PHẦN I. MỞ ĐẦU
I.1. Lý do chọn đề tài
Mục tiêu giáo dục xã hội đang đặt ra những yêu cầu cấp thiết cần giải quyết.
Điều 27, Mục 2, Chương II, Luật Giáo dục sửa đổi năm 2005 xác định:
“Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo
đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá
nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã
hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh
tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ
quốc; Giáo dục trung học cơ sở nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển
những kết quả của giáo dục tiểu học; có học vấn phổ thông ở trình độ cơ sở và
những hiểu biết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp để tiếp tục học trung học
phổ thông, trung cấp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động”.
Chương trình môn Toán THCS đã xác định mục tiêu về kiến thức, kỹ
năng, tư duy, tình cảm và thái độ học sinh cần đạt được ở cấp học; đã xây dựng
được kế hoạch, nội dung dạy học đảm bảo tính logic, thống nhất, cân đối giữa
các mạch nội dung và giữa các phân môn Số học, Đại số, Hình học. Đặc biệt
Chương trình Toán THCS đã xây dựng được chuẩn kiến thức, kỹ năng của từng
lớp với yêu cầu về mức độ cần đạt tối thiểu đối với từng chủ đề.
Sách giáo khoa môn Toán THCS đảm bảo tính chính xác, khoa học, thể
hiện đầy đủ chuẩn kiến thức, kĩ năng quy định trong chương trình. Sách giáo
khoa môn Toán THCS phù hợp với chương trình và với trình độ nhận thức của
học sinh.
Nhìn chung, chương trình, sách giáo khoa môn Toán đã tạo điều kiện ban
đầu thuận lợi cho giáo viên thực hiện các phương pháp dạy học, tích cực hóa
hoạt động học tập của học sinh. Nhiều chủ đề kiến thức trong sách giáo khoa thể
hiện tính liên thông kiến thức giữa các lớp trong bậc học, được vận dụng rất
nhiều trong các phân môn Số học, Đại số và Hình học không chỉ ở cấp THCS.
Một trong những chủ đề ấy là chủ đề về “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của biểu thức”.
Đi sâu nghiên cứu quá trình dạy, học Toán lớp 8, 9 THCS phần “Bất đẳng

Định hướng đổi mới phương pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực,
chủ động, tự lực, sáng tạo của học sinh; tăng cường kỹ năng thực hành, vận
dụng kiến thức, kỹ năng vào giải quyết các vấn đề thực tiễn góp phần hình thành
và phát triển năng lực học sinh; đa dạng hóa các hình thức học tập, chú trọng các
hoạt động trải nghiệm sáng tạo, nghiên cứu khoa học của học sinh; đẩy mạnh
ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy và học; Khắc phục lối
truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc; Tập trung dạy cách học, cách
nghĩ, khuyến khích tự học; bảo đảm cân đối giữa trang bị kiến thức, rèn luyện kỹ
năng và định hướng thái độ, hành vi cho học sinh; chú ý việc tổ chức dạy học
phân hoá theo năng lực của học sinh dựa theo chuẩn kiến thức, kỹ năng của
Chương trình giáo dục phổ thông; Đẩy mạnh việc vận dụng dạy học giải quyết
vấn đề, các phương pháp thực hành, dạy học theo dự án trong các môn học; tích
cực ứng dụng công nghệ thông tin phù hợp với nội dung bài học.
Phân môn Đại số 8 THCS hiện hành bao gồm 4 chương, được bố trí trong
70 tiết; trong đó số tiết lý thuyết: 42; số tiết luyện tập, thực hành, ôn tập: 20; số
tiết kiểm tra: 08.
Phân môn Đại số 9 THCS hiện hành bao gồm 4 chương, được bố trí trong
70 tiết; trong đó số tiết lý thuyết: 44; số tiết luyện tập, thực hành, ôn tập: 18; số
tiết kiểm tra: 08.
Chủ đề “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức” không xuất
hiện một cách tường minh trong chương trình Toán 8, 9 THCS hiện hành, mà chỉ
nêu sơ lược vài tính chất của bất đẳng thức thuộc tiết 57, 58, Chương IV, Đại số
8, nhưng lại được xuất hiện khá nhiều trong sách bài tập dưới dạng các bài tập
và trong các đề kiểm tra học kỳ, các đề thi học sinh giỏi môn Toán các cấp; Đòi
hỏi giáo viên trong quá trình dạy học Toán 8, 9 nói chung, đặc biệt là trong bồi
dưỡng học sinh giỏi Toán 8, 9 nói riêng phải hướng dẫn học sinh cả về lý thuyết
cơ bản và phương pháp giải toán “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu
thưc”; Giải quyết tốt chủ đề này sẽ góp phần phát huy tính tích cực, chủ động, tự
lực, sáng tạo của học sinh, tăng cường kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức,
kỹ năng vào giải quyết các vấn đề thực tiễn góp phần hình thành và phát triển

Kết quả bài kiểm tra định kỳ Môn Đại số lớp 9A, 9B, chương I, thời
lượng 45 phút, năm học 2017-2018; Đề kiểm tra có 4 câu; Thống kê kết quả câu
4 về “Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức”, kết quả như sau:

Lớp

Tổng số
HS

Số HS không
làm câu 4

Số HS làm sai
loại toán (không
đúng hướng)

Số HS làm đúng
hướng nhưng
chưa hoàn chỉnh
bài giải

Số HS làm đúng
hướng và hoàn
chỉnh bài giải

9A
9B

33
30


15
93,75

Số HS phát
hiện được
vấn đề
1
6,25

Điểm
yếu, kém

Điểm TB

15
93,75

1
6,25

Điểm
khá trở
lên
0
0

Rõ ràng khả năng giải bài tập về “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
biểu thức” đối với cả học sinh lớp 9 và học sinh khá, giỏi lớp 9 của Trường còn
quá hạn chế; Tỷ lệ yếu kém quá cao; Tỷ lệ khá, giỏi quá thấp.

Vế phải

+ Từ đó hướng dẫn học sinh suy nghĩ, khai thác khái niệm Bất đẳng thức:
Tồn tại khái niệm: “Bất đẳng thức đúng”, “Bất đẳng thức không đúng”;
Ví dụ: 10  10 là một bất đẳng thức đúng; 10 < 7 là một đẳng thức không
đúng (Còn gọi là đẳng thức sai).
2. Một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức số
1) a > b  a – b > 0
2) a > b  a + c > b + c với mọi c
3) a > b  ac > bc với mọi c > 0; a > b  ac < bc với mọi c < 0
4) a > b và b > c  a > c
5) a > b và c > d  a + c > b + d
6) a > b và c < d  a – c > b – d
7) a > b > 0 và c > d > 0  ac > bd
8) a > b > 0  an > bn (Với n nguyên dương)
9) a > b > 0  a  b
10) a > b và ab > 0 

1 1

a b

5


3. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
1- Xét hiệu hai vế.
2- Biến đổi tương đương.
3- Xuất phát từ bất đẳng thức đúng cùng dạng.
4- Làm giảm số biến.

b a

+ Với a và b cùng dấu ta có:

4.3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
1) a  0  a ; Dấu “=’ xảy ra khi a = 0
2) a  a ; Dấu “=’ xảy ra khi a  0
 a k

3) a  k (k  0)  
; Dấu “=’ xảy ra khi a = k
 a  k
4) a  k (k > 0)  - k  a  k ; Dấu “=’ xảy ra khi a = k
5) a  b  a + b ; Dấu “=’ xảy ra khi ab  0
6) a  b  a - b ; Dấu “=’ xảy ra khi b(a – b)  0
4.4. Bất đẳng thức Côsy
+ Bất đẳng thức Côsy cho hai số không âm a và b:
a b

2

ab Hay a + b  2 ab Hay (a + b)2  4ab; Dấu “=” xảy ra khi a = b

+ Bất đẳng thức Côsy cho ba số không âm a, b, c:
6


a b c

2


a1

a2

Dấu “=” xảy ra khi b = b
1
2
+ Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki cho bộ 2n số (a1; a2; …; an); (b1; b2; …;
(n  N, n  2):
a1b1  a 2 b2  ...  a n bn  ( a12  a 22  ...  a n2 )(b12  b22  ...  bn2 ) Hay
(a1b1 + a2b2 + … + anbn)2  (a12 + a22 + … + an2)(b12 + b22 + … + bn2)
an

Dấu “=” xảy ra khi b = b = … = b
1
2
n
+ Hướng dẫn học sinh tìm dấu hiệu nhận biết và phương pháp suy
nghĩ để sử dụng:
- Các số tuỳ ý.
- Tổng các tích, mỗi tích 2 nhân tử lấy theo thứ tự.
- Tích của tổng các bình phương; Mỗi nhân tử là tổng các bình phương
của các số thứ nhất hoặc thứ hai của các tích.
- Chiều từ tổng các tích sang tổng các bình phương là chiều “ ”.
- Giá trị tuyết đối.
II.3.2. Làm cho học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về “Tìm giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức”
1. Khái niệm về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
1.1. Cho biểu thức A có tập xác định (TXĐ) là X. Ta nói rằng:

+ Muốn tìm giá trị nhỏ nhất của A ta phải:
1) Tìm và chứng minh bất đẳng thức A  m với mọi bộ giá trị của biến
thuộc tập X (Với m là số xác định);
2) Chỉ ra tồn tại bộ giá trị của biến thuộc X sao cho A = m;
Khi đó ta nói A có GTNN bằng m và kí hiệu: min A = m; hoặc Amin = m,
ứng với bộ giá trị của biến đã nêu.
2.2. Giáo viên lưu ý học sinh phân biệt các bước giải trong lược đồ:
1) Tùy dạng của bài toán cụ thể mà ta sẽ lựa chọn một phương pháp
chứng minh BĐT phù hợp cũng như cách chỉ ra bộ giá trị của biến ở bước 2.
2) Ở bước 2: Chỉ cần chỉ ra một bộ giá trị của biến thuộc TXĐ thoả mãn
điều kiện A = M (A = m) mà không cần tìm tất cả các bộ giá trị của biến thoả
mãn điều kiện ấy. Muốn vậy chỉ cần:
+ Nhẩm chọn.
+ Giải hệ phương trình; giải phương trình; giải bất phương trình.
- Nếu không tồn tại bộ giá trị của biến thuộc X để A = M (A = m) thì
không kết luận gì về GTLN và GTNN của A.
3) Khi suy luận để chỉ ra bất đẳng thức A  M (A  m); cần xuất phát từ
biểu thức chứa biến đơn giản nhất biết dấu rồi biến đổi làm xuất hiện dần dần
biểu thức A.
+ Ví dụ: Biểu thức A được biến đổi về dạng A = ( x  1  2) 2  3 , thì phải từ biểu
thức: x  1 0 .
8


4) Khi biến nhận giá trị nguyên thì sử dụng phép làm trội.
+ Ví dụ: x nguyên thì từ x > 1 ta có x 2 .
3. Hai bài toán cực trị cơ bản: Xuất phát từ bất đẳng thức Côsy ta có:
3.1. Bài toán 1: Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng
lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.
Áp dụng: Trong số các hình chữ nhật có chu vi bằng nhau (Có cùng chu

4a
2
b 2 4ac  b
f(x) = a(x +
) +
] (1)
2a
4a
Do a  0 nên a > 0 hoặc a < 0;
b 2
Vì (x +
)  0 với mọi a  0 nên:
2a
b 2
4ac  b 2
- Nếu a > 0; Ta có: a(x +
)  0; Kết hợp với (1) suy ra f(x) 
;
2a
4a
b
b
Dấu “=” xảy ra khi x +
= 0, hay x = - ;
2a
2a
2
b
4ac  b
Từ đó ta có: minf(x) =

2) Học sinh rút ra kết luận tổng quát:
Cho đa thức bậc hai một biến x: f(x) = ax2 + bx + c (Với a  0)
b
4ac  b 2
, ứng với x = - ;
2a
4a
2
b
4ac  b
- Nếu a < 0, ta luôn có maxf(x) =
, ứng với x = 2a
4a

- Nếu a > 0, ta luôn có minf(x) =

+ Học sinh vận dụng kết quả này để giải quyết các bài toàn có liên quan,
giảm thời gian làm bài, tránh sai sót sơ đẳng trong biến đổi, đảm bảo tính chính
xác; Tuy nhiên bước đầu áp dụng, yêu cầu học sinh trình bày cụ thể phép biến
đổi để rèn luyện kỹ năng và tính chính xác.
3) Bài tập rèn luyện kỹ năng
Tìm GTLN hoặc GTNN của mỗi biểu thức sau:
a) A = 3x2 – 4x + 5
b) B = 5x – 7x2 – 1
c) C = 3xy – x2 – y2, trong đó x và y thỏa mãn phương trình 5x + 2y = 10.
d) D = (x2 – x + 1)2
e) E = x(x – 3)(x – 4)(x – 7)
+ Từ các bài tập c, d, e, giáo viên yêu cầu học sinh rút ra hướng giải.
II.3.3.2. Tìm GTLN, GTNN của đa thức bậc cao nhiều biến; Phương
pháp biến đổi đa thức thành tổng các đa thức bậc chẵn và một hằng số.

f ( x)

II.3.3.3. Tìm GTLN, GTNN của phân thức dạng A = g ( x) , trong đó
g(x) là đa thức bậc 2, f(x) là đa thức có bậc không lớn hơn 2.
1) Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức C =

3
4x  4x  5
2

+ Giáo viên hướng dẫn học sinh nhận xét bậc của tử và mẫu; Từ đó học
sinh suy nghĩ đến hướng biến đổi đa thức bậc hai.
Ta có: 4x2 – 4x + 5 = (2x – 1)2 + 4  4; do đó TXĐ của biểu thức C là R.
1
1
3
 , do đó C 
4
4
4x  4x  5
1
Dấu “=” xảy ra khi 2x – 1 = 0, hay x =
2
3
1
Vậy maxC = , ứng với x = .
4
2
x
2) Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức C = ( x  2016) 2 với x > 0.

 4.2016; C 
x+
= 2.2016 
C
4.2016
x
x
2016 2
Dấu “=” xảy ra khi x =
; Hay x = 2016 (Do x > 0)
x
1
Vậy maxC =
khi x = 2016.
4.2016
x2  x 1
3) Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTLN của biểu thức D = 2
.
x  x 1

Ta có

+ Rõ ràng đến đây học sinh sẽ mất phương hướng để giải quyết bài toán;
+ Giáo viên đặt vấn đề: Với mỗi giá trị của x thuộc tập xác đinh ta luôn
tìm được một giá trị tương ứng của D; Nếu tìm được miền giá trị của D ta có thể
tìm được GTLN hoặc GTNN của D.
11


Dễ thấy TXĐ của D là R.


Giả sử ta phải tìm GTNN (GTLN) của biểu thức A = g ( x)
- Tìm TXĐ của biểu thức;
- Giả sử tại x = a (thuộc TXĐ) thì biểu thức A có giá trị là k; khi đó ta
f (a)

có k = g (a) (1);
- Biến đổi (1) thành phương trình ẩn a với hệ số cao nhất là b;
- Xét hai trường hợp b = 0 và b  0;
- Từ điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai ta tìm được miền
giá trị của biểu thức A.
- Lập luận để tìm GTNN (GTLN).
4) Học sinh luyện tập:
+ Sử dụng phương pháp để giải bài tập ở ví dụ 1, 2.
+ Làm các bài tập theo yêu cầu của giáo viên.
II.3.3.4. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức bằng phương pháp phân
khoảng
1) Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức
M = ( x  2015) 2 + ( x  2016) 2 + (2017  x) 2
+ Học sinh dễ thấy việc biến đổi M về tổng của các giá trị tuyệt đối; Từ
việc xem xét phá dấu giá trị tuyệt đối giáo viên hướng dẫn học sinh phân khoảng
TXĐ của M là R. Khi đó M = x  2015 + x  2016 + x  2017
- Nếu x < 2015 thì x – 2015 < 0; x – 2016 < 0; x – 2017 < 0; Khi đó:
12


M = 2015 – x + 2016 – x + 2017 – x = 6048 – 3x
Do x < 2015 nên –x > -2015  6048 – 3x > 6048 – 6045 = 3
- Nếu 2015  x < 2016 thì x – 2015  0; x – 2016 < 0; x – 2017 < 0; Khi
đó: M = x – 2015 + 2016 – x + 2017 – x = 2018 – x


II.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
+ Học sinh có sự chuyển biến tiến bộ: Nền nếp học tập tốt hơn; Học sinh có
hứng thú học tập, phần lớn học sinh có sự say mê trong học tập, tích cực suy nghĩ
trước những bài toán khó; Tinh thần và ý thức học tập tiến bộ rõ rệt; Học sinh khi
giải các bài toán về “Tìm GTNN, GTLN của biểu thức” không còn cảm thấy
“sợ”, một bộ phận hộc sinh thể hiện được tính tự tin, linh hoạt và có nhu cầu
nghiên cứu, tìm tòi, mạnh dạn trong việc đề xuất hướng nghiên cứu, đề xuất thêm
nhiều bài toán mới; Một số học sinh đã giải quyết được một số bài toán khó.
+ Hiệu quả của quá trình dạy học được nâng lên: Chất lượng học tập môn
Toán tăng cao; Học sinh có thái độ đúng mực trong học tập các môn học khác;
Chất lượng học của học sinh khá giỏi tiến bộ rõ nét.
Sau khi triển khai và áp dụng đề tài, vốn kiến thức của bản thân cũng
được nâng lên, góp phần bổ sung kinh nghiệm cho việc giảng dạy không chỉ cho
của bản thân mà cho cả nhóm chuyên môn; Đề tài đã được Tổ chuyên môn đưa
13


vào nội dung sinh hoạt chuyên môn; Tập thể giáo viên dạy Toán của trường đã
nghiên cứu và triển khai áp dụng đề tài trong phạm vi trường; Kết quả là:
Phương pháp dạy học nêu trên phù hợp với việc dạy học bám sát đối tượng và
phát hiện học sinh khá giỏi, có khả năng phân loại học sinh để bồi dưỡng học sinh
khá giỏi.
Kết quả kiểm tra học kỳ II năm học 2017-2018 đối với hai lớp 9A, 9B:
Lớp

Tổng số HS

9A

9 -10
7
21,2%
5
16,7%

So với trước khi áp dụng đề tài thì số lượng học sinh làm được bài tập
tăng lên, tỷ lệ học sinh khá giỏi tăng đáng kể, tỷ lệ học sinh yếu giảm rõ rệt;
Trong năm học 2017-2018 đội tuyển học sinh giỏi lớp 8, lớp 9 do tôi phụ trách
đã đạt 2 giải trong Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện:
PHẦN III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
III.1. Kết luận
Để “Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi lớp 8, 9
ở trường THCS Vĩnh Hòa thông qua việc dạy học chủ đề Tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của biểu thức”, thiết thực nâng cao chất lượng bồi dưỡng học
sinh khá, giỏi lớp 8, 9, góp phần nâng cao chất lượng môn Toán lớp 8, 9, theo
Tôi cần thực hiện đồng bộ các giải pháp sau:
1. Hướng dẫn, củng cố, hệ thống hoá, khắc sâu cho học sinh các kiến thức
cơ bản về Bất đẳng thức; Qua đó hướng dẫn học sinh phương pháp suy nghĩ và
khai thác kiến thức.
2. Làm cho học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về “Tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức”
3. Hướng dẫn cho học sinh nghiên cứu và tìm phương pháp giải một số
dạng toán về “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức”.
4. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm GTNN và GTLN của biểu thức
Muốn vậy giáo viên cần lưu ý một số nội dung như sau:
- Nắm vững nội dung chương trình sách giáo khoa, sách bài tập, yêu cầu
về chuẩn kiến thức, kỹ năng để quán triệt trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi.
- Nghiên cứu cụ thể nội dung, cấu trúc của các bài tập trong sách giáo
khoa, sách bài tập để thiết kế dạy học theo hướng mở.

Vĩnh Hòa, ngày 10 tháng 3 năm 2019
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, không sao chép
nội dung của người khác
(Ký và ghi rõ họ tên)

Nguyễn Thị Liễu

15