TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
--- TỔ TOÁN ---
    
CHUYÊN ĐỀ :
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
CỦA
TAM THỨC BẬC HAI
LÝ THỊ LOAN THẢO
Tháng 5/2008
ỨNG DỤNG CỦA TAM THỨC BẬC HAI TÌM
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ
I. Phương pháp:
Cơ sở của phương pháp là sử dụng sự đánh giá các giá trò của hàm số
bằng một trong hai công cụ sau đây của tam thức bậc hai :
( i ) :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
0 0
( ) ; 0 : min
x R
f x u x a a u x f x a f x f x a
Ỵ
é ù
= + ³ $ = = Þ = =
ë û
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
0 0
( ) ; 0 : min

0
max ( ) ( )
min ( ) ( )
x R
x R
f x f x M
f x f x M
Ỵ
Ỵ
é
= =
ê
Þ
ê
= =
ê
ë

II. Bài tập ứng dụng
Bài 1
Cho hàm số : y = f(x) = 4x
2
-4ax + a
2
– 2a, trên tập D = [ -2 ; 0 ]. Tìm a
để
min ( ) 2
x R
f x
Ỵ

min ( ) (0) 2 2
x D
f x f a a
-
= = - =
0
1 3
1 3
a
a
a
é
>
ê
Û Û = +
ê
= +
ë
TH2 :
Khi :
2 4
2
s
a
x a= <- Û <-

Nhìn vào đồ thò, ta có :
2
min ( ) ( 2) 6 16 2
x D

= =- =
4 0
1
1
a
a
a
é
- £ £
ê
Û Û =-
ê
=-
ë
Kết luận
1; 1 3a a=- = +
Bài 2
Tìm GTLN và GTNH của hàm số :
2
2
2 1
( ) ;
1
x x
y f x x R
x x
+ -
= = " Ỵ
- +
Giải

0 0 0 0 0 0
2
0 0
2 1
( 1) 2 1
1
x x
y y x x x x
x x
+ -
Û = Û - + = + -
- +
2
0 0 0 0 0 0
( ) ( 2) ( 1) 1 0F x y x y x = - - + + + =
(1)
x R" Ỵ
Xét tam thức bậc hai F(x
0
) qua các trường hợp :
TH1 :
0 0
2 0 2y y- = Û =
lúc đó (1)
0 0
3 3 0 1x x RÛ - + = Û = Ỵ
Do vậy y
0
= 2 là một điểm của tập giá trò.
3

2
1 3
3 6 9 0
y
y
y
y y
ì
ì
¹
¹
ï
ï
ï ï
Û Û
í í
ï ï
- £ £
- + + ³
ï ï
ỵ
ỵ
Kết hợp hai trường hợp trên ta có :
0
1 3y- £ £
max ( ) 3;
max ( ) 3;
min ( ) 1;
min ( ) 1;
g x x R

( 1) ( ) 0
2
x R
f x
f x
f f
Ỵ
ì
³
ï
ï
ï
Þ =
í
ï
- = =
ï
ï
ỵ
Vậy
( ) 3
x R
GTLN f x
Ỵ
=
và
( ) 0
x R
GTNN f x
Ỵ

0 0 0 0 0 0 0 0
0 0
1 1
( ) 2y x x y x y x x
x x
ỉ ư
÷
ç
÷
ç
Û - = + Û - + = +
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
2 2
0 0 0 0
( ) 2 1 0F x y x y xÛ = - + =
Ta cần tìm điều kiện để tam thức bậc hai F(x
0
) có nghiệm dương .
muốn thế ta xét :
2 2 4 3
0 0 0 0 0 0
( ) 4(2 )(1) 8 ( 8)
F
y y y y y yD = - = - = -
Để ý rằng :

y
ì
ï
-
ï
=- = > " ³
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
= > " >
ï
ï
ï
ï
ỵ
4
Vậy tam thức bậc hai F(x
0
) có nghiệm khi
0
2y ³
và lúc đó hai nghiệm
đều dương :
0.2 0.1
0 max ( ) 2x x f x³ > Þ =
Bài 4

1
2
2
3 7 22
3 7 22
x a a a
x a a a
é
= - - - +
ê
ê
ê
= - + - +
ë
Xét nghiệm lớn :
( )
2 2
2
2
2
2
3 7 22 3 7 22
3 0
3 0
2 6 13(*)
3 7 22
x y a a a y a a a
y a
y a
ay a y y

2 6
2
y y y y
a a
y y
y y
- + + - + +
Þ = ³ Û = ³
+ +
Û £ - Ú- £ £
Suy ra GTLN = 6 khi a = 1
Vậy a = 1 thì GTLN của x
2
= 6
Bài 5:
Cho f(x) = 2x
2
+2(m+1)x +m
2
+ 4m +3 có 2 nghiệm x
1
,x
2
. Tìm GTLN
của biểu thức :
1 2 1 2
2( )A x x x x= - +
Giải :
Điều kiện tồn tại nghiệm x
1