TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN V NĂM 2013
TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
========================================
Câu 1. ( 2,0 điểm )
Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Đường thẳng đi qua điểm A( – 1; 3) và có hệ số góc k. Tìm các giá trị của k để đường thẳng cắt
(C) tại 3 điểm phân biệt A, D, E. Gọi d
1
, d
2
lần lượt là các tiếp tuyến của (C) tại D và E. Chứng minh
rằng các khoảng cách từ A đến d
1
và d
2
bằng nhau.
Câu 2. ( 1,0 điểm )
Giải phương trình:
sin 3x
cos 3x +2cosx
= cot
2
;
= 60
0
và BCD là tam giác
vuông tại D. Tính thể tích khối tứ diện ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD, BC.
Câu 6. ( 1,0 điểm )
Cho các số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn: x + 2y = 1. Chứng minh rằng:
1
+
2
25
1+48
2
.
Câu 7. ( 1,0 điểm )
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD với A(0; 0) và M(10; 5) là trung điểm của cạnh BC.
Hãy viết phương trình dạng tổng quát các cạnh của hình vuông ABCD.
Câu 8. ( 1,0 điểm)
Trong không gian Oxyz, cho A(1; 1; 2), mp(P): x + y + z – 2 = 0 và đường thẳng :
5
1
=
2
1
=
+2
WWW.VNMATH.COM
1
ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM
THI THỬ ĐH LẦN V - NĂM 2013
Câu
ĐÁP ÁN
I
(2 điểm)
1. (1,0 điểm). Học sinh tự giải.
1,00
2. (1,0 điểm) Chứng minh. …
Đường thẳng ∆ : y =k(x + 1) + 3 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt pt sau có 3 nghiệm phân biệt :
x
3
+ 3x
2
+ 1 = k(x + 1) + 3 (x + 1)(x
2
+ 2x – k – 2) = 0.
Để pt trên có 3 nghiệm phân biệt thì pt x
2
+ 2x – k – 2 = 0 (*) có 2 nghiệm phân biệt khác –1
∆
120
1220
k > – 3.
0,50
, k
2
= y’(x
E
) = 3x
E
+ 6x
E
.
Do x
D
,
x
E
là nghiệm của (*) nên 3x
D
+ 6x
D
= 3(k + 2) = 3x
E
+ 6x
E
.
Suy ra các tiếp tuyến tại D và E của (C) có cung hệ số góc. Mặt khác x
D
+
= cot
2
x
= cot
2
x
+ xy – 2 = 0 suy ra x ≠ 0 và y =
,
thay vào pt thứ hai ta được
+ 3(2 – x
3
) + 3 = 0
Đặt t = x
3
≠ 0, phương trình trên trở thành t
3
– 3t
2
+ 3t – 8 = 0 (t – 1)
3
= 7 t = 1 +
√7
Từ đó ta có : x =
dx =
1
.
dx =
√
2
= (1 + t
2
)
2
Suy ra I =
1t
√t
dt =
t
.dt
+
t
.
1,00
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
WWW.VNMATH.COM
2
V
(1 điểm)
(1,0 điểm). Tính thể tích và khoảng cách………..
Trong ∆ABC
cân tại A
kẻ AH BC ∆ABH vuông tại H có AB = a,
= 60
o
AH =
và HB = HC = HD =
√
= a
√2
.
Vậy, V
ABCD
=
AH.S
BCD
=
.
.
√
.
=
√
(
đvtt
=
BC.DE = DB.DC
DE =
.
=
√
.
Do đó từ (*) ta có
=
+
=
(1 – 2y)] ≥ 25y(1 – 2y) (2 – 3y)(1 + 48y
2
– 96y
3
) – 25y(1 – 2y) ≥ 0
2 – 28y + 146y
2
– 336y
3
+ 288y
4
≥ 0 144y
4
– 168y
3
+ 73y
2
– 14y + 1 ≥ 0
(12y
2
– 7y + 1)
2
≥ 0 . (đpcm).
VII
(1 điểm)
(1,0 điểm). Viết phương trình các cạnh ……
=
5x1010
5y5
5
H :
x8
y4
Điểm B là giao của đường thẳng qua H vuông góc với AM và đường tròn
đường kính AM.
Ta có
(10; 5).
Phương trình đường thẳng BH : 2x + y – 20 = 0
Phương trình đường tròn đường kính AM : (x – 5)
2
+ (y –
)
2
=
B
0,50
0,50
A
H
M
B
C D
0,50
0,50
WWW.VNMATH.COM
3
VIII
(1 điểm)
(1,0 điểm). Tìm tọa độ điểm………………
Đường thẳng AM thuộc mặt phẳng (Q) vuông góc với ∆. Phương trình (Q) : x + y – z = 0.
Giao điểm của (Q) với ∆ là điểm H(2; –1; 1). Giao tuyến d của (P) và (Q) có véc tơ chỉ phương
cùng
phương với véc tơ [
,
] =
1 1
1 1
,
11
1 1
2
= 26 (x – 2)
2
+ y
2
+ (x + 2)
2
+ y
2
= 26 x
2
+ y
2
= 9. Suy ra tập hợp các điểm biểu
diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 1. là đường tròn (S) tâm là gốc tọa độ O, bán kính R = 3.
Ta có
|
z –
(
√
+
√
i
)|
(
√
;
√
)
thuộc đường tròn (S).
Gọi M(x; y) là điểm thuộc (S), khi đó
|
z –
(
√
+
√
i
)|
=
x
√
√
–
√
i.
A
∆
H
d
M
Q
0,50
0,50
0,50
0,50
WWW.VNMATH.COM
Copyright: Tài liệu đại học ©