TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

======

NGUYỄN THỊ THƠM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY VÀ LẬP LUẬN
TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 10 QUA DẠY HỌC
CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ET
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán

HÀ NỘI - 2019


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

======

NGUYỄN THỊ THƠM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY VÀ LẬP LUẬN
TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 10 QUA DẠY HỌC
CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ET
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

ThS. DƢƠNG THỊ HÀ


Nguyễn Thị Thơm


DANH MỤC NHỮNG CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG KHÓA
LUẬN
GDPT

Giáo dục phổ thông

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

NLTD và LLTH

Năng lực tƣ duy và lập luận toán học

PT

Phƣơng trình

TH

Trƣờng hợp


1.5. Giải bài tập với phát triển năng lực tƣ duy và lập luận toán học ............... 8
1.5.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học .............................................. 8
1.5.2. Dạy học giải bài tập................................................................................. 9
1.5.3. Biểu hiện của năng lực tƣ duy và lập luận toán học trong quá trình giải
bài tập. ............................................................................................................. 11
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1................................................................................ 13
CHƢƠNG 2: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN
HỌC QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ET ....... 14


2.1.1. Vai trò .................................................................................................... 14
2.1.2. Định lý Vi-et ......................................................................................... 14
2.2 Hệ thống bài tập về ứng dụng định lý Vi-et nhằm phát triển năng lực tƣ
duy và lập luận toán học.................................................................................. 17
2.2.1 Dạng 1: Tìm 2 số khi biết tổng và tích................................................... 17
2.2.2 Dạng 2: Tìm nghiệm còn lại khi phƣơng trình bậc hai một ẩn cho biết
trƣớc một nghiệm ............................................................................................ 20
2.2.3 Dạng 3: Tính giá trị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm .............. 24
2.2.4 Dạng 4: Tìm giá trị tham số m thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm cho
trƣớc. ............................................................................................................... 28
2.2.5 Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức ...................................................... 33
2.2.6 Dạng 6: Tƣơng giao của hai đồ thị........................................................ 37
2.2.7 Dạng 7: Giải hệ phƣơng trình đối xứng loại I........................................ 44
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2................................................................................ 49
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 50
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 51


MỞ ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài

1


2. Mục đích nghiên cứu
Phát triển năng lực tƣ duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 10 qua
chủ đề ứng dụng định lý Vi-et nhằm nâng cao chất lƣợng dạy học và đáp ứng
yêu cầu đổi mới giáo dục hiện nay.
3.Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận về năng lực tƣ duy và lập luận toán học, về
ứng dụng định lý Vi-et trong dạy học môn Toán.
- Xây dựng hệ thống bài tập dựa vào ứng dụng định lý Vi-et để phát
triển năng lực tƣ duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 10.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Năng lực tƣ duy và lập luận toán học
- Chủ đề ứng dụng định lý Vi-et trong chƣơng trình Toán lớp 10
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phƣơng pháp nghiên cứu luận
- Phƣơng pháp tổng kết kinh nghiệm
6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm hai
chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lí luận
Chƣơng 2: Phát triển năng lực tƣ duy và lập luận toán học qua dạy học
chủ đề ứng dụng của định lý Vi-et
Kết luận
Tài liệu tham khảo

2



toán học là:

3


1.
Năng lực phát biểu và tái hiện định nghĩa, kí hiệu, các phép toán
và các khái niệm.
2.
Năng lực tính nhanh, cẩn thận và sử dụng các kí hiệu.
3.
Năng lực dịch chuyển dữ liệu kí hiệu.
4.
Năng lực biểu diễn dữ liệu bằng kí hiệu.
5.
Năng lực theo dõi một hƣớng suy luận hay chứng minh.
6.
Năng lực xây dựng một chứng minh.
7.
Năng lực áp dụng quan niệm cho bài toán Toán học.
8.
Năng lực áp dụng cho bài toán không Toán học.
9.
Năng lực phân tích bài toán và xác định các phép toán có thể sử
dụng.
10. Năng lực tìm cách khái quát hóa Toán học.
Theo chƣơng trình giáo dục phổ thông tổng thể, các năng lực Toán học
cần hình thành cho học sinh đó là:
- Năng lực tƣ duy.
- Năng lực giải quyết vấn đề sáng tạo.

1.3.3.2. Năng lực tư duy
Năng lực tƣ duy: là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện, trừu
tƣợng hóa, khái quát hóa, tƣởng tƣợng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và
linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng vào thực
tiễn.
1.1.3.3. Năng lực tư duy và lập luận toán học
Theo Chƣơng trình môn Toán 2018, năng lực tƣ duy và lập luận Toán
học đƣợc thể hiện qua việc thực hiện đƣợc các hành động:
- So sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tƣơng tự,
quy nạp, diễn dịch.
- Chỉ ra đƣợc chứng cứ, lĩ lẽ và biết lập luận hợp lí trƣớc khi kết luận.
- Giải thích hoặc điều chỉnh đƣợc cách thức giải quyết vấn đề về
phƣơng diện toán học.
Năng lực tƣ duy và lập luận toán học ở cấp trung học phổ thông biểu
hiện nhƣ sau:
- Thực hiện đƣợc tƣơng đối thành thạo các thao tác tƣ duy, đặc biệt
phát hiện đƣợc sự tƣơng đồng và khác biệt trong những tình huống tƣơng đối
phức tạp và lí giải đƣợc kết quả của việc quan sát.
- Sử dụng đƣợc các phƣơng pháp lập luận, quy nạp và suy diễn đề nhìn
ra những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề.
5


- Nêu và trả lời đƣợc câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề. Giải thích,
chứng minh, điều chỉnh đƣợc giải pháp thực hiện về phƣơng diện toán học.
1.2. Dạy học theo tiếp cận phát triển năng lực
Hiện nay, chƣơng trình giáo dục của nhiều quốc gia trên thế giới đang
chuyển từ chƣơng trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của
ngƣời học (Competency-based Curriculum).
Theo Đặng Thành Hƣng (2014): “Bản chất của giáo dục theo tiếp cận

GS. Hoàng Tụy đã từng nói: “Vai trò quyết định đối với chất lƣợng
giáo dục vẫn thuộc về các yếu tố có liên quan trực tiếp tới ngƣời thầy”. Giáo
viên là ngƣời thiết kế, tổ chức và hƣớng dẫn học sinh tích cực, tự lực thực
hiện các nhiệm vụ học tập.
- Môi trường dạy học phải tạo điều kiện tƣơng tác tích cực giữa HS với
HS, giữa GV với HS, thúc đẩy và tạo cho HS thực hiện hóa năng lực của
mình thông qua quan sát, tìm tòi, khám phá, sáng tạo.
- Tích cực ứng dụng công nghệ, sử dụng đủ và hiệu quả các thiết bị dạy
học.
1.3. Dạy học môn Toán theo tiếp cận phát triển năng lực
- Năng lực toán học không chỉ bao hàm kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo mà
còn cả động cơ, thái độ, hứng thú và niềm tin trong học toán. Muốn có năng
lực toán học học sinh phải rèn luyện, thực hành, trải nghiệm trong học tập
môn Toán.
- Nhấn mạnh đến kết quả đầu ra, dựa trên những gì ngƣời học làm
đƣợc (có tính đến khả năng thực tế của học sinh). Khuyến khích ngƣời học
tìm tòi, khám phá tri thức toán học và vận dụng vào thực tiễn. Đích cuối cùng
cần đạt là phải hình thành đƣợc năng lực học tập môn Toán ở học sinh.
- Nhấn mạnh đến cách học, yếu tố tự học của ngƣời học. GV là ngƣời
hƣớng dẫn và thiết kế, còn HS phải tự xây dựng kiến thức và hiểu biết toán
học của riêng mình.
- Xây dựng môi trường dạy học tƣơng tác tích cực. Phối hợp các hoạt
động tƣơng tác của học sinh giữa các cá nhân, cặp đôi, nhóm hoặc hoạt động
chung cả lớp và hoạt động tƣơng tác giữa GV và HS trong quá trình dạy học
môn Toán.
- Khuyến khích việc ứng dụng công nghệ, thiết bị dạy học môn Toán
(đặc biệt là ứng dụng công nghệ và thiết bị dạy học hiện đại) nhằm tối ƣu hóa
việc phát huy năng lực của ngƣời học.

7

hoạt động của học sinh. Thông qua giải bài tập, học sinh cần thực hiện những
hoạt động: nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phƣơng

8


pháp; những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến
trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ.
Vai trò của bài tập toán học đƣợc thể hiện trên 3 bình diện (mục tiêu,
nội dung và phƣơng pháp dạy học do có liên hệ mật thiết với hoạt động của
học sinh), cụ thể nhƣ sau:
- Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trƣờng phổ thông
là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện
mức độ đạt mục tiêu. Ngoài ra, những bài tập cũng thể hiện những chức năng
khác nhau hƣớng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán cụ thể
là:
 Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau
của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn.
 Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những hoạt động tƣ duy, hình
những phẩm chất trí tuệ.
 Bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm
chất đạo đức của ngƣời lao động mới.
- Trên bình diện nội dụng dạy học, bài tập toán học là giá mang những
hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phƣơng tiện cài đặt nội
dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã đƣợc trình bày
trong phần lý thuyết.
- Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang
hoạt động để ngƣời học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó
thực hiện các mục tiêu dạy học khác.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập đƣợc sử dụng với những dụng ý khác

đó.
Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải
 Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải bài toán
 Xem lại toàn bộ các bƣớc giải bài toán, từ đó rút ra tri thức phƣơng
pháp để giải một bài toán.
 Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải
 Nghiên cứu giải những bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc vấn
đề.
10


1.5.3. Biểu hiện của năng lực tƣ duy và lập luận toán học trong quá trình
giải bài tập.
 Xác định đƣợc dạng toán:
- Dạng toán quen thuộc, đã từng gặp hay gặp dạng toán này ở một dạng
gần giống.
- Phát hiện đƣợc sự tƣơng đồng và khác biệt trong các dạng toán.
- Biết quy lạ về quen bằng cách có thể phát biểu bài toán bằng một
cách khác, đƣa thêm một số yếu tố phụ, ...
 Liên hệ với các bài toán liên quan có thể là dễ hơn hay tổng quát hơn
hay chỉ là một trƣờng hợp riêng.
 Liên hệ tới các bài toán thực tế.
 Tìm đƣợc nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán. So sánh các
cách giải xem có điểm gì giống và khác nhau; từ đó đƣa ra cách giải ngắn gọn
và hợp lí nhất.
Sau đây là ví dụ minh họa:
Ví dụ: Một mảnh vƣờn hình chữ nhật có tổng 2 cạnh là 16m và diện
tích là 60m2 . Tính độ dài hai cạnh của mảnh vƣờn.
 Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
- Đây là bài toán thực tế có nội dung hình học.



KẾT LUẬN CHƢƠNG 1
Với những gì đã nghiên cứu, có thể khẳng định việc dạy học theo
hƣớng phát triển năng lực tƣ duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 10 qua
dạy học một chủ đề giải toán là thiết thực nhằm nâng cao chất lƣợng dạy và
học. Sang chƣơng sau khóa luận sẽ xây dựng các dạng bài tập ứng dụng của
định lí Vi-et nhằm phát triển NLTD và LLTH.

13


CHƢƠNG 2:
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC QUA
DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ET
2.1 Định lý Vi-et
2.1.1. Vai trò
Định lý Vi-et là một nội dung cơ bản trong chƣơng trình toán THPT.
Ở cấp THCS chƣơng trình phần Đại số nói chung và chƣơng trình Đại
số 9 nói riêng thì việc giải phƣơng trình bậc 2 một ẩn là một nội dung quan
trọng. Định lý Vi-et có nhiều ứng dụng và nó giúp ta giải quyết đƣợc các dạng
toán liên quan đến phƣơng trình bậc hai một ần.
Dạy học ứng dụng của định lý Vi-et giúp học sinh:
- Hình thành các kiến thức cơ bản, có cái nhìn tổng thể về các ứng dụng
của định lý Vi-et.
- Có sự định hƣớng để giải các bài toán liên quan nhƣ: tìm điều kiện
của tham số thỏa mãn điều kiện cho trƣớc, tính giá trị biểu thức đối xứng giữa
các nghiệm, chứng minh bất đẳng thức, giải hệ phƣơng trình, sự tƣơng giao
của 2 đồ thị,...
- Việc khai thác giả thiết bài toán, tìm ra phƣơng pháp giải giúp học


an

an2

 x1 x2  x2 x3  ...  xn1 xn 
an


..............................

a

x1 x2 ...xn  (1) n 0

an


 Định lý đảo:
Cho n số thực tùy ý u1, u2 ,..., un .
Đặt

S1  u1  u2  ...  un
S2  u1u2  u2u3  ...  un1un

....................................
Sk 





 x1 x2  x2 x3  x1 x3 
a

d

x
x
x

1
2
3

a


 Định lý đảo:
Cho 3 số thực x1 , x2 , x3
15


Đặt

S1  x1  x2  x3

S2  x1x2  x2 x3  x1x3
S3  x1x2 x3

Khi đó x1 , x2 , x3 là các nghiệm của phƣơng trình:


Điều kiện để có 2 số đó là: S 2  4P  0 .
2.1.3 Một số dạng bài tập
 Dạng 1: Tìm 2 số biết tổng và tích
 Dạng 2: Tìm nghiệm còn lại khi phƣơng trình bậc hai một ẩn cho biết
trƣớc một nghiệm
 Dạng 3: Tính giá trị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm
 Dạng 4: Tìm giá trị tham số m thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm cho
trƣớc
 Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức
 Dạng 6: Tƣơng giao của hai đồ thị
 Dạng 7: Giải hệ phƣơng trình đối xứng loại I

16


2.2 Hệ thống bài tập về ứng dụng định lý Vi-et nhằm phát triển năng lực
tƣ duy và lập luận toán học
2.2.1 Dạng 1: Tìm 2 số khi biết tổng và tích
 Phƣơng pháp: Dựa vào định lý Vi-et đảo.
u  v  S
Nếu có 2 số u và v thỏa mãn: 
thì hai số đó là nghiệm của
uv

P


phƣơng trình: x2  Sx  P  0
Điều kiện để có 2 số đó là: S 2  4P  0 .


Nhận xét: Qua ví dụ 1 ta thấy HS đã thực hiện đƣợc tƣơng đối thành
thạo thao tác tƣ duy, cụ thể là phép đặc biệt hóa ( S = 1; P = -6 ). Đồng thời
biết lập luận vai trò của u, v là nhƣ nhau trƣớc khi kết luận. Từ đó, góp phần
phát triển năng lực tƣ duy và lập luận toán học.
 u  v  2
VD2: Tìm 2 số u và v biết:  2
2
u  v  20
17


Phân tích: Dựa vào giả thiết thì bài toán trên không thuộc dạng toán
thƣờng gặp nào mà ta đã biết. Vậy làm thế nào để đƣa về các dạng toán quen
thuộc?
Tìm cách giải: Để tìm 2 số u và v, ta dựa vào định lý Vi-et đảo. Tức là
ta phải tính đƣợc tổng và tích của 2 nghiệm. Mà bài toán đã cho biết tổng
u  v  2 , do đó ta chỉ cần đi tìm tích uv là quay trở về bài toán quen thuộc.
Để tìm tích uv ta liên hệ tới hằng đẳng thức: (u  v)2  u 2  v 2  2uv

 Lời giải:
Ta có: (u  v)2  u 2  v 2  2uv  (2)2  20  2uv  uv  8
Khi đó: u  v  2 ; uv  8 .
Ta thấy: (2)2  4.(8)  36  0 nên u và v là 2 nghiệm của PT:
x2  2 x  8  0 (*)

'  12  1.(8)  9  0  '  3

Suy ra PT (*) có 2 nghiệm phân biệt: x1  2, x2  4
u  4