UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn thi: Toán – Lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 01 trang)

Câu 1. (2,0 điểm)
Cho ba số a,b,c khác nhau đôi một và khác 0, đồng thời thỏa mãn điều kiện
� a�
�
� b�
� c�
a +b b + c c +a
�
�
�
�
A =�
1+ �
1+ �
1+ �
�
�
�
=
=

x
1) Giải phương trình
.
5
3
2
thức P (x) = x - 5x + 4x + 1,Q(x) = 2x + x - 1. Gọi
P ( x)
Q ( x1) .Q ( x2 ) .Q ( x3 ) .Q ( x4 ) .Q ( x5 )
x1, x2, x3, x4, x5
là các nghiệm của
. Tính giá trị của
.
Câu 3. (4,0 điểm)
2
6
1) Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho n + 2 là ước số của n + 206 .

2)

Cho

hai

đa

a2 + b2 a
=
2
2

2) Cho tam giác ABC có BAC = 90 , ABC = 20 . Các điểm E và F lần lượt
�
�
�
o
o
nằm trên các cạnh AC , AB sao cho ABE = 10 và ACF = 30 . Tính CFE .

Câu 5. (3,0 điểm)
1) Cho các số thực a,b,c �1. Chứng minh rằng
1
1
1
4
4
4
+
+
+3�
+
+
2a - 1 2b - 1 2c - 1
a +b b + c c + a .
2) Cho hình vuông ABCD và 9 đường thẳng cùng có tính chất là mỗi đường thẳng
2
chia hình vuông ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng 3 . Chứng minh rằng có ít
nhất 3 đường thẳng trong số đó cùng đi qua một điểm.
--------HẾT--------



a +b b +c c + a a +b +b +c +c + a
=
=
=
=2
a
b
c +a +b
Nếu a + b + c � 0 thì c
.
a
+
b
=
2
c
,
b
+
c
=
2
a
,
c
+
a
=
2
b

2
2
x + 1 (x + 1)
x + 1 (x + 1)2
x
x

�

x2 - 1 (x + 1)2 - 3(x + 1) + 2
+
=0
x2
(x + 1)2

�

(x + 1)(x - 1) x2 + 2x + 1- 3x - 3 + 2
+
=0
x2
(x + 1)2

�
(x + 1)(x - 1) x(x - 1)
x +1
x �
�
�
+

�
� (x - 1) (x + 1) + x = 0 �
- 1
�
�
�
x
=
�
� 2 (thỏa mãn)
� - 1�
S =�
1; �
�
�
�
2�
�.
�
Vậy tập nghiệm của phương trình là
2.2. (2,0 điểm)
P (x) = x5 - 5x3 + 4x + 1 = ( x - x1) ( x - x2 ) ( x - x3 ) ( x - x4 ) ( x - x5 )
Ta có
�
�
1
�
�
Q(x) = 2�
x

�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
= 25 �
x
x
x
x
x
�
�
�
�
�
�
1�
2�
3�

�

��
( - 1- x1) ( - 1- x2) ( - 1- x3) ( - 1- x4) ( - 1- x5) �
�
�

0,75

0,5

0,5

0,75
0,75


��
�1 5
�
1�
�
�
�
�
= 32.P �
�
P
(
1

��
n +2
n2 + 2
n2 + 2 là ước số của n6 + 206
198
� n4 + 2n2 + 4 + 2
��
n +2
.

0,75

2

2
Điều này xảy ra khi n + 2 là ước nguyên dương của 198 = 2.3 .11 gồm:
2;3;6;9;11;18;22;33;66;99;198 .

Từ đó ta tìm được
Chú ý :

n �{1;2;3;4;8;14}

0,75

.
0,5

2
+ Nếu bước 2 thiếu giá trị của n + 2 trừ 0,5 điểm.

2

2

2

2

2

Ta thấy a + b + c > 3 do đó nếu a + b + c là các số nguyên tố thì xảy ra các trường
hợp sau
1) a + c - b = 1,a + c + b = a2 + b2 + c2 � a2 + b2 + c2 = 2a + 2c - 1
� (a - 1)2 + (c - 1)2 + b2 = 1 � a = c = 1,b = �1(Loại)

0,5

2)a + c + b = 1,a + c - b = a2 + b2 + c2 � a2 + b2 + c2 = 2a + 2c - 1
� (a - 1)2 + (c - 1)2 + b2 = 1 � a = c = 1,b = �1

(Loại)
3)a + c + b = - 1,a + c - b = - a + b + c � a + b2 + c2 = - 2a - 2c - 1

(

2

2

2

�
�
� A2 + MAD = 90�( 2)
Mà AMHN là hình vuông
( 1) ,( 2) suy ra A�1 = A�2
Từ
..)
Do đó, D AND = D AMB (cgc
�=D
� = 90�
�B
1
và BM = ND

1,0

4.1.b) (1,5 điểm)

� = 90�
�D
2
Do ABCD là hình vuông
� =D
� +D
� = 90�
� NDC
+90�
= 180� � N , D,C
1
2

( 5) suy ra FM = FN = FD + DN
Từ
Mà DN = MB � MF = DF + BM
Gọi chu vi tam giác MCF là p và cạnh hình vuông là a .

Ta có P = MC + CF + MF = MC + CF + BM + DF (vì MF = DF + MB )
= (MC + MB ) + (CF + FD ) = BC + CD = a + a = 2a
Do đó, chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi trên BC .

4.2. (1,5 điểm)

0,5

1,0

1,0


0,5
�
�
o �
o
o
Xét D ABC có BAC = 90 , ABC = 20 � ACB = 70
� = 90o ACF
�
D ACF có CAF
= 30o � FC = 2.AF
,

BD
BA
AE
AF
AE
=2
=2
=
=
=
�
=
FG
BG
BG
BC
EC
FG
EC
Do đó, FG
�
�
o
Từ đó suy ra CG / / EF (ĐL Talet đảo) � CFE = GCF = 20 .
5.1. (2,0 điểm)
1
1
� 2
2
2

;
+ 2�
� 2 + 2 +2�
2
2
2
ab (a + b) (a + b)
a +b
a +b
b
a
b
Ta lại có a

1
1
8 1
1
8
+ 2 + 2�
; 2 + 2 +2�
2
b+c c
c +a
c
a
Tương tự b
1
1
1

5.2. (1,0 điểm)

0,5

0,5

0,75

0,75

0,5


Các đường thẳng đã cho không thể cắt các cạnh kề nhau của hình vuông, bởi vì nếu thế
chúng chia hình vuông thành một tam giác và ngũ giác (chứ không phải là chia hình vuông
thành hai tứ giác).
Do đó, mỗi đường thẳng (trong số chín đường thẳng) đều cắt hai cạnh đối của hình vuông và
không đi qua một đỉnh nào của hình vuông cả.
Giả sử một đường thẳng cắt hai cạnh đối BC và AD tại các điểm M và N .

0,5

1
.AB .(BM + AN )
SABMN
2
2
EJ
2
2

.

4

là các

0,5


Khi đó từ đó lập luận trên ta suy ra mỗi đường thẳng có tính chất thỏa mãn yêu cầu của đề
J ,J , J , J
bài phải đi qua một trong 4 điểm 1 2 3 4 nói trên. Vì có 9 đường thẳng, nên theo
J ,J , J , J
nguyên lí Dirichlet phải tồn tại ít nhất một trong 4 điểm 1 2 3 4 sao cho nó có ít nhất
ba trong 9 đường thẳng đã cho đi qua.
Vậy có ít nhất 3 đường thẳng trong 9 đường thẳng đã cho đi qua một điểm.
Chú ý:
1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm.
2. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm.
Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót thi giám
khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết.
3. Tổng điểm của bài thi không làm tròn.
-----------Hết-----------

§Ò thi th«ng tin chän häc sinh giái líp 8
n¨m häc 2008 – 2009
Họ tªn : ...........................................
Líp :……...
M«n: To¸n


Cho tam giác IKP cân tại A có KP = 4 cm , M là trung điểm của KP lấy D,
K .
DME
E thứ tự thuộc các cạnh IK , IP sao cho
a) Chứng minh rằng tích KD . PE không đổi .
b) Chứng minh rằng DM là tia phân giác của góc KDE .
c) Tính chu vi IED nếu IKP là tam giác đều .
------------- ------------( Giám thị không giải thích gì thêm )

hớng dẫn chấm thi môn toán
kỳ thi thông tin chọn học sinh giỏi lớp 8 THCS năm học 2008-2009
Câu 1 (4,0 điểm)


Tóm tắt lời giải

Điể
m

a) Ta có A = x6 19x5 + 19x4 19x3 +19x2 19x + 25
= x5 ( x 18 ) x4( x- 18 ) + x3 ( x-18) x2( x-18) + x(x- 18) ( x 18 ) + 7
Do đó với x = 18 thì giá trị của biểu thức A = 7 .
b) Với x+y = 1 ta có : B = ( x + y )+ 3xy = ( x +y ) ( x - xy +y )
+ 3xy
= x2 +2xy +y2
= ( x+y )2 = 1
3

3


b) Giải phơng trình :
(x2-x+1)(x2-x+2) = 12
(1)
2
Đặt t = x -x+1 thay vào phơng trình (1) ta đợc pt :
t ( t+1 ) = 12
t2 + t 12 = 0 ( t2 - 3t ) + (4t 12) = 0 t( t - 3) + 4(t 3) =
0
(t - 3) (t+ 4) = 0
t = 3 hoc t = - 4
2
- Với t = 3 => x -x+1 = 3 x2-x-2 = 0 x2-2x + x -2 = 0
x(x-2) + (x -2 ) = 0 (x-2) (x +1 ) = 0 x = 2 hoc x = - 1
1
19
2
- Với t = - 4 => x -x+1 = - 4 x -x + 5 = 0 ( x- 2 ) + 4 = 0
1
19
phơng trình này vô nghiệm vì ( x- 2 ) 2 + 4 > 0 với mọi x .
2

Điể
m
1,00
0,50

0.50

0.5

30
30
60
Ta có phơng trình : x 10 + x 6 = x
x( x 6)
x( x 10)
2( x 10)( x 6)
x( x 10)( x 6) + x( x 10)( x 6) = x( x 10)( x 6)
=> x2 6x + x2 + 10x = 2x2 + 8x 120 x2 6x + x2 + 10x -

2x2 - 8x = -120
4x = 120 x = 30

0.50
1.00
0.75
0.75
0.50

0.50
0.50

( km/h )

60
Vậy thời gian ô tô dự định đi quãng đờng AB là : 30 = 2

( giờ )

Câu 4 (3,5 điểm)

Ta có DMC DME CME , mặt khác DMC B BDM , mà DME
BDM

nên CME
.

Do đó BDM và CME đồng dạng ( gg ) .

a)

BD BM

=> CM CE => BD . CE = CM . BM = a . a = a2

0.50
0.50

Vậy tích BD . CE luôn không đổi .
DM BD

b) BDM và CME đồng dạng còn suy ra : ME CM
DM BD

ME BM

0.50
=>

0.50



h

d

b
D
c
C

1
a) Gọi h là chiều cao tơng ứng với cạnh a , ta có S = 2 ah .
=> 4S = 2ah 2ab a2 + b2 .

Vậy

a2 b2

4
S
.

Dấu bằng xảy ra h = b , a = b ABC vuông cân

b) Theo câu a ta có : SABC

a 2 b2

4


xác cũng đợc điểm tối đa