.
Chú ý 3.3.1. 1) Trong trường hợp φ1 là ánh xạ l.s.c và với mỗi điểm (y, x, t) ∈
K × D × D cố định, φ1 (y, x, ., t) : D → R là hàm tựa lồi thì điều kiện v) và vi)
được thỏa mãn.