Trường THCS Lê Q Đơn Bài tập Tự luận HK II Đại số 8
Chương III: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Tóm tắt lý thuyết
1. Đoạn thẳng tỉ lệ : Cặp đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với cặp đoạn thẳng A’B’ và C’D’
'D'C
'B'A
CD
AB
=⇔
2. Một số tính chất của tỉ lệ thức:
•
CD'.B'A'D'C.AB
'D'C
'B'A
CD
AB
=⇒=
•







==
==
⇒=
AB
CD

±
⇒=
'D'C'B'A
'B'A
'D'CAB
AB
'D'C
'D'C'B'A
CD
CDAB
'D'C
'B'A
CD
AB
•
'D'CCD
'B'AAB
'D'C
'B'A
CD
AB
±
±
==
3. Đònh lý Ta-lét thuận và đảo:
•





'C'B
AC
'AC
AB
'AB
BC//a
ABC
==⇒



∆
Năm Học 2008 - 2009 17 Nguyễn Văn Thuận
A
B
C
B '
C '
a
Trường THCS Lê Q Đơn Bài tập Tự luận HK II Đại số 8
5. Tính chất đường phân giác trong tam giác :
• AD là tia phân giác của BÂC,
AE là tia phân giác của BÂx
EC
EB
DC
DB
AC
AB
==⇒

;
k
p
'p
=
;
2
k
S
'S
=
7. Các trường hợp đồng dạng :
a. Xét
∆
ABC và
∆
A’B’C’ có:
CA
'A'C
BC
'C'B
AB
'B'A
==•
⇒
∆
A’B’C’ ~
∆
ABC (c.c.c)
b. Xét

=•
=•
(...)BÂ'BÂ
(...)'ÂÂ
⇒
∆
A’B’C’ ~
∆
ABC (g.g)
8. Các trường hợp đồng dạng của hai
∆
vuông :
Cho
∆
ABC và
∆
A’B’C’(Â = Â’ = 90
0
)








=
==
=

a. Tính
AC
AE
b. Tính
GD
AG
c. Kể tên 2 cặp đoạn thẳng tỷ lệ với AG và GD.
Năm Học 2008 - 2009 18 Nguyễn Văn Thuận
Trường THCS Lê Q Đơn Bài tập Tự luận HK II Đại số 8
Bài 4. Cho biết độ dài của đoạn thẳng AB gấp 12 lần độ dài của đoạn thẳng CD, đoạn thẳng A’B’
gấp 5 lần độ dài của đoạn thẳng CD. Tính tỉ số của hai đoạn thẳng AB và A’B’.
Bài 5. Cho đoạn thẳng AB, M là một điểm trong đoạn AB. Tính các tỉ số
AB
AM
và
AB
BM
nếu:
a.
2
1
MB
MA
=
b.
4
7
MB
MA
=

B'B
'AB
=
;
AC
'CC
AB
'BB
=
Bài 9. Cho ∆ABC có AC = 8,5cm. Lấy M, N lần lược thuộc AB và AC sao cho AM = 4cm và AN =
5cm. Biết MN // BC. Tính độ dài đoạn thẳng BM.
Bài 10. Cho ∆DEF có DF = 24cm. Lấy P, Q lần lược thuộc DE và DF sao cho EP = 10,5cm và DQ =
9cm. Biết PQ // EF. Tính độ dài đoạn thẳng DP.
Bài 11. Cho ∆ABC, đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Biết AM =
17cm, BM = 10cm, CN = 9cm. Tính độ dài đoạn thẳng AN.
Bài 12. Cho ∆PQR, đường thẳng song song với cạnh QR cắt PQ, PR lần lượt tại E và F. Biết PF =
20cm, FR = 15cm, EP = 16cm. Tính độ dài đoạn thẳng PQ.
Bài 13. Trên một đường thẳng, đặt 4 đoạn thẳng liên tiếp: AB = BC = 2CD = 4DE. Tính các tỉ số:
BE
AB
;
AE
AC
;
AE
AD
;
BD
AE
.

+
=
c. Gọi O là trung điểm của BD. Chứng minh: OB
2
= OA . OC.
Bài 16. Cho ∆ABC, có AB = 5cm, BC = 6,5cm. Trên AB lấy điểm D sao cho DB = 3cm, từ D vẽ đường
thẳng song song với BC cắt AC tại E. Tính DE.
Bài 17. Cho ∆OPQ, có PQ = 5,2cm. Trên tia đối của tia OP lấy điểm N so cho ON = 2cm. Từ N vẽ
đường thẳng song song với PQ cắt đường thẳng OQ tại M. Tính độ dài đoạn thẳng OP khi MN
= 3cm.
Bài 18. Cho ∆ABC, có AB = 11cm, AC = 20cm và BC = 28cm. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy
các điểm P, N, M sao cho AP = 3cm, BN =
BC
4
1
, 3AM = MC. C/m: BNMP là h.b.hành.
Năm Học 2008 - 2009 19 Nguyễn Văn Thuận
Trường THCS Lê Q Đơn Bài tập Tự luận HK II Đại số 8
Bài 19. Cho ∆OAB vuông tại A, có OA = 6cm. Trên tia đối của tia OA lấy điểm A’ sao cho
OA
2
1
'OA
=
. Từ
A’ vẽ đường thẳng vuông góc với AA’ tại A’, đường thẳng này cắt OB kéo dài tại B’. Tính OB
và AB, biết A’B’ = 4,2cm.
Bài 20. Cho góc xÔy. Trên tia Ox lấy theo thứ tự 2 điểm A, B sao cho: OA = 2cm, AB = 3cm. Trên tia
Oy lấy điểm C với OC = 3cm. Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt Oy tại D.
a. Tính độ dài đoạn thẳng CD.

.
a. Tính độ dài đoạn thẳng DA, DB.
b. Gọi DH, BK lần lượt là khoảng cách từ D, B đến cạnh AC. Tính
BK
DH
.
c. Cho biết AK = 4,5cm. Tính HK.
Bài 24. Cho ∆ABC có BC = a. Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho AK = KI = IH. Qua I và
K vẽ các đường EF // BC, MN // BC.
a. Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF theo a.
b. Tính S
MNFE
, biết a = 15cm và S
∆
ABC
= 270cm
2
.
Bài 25. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD. Dùng đònh lý
Talét để chứng minh:
a. 2 đoạn thẳng DE và BG chia AC thành 3 đoạn bằng nhau.
b. AG và AF chia BD thành 2 đoạn bằng nhau.
Bài 26. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Một đường thẳng song song với 2 đáy, cắt cạnh bên AD ở
M và cắt cạnh BC ở N. Biết
n
m
NB
CN
MA
DM

AB
AC
MF
DM
=
.
Năm Học 2008 - 2009 20 Nguyễn Văn Thuận
Trường THCS Lê Q Đơn Bài tập Tự luận HK II Đại số 8
Bài 30. Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng qua A lần lượt cắt BD ở I, BC ở J và CD ở K.
a. So sánh
ID
IB
và
IK
IA
b. Chứng minh: IA
2
= IJ . IK c. Chứng minh:
BC
BJ
DK
DC
=
Bài 31. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có các đường chéo cắt nhau tại O.
a. Chứng minh: OA . OD = OB . OC
b. Kẻ một đường thẳng bất kỳ qua O cắt AB ở M, CD ở N. Biết
n
m
MB
MA

cho: AE = 2EB, BF =
2
1
FC, CG = 2CD, DH =
2
1
HA. Chứng minh: EFGH là hình bình hành.
Bài 35. Cho hình thang ABCD (AB // CD). M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và
BD, K là giao điểm của BM và AC.
a. Chứng minh: IK // AB.
b. Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh: EI = IK = KF.
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ tia Ax cắt BD ở I, BC ở J và cắt tia DC ở K.
Chứng minh: IA
2
= IJ . IK và KD . BJ không đổi.
Bài 36. Cho hình thang ABCD, đáy nhỏ CD. Từ D vẽ đường thẳng song song với BC cắt AC ở M, AB
ở N. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB ở F. Qua N kẻ đường thẳng song song với
AC cắt BC ở P. Chứng minh: MP // AB và 3 đường thẳng MP, CF và DB đồng qui.
Bài 37. Cho ∆ABC (AC > AB). Lấy các điểm D, E tùy ý thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC sao cho BD
= CE. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng DE và BC. Chứng minh: tỉ số
KE
KD
không phụ
thuộc vào cách chọn các điểm D và E.
Bài 38. Cho ∆ABC, trung tuyến AM. Gọi I là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường thẳng qua I và song
song với AC cắt AB ở K, đường thẳng qua I và song song với AB cắt AM, AC lần lượt ở D và
E. Chứng minh: DE = BK.
Bài 39. Cho ∆ABC cân tại A có BC = 8cm, tia phân giác của góc B cắt đường cao AH ở K. Biết
5
3

DB
=⋅⋅
.
Bài 47. Cho ∆ABC, trung tuyến AM. Đường phân giác của AMÂB cắt AB ở D, đường phân giác của
AMÂC cắt AC ở E.
a. Chứng minh: DE // BC.
b. Gọi I là giao điểm của AM và DE. Chứng minh: DI = IE.
Bài 48. Cho ∆ABC có AB = 12cm, AC = 20cm, BC = 28cm. Đường phân giác góc A cắt BC tại D. Qua
D kẻ DE // AB (E ∈ AC).
a. Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC và DE.
b. Cho biết diện tích ∆ABC là S, tính diện tích ∆ABD, ∆ADE và ∆DCE.
Bài 49. Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 21cm, AC = 28cm. Đường phân giác góc A cắt BC tại D. Qua
D kẻ DE // AB (E ∈ AC).
a. Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC và DE.
b. Tính diện tích ∆ABD và ∆ACD.
Bài 50. Cho ∆ABC cân tại A, phân giác góc B cắt AC tại D và cho biết AB = 15cm, BC = 10cm.
a. Tính AD, DC.
b. Đường vuông góc với BD tại B cắt đường thẳng AC kéo dài tại E. Tính EC.
Bài 51. Cho ∆ABC có Â = 90
0
, AB = 12cm, AC = 16cm. Đường phân giác góc A cắt BC tại D.
a. Tính BC, BD, CD.
b. Vẽ đường cao AH, tính AH, HD và AD.
Bài 52. Cho ∆ABC vuông tại A, AB = a, AC = b, (a < b), trung tuyến AM, đường phân giác AD (M và
D thuộc BC).
a. Tính độ dài các đoạn thẳng BC, BD, DC, AM và DM theo a, b.
b. Hãy tính các đoạn thẳng trên đây chính xác đến chữ số thập phân thứ hai khi biết a
= 4,15cm và b = 7m,25cm.
Bài 53. Cho ∆ABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n và AD là đường phân giác.
Chứng minh:

Bài 55. Cho hình bình hành ABCD. Vẽ một đường thẳng cắt AB ở E, AD ở F, AC ở G.
Chứng minh:
AG
AC
AF
AD
AE
AB
=+
Bài 56. a. Cho ∆ABC với đường trung tuyến AM và đường phân giác AD. Tính diện tích ∆ADM, biết
AB = m, AC = n (n > m) và diện tích của ∆ABC là S.
b. Cho n = 7cm, m = 3cm, hỏi diện tích ∆ADM chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích ∆ABC.
Năm Học 2008 - 2009 22 Nguyễn Văn Thuận