ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THỊ TRANG

TOÁN TỬ SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THỊ TRANG

TOÁN TỬ SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. Trịnh Thanh Hải

THÁI NGUYÊN - 2019

1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Một số tính chất của toán tử sai phân . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Phương trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4

Phương trình sai phân phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Ứng dụng toán tử sai phân vào giải một số bài toán dành
cho học sinh khá, giỏi
2.1



Một số bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Kết luận

36

54

Tài liệu tham khảo

55

ii


Mở đầu
Toán tử sai phân cho ta nhiều lời giải thú vị khi ta dựa vào định nghĩa,
tính chất của toán tử sai phân để giải quyết một số bài toán sơ cấp, đơn cử:

• Bài toán chia hết, phần nguyên;
• Bài toán đếm của giải tích tổ hợp;
• Bài toán về giới hạn hàm số;
• Bài toán về bất đẳng thức;
• Tính tổng của một dãy số;
• Xác định số hạng tổng quát của một dãy số.
Ngoài việc vận dụng phương pháp sai phân vào các dạng bài toán kể
trên, ta còn có thể tìm thấy rất nhiều ví dụ minh họa việc vận dụng phương
pháp sai phân vào giải các bài toán thực tiễn.
Với mong muốn tìm hiểu, sưu tầm việc vận dụng toán tử sai phân vào


1.1

Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1. [5]. Cho h là một số thực khác 0 và hàm f (x). Khi

f (x + h) và f (x) là các số thực, ta gọi
∆h f (x) = f (x + h) − f (x)
là sai phân bậc nhất của f tại x với bước nhảy h. Cho các hàm f, g và số
thực c, ta có

∆h (f + g) = ∆h f (x) + ∆h g(x)
và

∆h (cf (x)) = c∆h f (x).
Ký hiệu ∆0h f (x) hoặc If (x) thay cho f (x).
Với bất kỳ số nguyên n

1, chúng ta định nghĩa sai phân bậc n bởi

∆nh f (x) = ∆n (∆n−1
h f )(x).
Ví dụ

∆2h f (x) = f (x + 2h) − 2f (x + h) + f (x),
∆3h f (x) = f (x + 3h) − 3f (x + 2h) + 3f (x + h) − f (x).

3


n

Cnk ∆k f (x);

f (x + n) =
k=0

trong trường hợp đặc biệt, nếu ∆m f (n) là hằng số khác 0 với mỗi số
nguyên dương n thì

n

Cnk ∆k f (0).

f (n) =
k=0

(ii) Nếu P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn , với an = 0 thì với mọi x,
ta có:

∆nh P (x) = an n!hn
và

∆m
h P (x) = 0, với m > n.
Với k là một số nguyên dương cho trước. Như một hàm của x, Cxk có
các tính chất:
k
(a) Cxk−1 + Cxk = Cx+1
(vì ∆Cxk = Cxk−1 ).

Tính chất 1.2.2. [4]. Ta có ∆n (xn ) = n!hn ; ∆m (xn ) = 0(m > n).
Chứng minh. Ta có

∆(xn ) = (x + h)n − xn
= n.hxn−1 + ...
∆2 (xn ) = ∆(nxn−1 h) + ...
= n.h∆(xn−1 ) + ...n(n − 1).h2 (xn−2 ) + ...
...
∆n (xn ) = n!hn .
Từ Tính chất 1.4.2, suy ra ∆m (xn ) = 0, ∀m > n.
Tính chất 1.2.3. [4]. Nếu P (x) là đa thức bậc n ta có:

∆P (x) = P (x + h) − P (x)
n

hi (i)
.p (x).
i!

=
i=1

Tính chất 1.2.4. [4].
n

Cni ∆i f (x).

f (x + nh) =
i=0



(−1)i Cin (1 + ∆)n−i f (x)

=
i=0
n

(−1)i Cin f (x + (n − i)h).

=
i=0

Tính chất 1.2.6. [4]. Giả sử f ∈ C n [a; b] và (x; x + nh) ⊂ θ(0; 1), khi đó:

∆n f (x)
= f (n) (x + θnh); θ ∈ (0; 1).
n
h
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp. Với n = 1, ta có công thức
số gia hữu hạn:
f (x + h) − f (x)
= f (x + θh).
h
Giả sử công thức đúng với k = n, nghĩa là:
∆n f (x)
= f (n) (x + θnh).
n
h
Ta chứng minh công thức trên đúng với k = n + 1.
Thật vậy, ta có:


với ∆xi = xi+1 − xi .
Vậy

n

∆xi = xn+1 − x1 .
i=1

Giả sử ∆ là toán tử sai phân D trên hàm giá trị thực. Với hàm giá trị
thực f tồn tại giới hạn:

df
f (x + h) − f (x)
= lim
.
dx h→0
h
Cho h = 1 và thay biến x bằng n ta có toán tử sai phân ∆. Như vậy
∆ có các tính chất của toán tử sai phân D.Ta xét một số tính chất thông
qua các định lý sau với D(xn ) = nxn−1 .
D(f (x)) =

n

Định lý 1.2.1. [7]. Nếu f (x) = x − = x(x − 1)...(x − n + 1) thì

∆f (x) = nx

n−1

= ex . Khi đó ta có thể tìm hàm f sao cho ∆f = f .
Từ đó ta có định lý sau.
7


Định lý 1.2.2. [7]. Nếu f (x) = 2x thì ∆f (x) = ∆2x = 2x .
Chứng minh.

∆f (x) = ∆2x
∆f (x) = 2x+1 − 2x
∆f (x) = 2x (2 − 1)
∆f (x) = 2x .
Định lý 1.2.3. [7]. Nếu f (x) =

x
k

thì ∆f (x) =

x
k−1

Chứng minh. Dựa vào tính chất dương và tương tự Định lý 1.2.1 ta có
x
∆f (x) = ∆
k
k
x−
∆f (x) = ∆
k!


a0 un+k + a1 un+k−1 + ... + ak un = fn ,
8

(1.3)


trong đó a0 , a1 , ..., ak (với a0 = 0, ak = 0) là các hệ số biểu thị bởi hằng số
cho trước hay các hàm số của n, fn là một hàm số của biến n, un là ẩn số
cần tìm.
Định nghĩa 1.3.3. [4].
+ Nếu fn ≡ 0 thì (1.3) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính
thuần nhất;
+ Nếu fn ≡ 0 thì (1.3) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính
không thuần nhất;
+ Nếu fn ≡ 0 và a0 , a1 , ..., ak là các hằng số, a0 = 0, ak = 0 thì (1.3)
trở thành

a0 un+k + a1 un+k−1 + ... + ak un = 0.

(1.4)

Đây là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc k với hệ số hằng.
+ Nếu a0 , a1 , ..., ak là các hàm số của n thì (1.3) là phương trình sai
phân tuyến tính với hệ số biến thiên.
Định nghĩa 1.3.4. [4].
+ Hàm số un thỏa mãn (1.3) là nghiệm của phương trình sai phân tuyến
tính (1.3).
+ Hàm số un thỏa mãn (1.4) được gọi là nghiệm tổng quát của phương
trình sai phân tuyến tính thuần nhất (1.4). Nếu với mọi tập giá trị ban đầu


λnj ta bổ sung thêm s − 1 nghiệm nλnj , n2 λnj , ..., ns−1 λnj cũng là các nghiệm
độc lập tuyến tính của (1.5). Khi đó
k

s−1

Ci λni

un =

Cji ni λnj ,

+
i=1

j=i=1

trong đó Cji và Ci là các hằng số tùy ý.
+ Trường hợp 3. Nếu (1.5) có nghiệm phức

λj = r(cos ϕ + i sin ϕ), tanϕ = b/a, r = |λj | =

√

a2 + b2

thì ta lấy thêm các nghiệm rn cos nϕ, rn sin nϕ. Khi đó
k


Nghiệm tổng quát là

un = C1 (n)un1 + C2 (n)un2 + ... + Ck (n)unk .
Phương pháp 3. Phương pháp đưa về dạng chính tắc của phương
trình sai phân tuyến tính
Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp k, k

3:

un+k = a1 un+k−1 + a2 un+k−2 + ... + ak un + fn .
Trong đó a1 , a2 , ..., ak là các hệ số; un , un+1 , ..., un+k là các ẩn; u0 , u1 , ..., uk−1
là các gia trị ban đầu.
Phương trình đã cho luôn đưa được về dạng chính tắc
→
−
→
−
−
y n+1 = A→
y n + f n.
Trong đó

 


uk−1
un+k
f0
 −
0

 ...

0

a2
0
1
...
0

... ak−1
... 0
... 0
... ...
... 0
11


ak

0

0

... 

1


Với mọi ma trận A đều tìm được ma trận Q không suy biến sao cho

k=1

Từ đó xác định được un .
Định nghĩa 1.3.5. [4]. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 có dạng:

aun+1 + bun = fn , với a, b = 0 hoặc un+1 = qun + fn , q = 0.
+ Nếu fn ≡ 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
+ Nếu fn ≡ 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không
thuần nhất.
+ Nếu a, b hay q là các hằng số thì ta có phương trình sai phân tuyến
tính cấp 1 với hệ số hằng.
+ Nếu a, b hay q là các hàm của n thì ta có phương trình sai phân tuyến
tính cấp 1 với hệ số biến thiên.
Nghiệm tổng quát un của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không
thuần nhất có dạng: un = un + u∗n , trong đó un là nghiệm tổng quát của
phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất và u∗n là nghiệm riêng
của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.
Nghiệm tổng quát un của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không
thuần nhất có dạng un = Cλn , với λ = −b/a hay λ = q .
Để tìm nghiệm riêng u∗n của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1
không thuần nhất, ta xét các trường hợp sau:
* Trường hợp 1. Nếu fn = Pm (n) là đa thức bậc m của n, m ∈ N
+ và λ = 1 thì u∗n = Qm (n).
+ và λ = 1 thì u∗n = nQm (n).
* Trường hợp 2. Nếu fn = αn Pm (n), α = 0, m ∈ N, Pm (n) là đa thức
bậc m của n
+ và λ = α thì u∗n = αn Qm (n).
12



Nghiệm tổng quát un của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 không
thuần nhất có dạng: un = un + u∗n , trong đó un là nghiệm tổng quát của
phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất và u∗n là nghiệm riêng
của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất.
13


Để tìm nghiệm tổng quát un của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2
thuần nhất, ta giải phương trình đặc trưng

aλ2 + bλ + c = 0.
+ Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt λ1 , λ2 thì số
hạng tổng quát có dạng:

un = c1 λn1 + c2 λn2 .
+ Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép λ1 = λ2 = λ thì số hạng
tổng quát có dạng:

un = (c1 + nc2 )λn .
+ Nếu phương trình đặc trưng không có nghiệm thực thì số hạng tổng
quát có dạng:

un = rn (c1 cos nϕ + c1 sin nϕ),
trong đó

r=

√

B

+ Nếu α = cos β + i sin β, i2 = −1 là nghiệm của phương trình đặc
trưng thì

u∗n = nTk (n) cos αn + Rk (n) sin αn.
Ví dụ 1.3.2. Giải phương trình sai phân

u = 2, u = 5.
0
1
un+2 = 5un+1 − 6un , ∀n ∈ N.
Giải. Xét phương trình đặc trưng

λ2 − 5λ + 6 = 0 ⇔ λ = 2 hoặc λ = 3.
Khi đó số hạng tổng quát của dãy có dạng un = c1 2n + c2 3n .
Theo giả thiết

u = 2,
0
u1 = 5.


c + c = 2,
1
2
⇔
2c1 + 3c2 = 5.


c = 1,
1

3
3

Theo giả thiết u1 = u2 = 1 ta có

√
3
C 1 + C
=1
1 2
2 2
√
C2 − 1 + C2 3 = 1
2

Vậy

2


C = 0
1
√
⇔
C2 = 2 3
3

√
nπ
2 3

aλ3 + bλ2 + cλ + d = 0.
+ Nếu phương trình đặc trưng có ba nghiệm phân biệt λ1 , λ2 , λ3 thì số
hạng tổng quát của dãy có dạng:

un = c1 λn1 + c2 λn2 + c3 λn3 .
+ Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm bội λ1 = λ2 = λ3 = λ thì số
hạng tổng quát của dãy có dạng:

un = (c1 n2 + c2 n + c3 )λn .
+ Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt λ1 và λ2 = λ3 =

λ thì số hạng tổng quát của dãy có dạng:
un = c1 λn1 + (c2 n + c3 )λn .
16


+ Nếu phương trình đặc trưng có một nghiệm thực λ và hai nghiệm
phức thì số hạng tổng quát của dãy có dạng:

un = c1 λn + c2 cos nϕ + c3 sin nϕ.
Tìm Nghiệm riêng u∗n của phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 không
thuần nhất:
* Trường hợp 1. Nếu fn = Pm (n) là đa thức bậc m của n, m ∈ N
+ và λ = 1 thì u∗n = Qm (n), m ∈ N.
+ và λ = 1 là nghiệm bội 1 thì u∗n = nQm (n), m ∈ N.
+ và λ = 1 là nghiệm bội 2 thì u∗n = n2 Qm (n), m ∈ N.
+ và λ = 1 là nghiệm bội 3 thì u∗n = n3 Qm (n), m ∈ N.
* Trường hợp 2. Nếu fn = vµn (hàm mũ)
+ và λ = µ thì u∗n = knµn .
+ và λ = µ là nghiệm đơn thì u∗n = kµn .

C1 = − 16

C2 =



C3 =

3
4
1
16 .

Vậy

un =

1
3
1
+ (n − 1) + .5n−1
16 4
16

Hay

un =

1 n−1
3

Phương pháp để đưa phương trình sai phân phi tuyến tính thành phương
trình sai phân tuyến tính:
Giả sử phương trình sai phân un = ϕ(un−1 , un−2 , ..., un−k ) là tuyến tính
hóa được với k giá trị bạn đầu u1 , u2 , ..., uk .
Khi đó cần tồn tại các hệ số a1 , a2 , ..., ak không đồng thời bằng 0 sao cho

un = a1 un−1 + a2 un−2 + ... + ak un−k .
Các giá trị uk+1 , uk+2 , ..., u2k tính trực tiếp qua k giá trị ban đầu u1 , u2 , ..., uk .
Ta có hệ phương trình:


uk+1 = a1 uk + a2 uk−1 + ... + ak u1




u
= a u a u + ... + a u
k+2

1 k+1 2 k

k 2


...





b = −1
Vậy un = 4un−1 − un−2 .
Ví dụ 1.4.3. Tuyến tính hóa và giải phương trình

un+1 = 5un +

24u2n + 1, u0 = 0, n ∈ N∗ .

Giải. Ta tìm a, b sao cho

un+1 = aun + bun−1

(1.7)

và u0 = 0, u1 = 1, u2 = 10, u3 = 99.
Thay vào phương trình (1.7) ta có


a = 10
a = 10
⇔
10a + b = 99
b = −1.
Do đó un = 10un−1 − un−2 .

√
Xét phương trình đặc trưng λ2 − 10λ + 1 = 0 ⇔ λ1,2 = 5 ± 2 6. Suy ra
√
√
un = C1 (5 + 2 6)n + C2 (5 − 2 6)n .

Ứng dụng toán tử sai phân vào giải
một số bài toán dành cho học sinh
khá, giỏi
Toán tử sai phân có nhiều ứng dụng quan trọng, nó không những góp
phần giải quyết các bài toán về dãy số mà còn giúp giải một số bài toán
khác như phương trình hàm, đa thức, bất đẳng thức. Trong chương này
chúng tôi xét một số ứng dụng của toán tử sai phân vào giải một số bài
toán sơ cấp như bài toán tìm số hạng tổng quát, bài toán tính tổng, bài
toán về bất đẳng thức, bài toán chia hết, phần nguyên, bài toán tổ hợp,
bài toán về giới hạn và một số bài toán khác. Nội dung chính của chương
này được tham khảo từ các tài liệu [1], [3], [4], [5], [6].

2.1

Ứng dụng toán tử sai phân vào giải bài toán tìm số hạng
tổng quát

Để tìm số hạng tổng quát của dãy {un } cho trước, ta đưa dãy đã cho
về dạng phương trình sai phân tuyến tính giải được. Giải phương trình sai
phân tuyến tính này ta sẽ tìm được số hạng tổng quát cần tìm.
Bài toán 2.1.1. Cho dãy {un }: u1 cho trước, un+1 = aun + b với a, b cho
trước. Hãy xác định số hạng tổng quát un của dãy số.
Giải.
Phương pháp 1.
20


+ Nếu a = 1 thì dãy số là cấp số cộng với công sai là b nên ta có

un = u1 + (n − 1)b.

(uk+1 − uk ) = un − u1 = (n − 1)b.
k=1

Hay un = u1 + (n − 1)b.
+ Nếu a = 1 thì

un+1 = aun + b ⇒

un+1
un
b
=
+
.
an+1
an an+1

Đặt

vn =

un
b
⇒
v
−
v
=
.
n+1

b
1
u1 n
un = a ( ) +
=
1
−
+
a
k+1
n−1
a
a
a(a
−
1)
a
a
k=1
n

= an−1 u1 −

b
b
+
.
a−1
a−1