Trường Đại học Nông Lâm TP. HCM

Đề thi giữa kỳ môn Toán cao cấp B1

Khoa Khoa học

Ngày 21 tháng 8 năm 2013
Thời gian: 75 phút (không kể thời gian giao đề)

Phần I. Trắc Nghiệm (6,0 điểm)
x
e

Câu 1. Tập xác định của hàm số y = arcsin ln
A. [1; e2 ]

B. [1; e2 ] \ {e}

Câu 2. Giá trị của a để hàm số f (x) =
A. 0

3π
4
−1

B.

Câu 3. Giới hạn lim √
x→0

ex

4π

bằng

B. −2

A. 2

là

C.

1
2

D. 1

1−3x

bằng

1
B. √
e3
x
x −1
Câu 5. Giới hạn lim
bằng
x→1 ln x − x + 1
A. 1

π
A. − sin x + n
B. cos x + n
2
2
Câu 6. Đạo hàm cấp 8 của hàm số y =

Câu 8. Tích phân

C.

−x2 − 16x − 52
ex−1

D.

−x2 + 16x − 52
ex−1

C. cos (x + nπ)

D. − sin (x + nπ)

C. −(x + 1)2 e1−x + C

D. (x + 1)2 e1−x + C

(x2 − 1)e1−x dx bằng

A. −(x − 1)2 e1−x + C

dx bằng
x(x − 1)2

Câu 10. Tích phân

A. 4 ln x − 3 ln (x − 1) −

9
+C
x−1

B. 4 ln x − 3 ln (x − 1) +

9
+C
x−1

C. 4 ln x + 3 ln (x − 1) −

9
+C
x−1

D. 4 ln x + 3 ln (x − 1) +

9
+C
x−1

1

n3
√
n2 + n7 + 2

. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh.

B. Hội tụ

C. Phân kỳ

D. Hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alambert
∞

nq hội tụ khi

Câu 13. Chuỗi
n=1

A. q > −1

B. q < −1
∞

(−1)n

Câu 14. Tổng
n=1


vn , giả sử 0 ≤ un ≤ vn . Khẳng định nào sau đây đúng?

un và (2)

Câu 15. Cho hai chuỗi số (1)

6
31

n=1

A. Nếu chuỗi (1) hội tụ thì chuỗi (2) hội tụ

B. Nếu chuỗi (2) phân kỳ thì chuỗi (1) phân kỳ

C. Hai chuỗi có cùng tính chất

D. Cả ba câu A, B, C đều sai

Phần II. Tự Luận (4,0 điểm)
∞

2

en nn
Câu 16 (2,5 điểm) Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi hàm
(−1)
.
n2 (x − 2)n
(n

1
ex − 1 − x 0 L
ex − 1
0
Mặt khác lim f (x) = lim
− x
= lim
=
lim
x
x
x
x→0
x→0
x→0 x(e − 1)
x→0 e − 1 + xe
x e −1
0
0
x
1
e
1
L
= .
= lim x
= lim
x→0 e + ex + xex
x→0 2 + x
2




=2.
2x − 4
1 − 3x
− 1 .(1 − 3x)
lim
x→∞
2x
−
5
2x − 5 = e−3/2 = 1 = √1 .
=e
=e
e3/2
e3
x
0 L
x (1 + ln x) 1
= lim
không tồn tại vì không xét được − hay +.
1
x→1
0
0
−1
x

1−3x

2
Câu 8. Sơ đồ tích phân từng phần x2 − 1

(6)

e1−x
+

$

−e1−x

2x
−

%

2

e1−x

=⇒ I = −(x2 − 1)e1−x − 2xe1−x − 2e1−x
= −(x2 + 2x + 1)e1−x

+

%

0


2 4
2
2
2

Câu 10. Ta chọn A, B, C sao cho
B
C
(x + 2)2
A
+
+
=
, ∀x = 0, 1
x(x − 1)2
x x − 1 (x − 1)2
=⇒
(x + 2)2 = A(x − 1)2 + Bx(x − 1) + Cx, ∀x
=⇒ x2 + 4x + 4 = (A + B)x2 + (−2A − B + C)x + A, ∀x

 A+B =1
−2A − B + C = 4 =⇒ A = 4, B = −3, C = 9
=⇒
A, B, C :

A=4
(x + 2)2
dx = 4
x(x − 1)2


tan x + 1
−1
+C =
+C =
+C
=1+
t+2
t+2
tan x + 2

Suy ra

1
dx − 3
x

1
dx + 9
x−1

trong đó vì C là hằng số nên có thể chọn C = 1 + C với C là một hằng số khác.
∞

Câu 12. Ký hiệu chuỗi
n=1

2

n3
√


2

n = 1 ∈ (0; +∞)

nên theo tiêu chuẩn so sánh chuỗi (1) và chuỗi (2) có cùng tính chất. Vì chuỗi (2) phân kỳ nên chuỗi
(1) cũng phân kỳ.
∞

Câu 13. Chuỗi đã cho được viết lại ở dạng
n=1
∞

1
. Do đó chuỗi đã cho hội tụ ⇔ −q > 1 ⇔ q < −1.
n−q

Câu 14. Chuỗi đã cho được viết lại ở dạng
n=1

−6
25

n

=

1

−6


√
n

2

2

en nn
en
en nn
n
X với an =
=
.
(n + 1)n2
(n + 1)n2
(1 + n1 )n2

enn
e
= 1. Suy ra chuỗi có bán kính hội tụ R = 1.
= lim
n
n→+∞ (n + 1)
n→+∞ (1 + 1 )n
n

an = lim


2
n→+∞
(n + 1)n
(n + 1)n2
n=1
n

nếu n chẵn và bằng −1 nếu n lẻ. Do vậy chuỗi phân kỳ.
• Giải |X| < 1 ⇔

1
< 1 ⇔ 1 < |x − 2| ⇔ x − 2 < −1 hoặc x − 2 > 1 ⇔ x < 1 hoặc x > 3.
|x − 2|

• Miền hội tụ của chuỗi D = (−∞; 1) ∪ (3; +∞).
1
1
Câu 17. Đặt f (x) = arccos x ⇒ f (x) = − √
. Chọn x0 = và ∆x = 0, 01. Ta có
2
1 − x2
arccos(0, 51) = f (0, 51) = f (x0 + ∆x)

f (x0 ) + f (x0 )∆x
1
1
arccos −
.0, 01
2
1