CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
MÔ TẢ SÁNG KIẾN
Mã số:………………………………………
I. Tên sáng kiến:
“Giải pháp giúp học sinh lớp 11 hệ thống kiến thức và sử dụng máy tính cầm
tay cho bài toán viết phương trình tiếp tuyến với đường cong”
(Lê Thị Diệu, Nguyễn Ngọc Hữu. Nguyễn Văn Phong, @THPT Ca Văn Thỉnh)
II. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Áp dụng cho giáo viên giảng day môn Toán ở trường trung học phổ thông.
III. Mô tả bản chất của sáng kiến
1. Tình trạng giải pháp đã biết:
Để thực hiện tốt nhiệm vụ năm học mà bộ Giáo Dục và Đào Tạo đã phát động,
đối với người giáo viên đang trực tiếp làm công tác giảng dạy thì một nhiệm vụ
quan trọng là phải nâng cao chất lượng giảng dạy. Trong các biện pháp nâng cao
chất lượng giảng dạy thì việc đi sâu nghiên cứu chương trình mà mình đang trực
tiếp giảng dạy và các phương pháp tuyền thụ cho học sinh là rất cần thiết đối với
giáo viên.
Trong các năm qua tôi được phân công giảng dạy toán các lớp 11, nhận thấy
được trong quá trình học về phần phương trình tiếp tuyến với đường cong có số
em chưa hiểu kĩ và giải bài tập chưa đạt hiệu quả cao. Ttrong các kì thi gần đây, kể
cả kì thi Tốt nghiệp THPT năm nay Bộ Giáo Dục ra đề với hình thức thi trắc
nghiệm nên việc nắm vửng kiến thức để kết hợp với máy tính cầm tay ( MTCT)
( máy CASIO fx-570ES PLUS) áp dụng vào hình thức thi này không kém phần
quan trọng. Các em hiểu kĩ và kết hợp sử dụng MTCTthì sẽ đạt hiệu quả tối ưu.
1


Chính vì vậy, tôi đã viết lên một chút kinh nghiệm là: “Giải pháp giúp học sinh
lớp 11 hệ thống kiến thức và sử dụng máy tính cầm tay cho bài toán viết phương
trình tiếp tuyến với đường cong”

song song lí thuyết tôi hướng dẫn cách bấm máy tính áp dụng vào bài toán trắc
nghiệm
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ
Công thức phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số : y = f ( x) tại điểm M ( x0 , y0 )
thuộc đồ thị là:
y = f ′ ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ) (1)

•

x0 là hoành điểm tiếp xúc và f ( x0 ) là tung độ tiếp điểm

•

f ′ ( x0 ) là hệ số góc tiếp tuyến

+) nếu cho x0 , ta suy ra f ′ ( x0 ) , y0
+) nếu cho y0 , ta suy ra x0 ( giải phương trình f ( x0 ) = y0 )
* Đối với bài toán trắc nghiệm , trước khi tìm đáp án đúng bằng MTCT, ta sử dụng
phương pháp loại trừ bỏ bớt các đáp án không đúng
* Công thức ( 1 ) được viết lại dạng : y = kx + b với k = f ′( x0 ) và b = −kx0 + f ( x0 )
Như vậy viết phương trình tiếp tuyến là đi tìm hai số k và b. Ta sẽ dùng MTCT
tìm hai số này:
•

số k =

•

số



Dùng máy tính tìm a bằng cách tính đạo hàm, sau đó tìm b bằng cách lấy f(x) –
ax ( quay lai trên máy calc x? ….)
Ví dụ :Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số y =

2x − 1
với trục tung. Viết phương
x− 2

trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số trên tại điểm M:
3
4

A. y = − x +

1
2

3
4

B. y = x +

1
2

3
2

C. y = − x −

x−2

Vậy Pttt: y =

−3
,quay lại , nhập thêm
4
calc : x ? 0

= =

1
2

−3
1
x + , chọn kết quả A
4
2

Vấn đề là tìm x0 ?
Qua các phân tích trên ta thấy việc tìm phương trình tiếp tuyến bằng cách
sử dụng máy tính cầm tay chỉ cần có x0 thì ta sẽ tìm được các yếu tố cần
thiết khác. Vậy vấn đề là tìm x0 , nếu chưa cho x0 ta kết hợp kiến thức tìm,
sau đó tiếp tục bấm máy. Sau đây là một số trường hợp là các dạng thường
gặp nhất:
4


*DẠNG 1: Cho trước tiếp điểm M ( x0 , y0 )

ta có : x0 = 0, nhập vào máy
Giải :
d
( 3 x − 4 x3 )
dx
d
3x − 4 x3 )
(
dx

x=

nhập x = 0 , kết quả 3, quay lại và bấm

x= x

×(− x ) + (3 x − 4 x3 )

calc : x ?

0 bấm = kết quả 0

Vậy: phương trình tiếp tuyến là y = 3x, chọn kết quả B
Ví dụ 2: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

x4 x2
+
− 1 tại điểm có
4 2


A. y = − x − 3

B. y = − x + 2

C. y = x − 1

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
A. 2x − 2y = −1

B. 2x − 2y = 1

D. y = x + 2 .
1 

1

tại điểm A ;1÷:
2x
2 

C. 2x + 2y = 3

D. 2x + 2y = −3 .

2
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x − 3x + 1 tại giao điểm

2x − 1

của đồ thị hàm số với trục tung :

D. y = 3x − 1

Bài 6: Tiếp tuyến của parabol y = 4 − x 2 tại điểm (1; 3) tạo với 2 trục tọa độ một tam
giác vuông. Diện tích của tam giác vuông đó là:
A.
D.

25
4

B.

5
4

C.

5
.
2

6

25
2


Bài 7: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
A. 1/6



B.

1
9

C. −9

1
9

D. − .

ĐÁP ÁN: 1A, 2C, 3A, 4C, 5B, 6A, 7B, 8D, 9A
*Dạng 2: Cho biết tung độ tiếp điểm y0
Cách giải:
+ )Ta giải phương trình f ( x ) = y0 để tìm x0 ( lưu ý phương trình f ( x ) = y0 có
bao nhiêu nghiệm x0 là có bấy nhiêu tiếp tuyến ), sau đó áp dụng công thức 1
+ )Nếu dùng máy tính, giải phương trình f ( x ) = y0 bằng máy tìm x0 , bấm máy
như dạng 1
Ví dụ 1: Cho hàm số y =

2x − 4
có đồ thị là (H). Viết phương trình tiếp tuyến của
x −3

đồ thị hàm số tại giao điểm của (H) với trục hoành là:
A. y = 2x – 4

B. y = - 3x + 1

Vậy: chọn C
Ví dụ 2: Cho hàm số y = x 4 − 4 x 2 + 4 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm M thuộc đồ thị biết yM = 4
Phân tích: ta biết y0 = 4 , cần tìm x0 ( giải phương trình y = f(x) =4 )
Giải:
Ta có pt : 4 = x 4 − 4 x 2 + 4 ⇒ x 4 − 4 x 2 = 0 ⇒ x = 0 & x = ±2
MTCT:
d 4
( x − 4 x 2 + 4)
ấn = 0 quay lại và bấm
x =0
dx
d 4
x − 4 x 2 + 4 ) × ( − x ) + ( x 4 − 4 x 2 + 4 ) ấn = 4, suy ra tt y = 4
(
x= x
dx

quay lại và bấm tương tự x = -2 ⇒ y = −16 x − 28
quay lại và bấm tương tự x = 2 ⇒ y = 16 x − 28
Vậy có 3 phương trình tiếp tuyến thỏa đè bài là : y = 4 ; y = −16 x − 28 ; y = 16 x − 28
* Hạn chế: ở cách giải này, mỗi giá trị x thì ta phải bấm tìm k và b. Nếu giải theo
cách dùng số phức, có thể tính được nhiều kết quả cùng lúc, với cách này cần tính
y’.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

8


Bài 1: Cho đường cong ( H ) : y =

D. y = ( x − 1)

ĐÁP ÁN: 1B, 2D
*Dạng 3: phương trình tiếp tuyến cho trước hệ số góc K
Cách giải:
+ ) Ta giải phương trình f ′ ( x ) = K để tìm hoành độ tiếp điểm , tung độ tiếp
điểm,rồi áp dụng công thức 1.
+ ) Sử dụng máy giải phương trình f ′ ( x ) = K để tìm hoành độ, bấm máy.
Ví dụ: Cho hàm số f ( x) =

2x +1
, (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết
x −1

hệ số góc tiếp tuyến K= -3:
A. y = −3 x + 2; y = −3x – 2

B. y = −3x − 1; y = −3x + 11

C. y = −3 x + 5; y = −3x – 5

D. y = −3 x + 10; y = −3x – 4

Phân tích:
Không thấy trường hợp loại đáp án
'
Hệ số góc tiếp tuyến bằng k = f ( x0 )

Tính f’(x), giải phương trình f’(x) = -3 được hoành độ x0
Giải:

kết quả -1 , pttt y = -3x -1

d  2x +1 
 2x +1 

÷ x= x × ( − x ) + 
÷ calc : x ? 2
dx  x − 1 
 x −1 

ấn = ta có

kq 11, pttt y = -3x + 11

Vậy: chọn kết quả câu B
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
3

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x + 3x2 − 2 biết hệ số góc
3

tiếp tuyến k = -9:
A. y + 16 = −9(x + 3)

B. y − 16 = −9(x − 3)

C. y − 16 = −9(x + 3)

D. y = −9(x + 3) .


, tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất bằng bao nhiêu?
A. k = 3

B. k = 2

Bài 5. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
A. 1/6

C. k = 1

D. k = 0

x +1
tại điểm A( - 1 ; 0) có hệ số góc bằng
x −5

B. -1/6

C. 6/25

D. -6/25

ĐÁP ÁN: 1,2A, 3A, 4C, 5B.
*Dạng 4: phương trình tiếp tuyến cho song song với đường thẳng d: y = Kx + b :
Nhận xét: 2 đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau
Tiếp tuyến // d ⇒ f ′ ( x ) = K ( giống như trường hợp 3 )
10


( đả biét tiếp tuyến )

2
2
Ta có: x − 4 x + 1 = −2 ⇒ x − 4 x + 3 = 0 ⇒ 

d 1 3

2
 x − 2x + x + 2 ÷
dx  3
 x =1

ấn =

ta có kq -2

d 1 3

1 3

2
2
 x − 2x + x + 2 ÷ × ( −x ) +  x − 2x + x + 2 ÷
dx  3
x=x
3
 calc : x ? = 1 kq -10/3
y = k ( x − x1 ) + y1
⇒ tt: y = −2 x +

10

Bài 2. Cho hàm số y = − x2 − 4x + 3 có đồ thị (P). Nếu tt tại điểm M của (P) có hệ số
góc bằng 8, tìm hoành độ điểm M :
A. 12

C. −1

B. - 6

Bài 3. Gọi (C) là đồ thị của hàm số y =

D. 5

x3
− 2x 2 + x + 2 . Có hai tiếp tuyến của (C)
3

cùng song song với đường thẳng y = -2x + 5. Hai tiếp tuyến đó là :
A. y = -2x +
C. y = -2x -

10
và y = -2x + 2 ;
3

B. y = -2x + 4 và y = -2x – 2 ;

4
và y = -2x – 2 ;
3


D. 2

ĐÁP ÁN: 1D, 2B, 3A, 4A, 5D
* Dạng 5: phương trình tiếp tuyến cho vuông góc với đường thẳng y = Kx + b .
Nhận xét: 2 đường thẳng vuông góc có tích các hệ số góc bằng -1
12


Tiếp tuyến ⊥ d ⇒ f’(x).K = -1 ⇒ f’(x) = -1/K
( xem đã biết hệ số góc)
Cách giải:
+ ) Ta giải phương trình f ′ ( x ) =

−1
để tìm hoành độ tiếp điểm , suy ra tung
k

độ rồi áp dụng công thức 1
+ ) Giải bằng máy tính trước hết cần tính f’(x) bằng viết tính nhanh, bấm
máy giải pt f’(x) = -1/K tìm x ,bấm tìm tiếp tuyến
Ví dụ: Cho hàm số y =

x+2
( C ). Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp
x−2

tuyến vuông góc với đường thẳng d: y =

9
x + 2018

41
−4
7
x+ & y =
x−
9
9
9
9

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Bài 1. Cho hàm số y = − x 3 + 3x 2 − 3 có đồ thị (C). Số tiếp tuyến của (C) vuông góc
1
9

với đường thẳng y = x + 2017 là:
A. 1
Bài 2. Cho hàm số

B. 2
y = − x3 + 3x 2 − 2

C. 3

D. 0

có đồ thị (C). Số tiếp tuyến của (C) song song với

đường thẳng y = −9 x là:
A. 1

*Dạng 6: Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua điểm M(x1, y1)
cho trước: ( M(x1, y1) ∉ ( C )
Phân tích: Qua 1 điểm nằm ngoài ( C ), có rất nhiều đường thẳng, ta tìm đt thỏa
điều kiện là tiếp tuyến với ( C )
Cách giải:
+ ) Cách 1: Tìm tọa độ tiếp điểm
• Gọi M ( x0 , y0 ) là tiếp điểm. Khi đó: y0 = f ( x0 ) , y ' ( x0 ) = f ' ( x0 )
• Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M là: y = f ′ ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 )
• ∆ đi qua A ( xA ; y A ) nên: y A − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 (2)
• Giải phương trình (2) tìm được x0 , từ đó viết pttt ∆
+ ) Cách 2: dùng điều kiện tiếp xúc
• Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M có hệ số góc k:
y = k ( x − x1 ) + y1

•

 k = f '( x)

Điều kiện : (d) là tiếp tuyến với ( C ) ⇔ 
(I) có
 f ( x) = k ( x − x1 ) + y1
nghiệm.

14


Ta giải hệ phương trình (I) bằng phương pháp thế, tìm được x sau đó thế
vào tìm k, kết luận phương trình tiếp tuyến.
Lưu ý: Dạng bài tập này có kết hợp máy tính nhưng không hoàn toàn như
các dạng trên, có xen vào trình bài viết, lập luận.

4
4
2

Nhận xét: có thể bấm máy giải phương trình,…
BÀI TẬP
Bài 1 :Cho hàm số y =

x2 + x + 1
có đồ thị (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C )
x +1

đi qua điểm A(−1;0) :
3
4

A. y = x

3
4

C. y = 3( x + 1)

B. y = ( x + 1)

D. y = 3x + 1

Bài 2. Số đường thẳng đi qua điểm A(0;3) và tiếp xúc với đồ thị hàm số y=x42x2+3 bằng
A. 0



ĐÁP ÁN: 1B, 2D, 3A, 4C.
Tóm lai qua các ví dụ trên việc tìm phương trình tiếp tuyến trong bài trắc
nghiệm ta chỉ cần tìm hoành độ tiếp điểm x0 phần cón lại giai quyết bằng MTCT
3. Khả năng áp dụng của giải pháp:
Giải pháp “Giải pháp giúp học sinh lớp 11 hệ thống kiến thức và sử dụng
máy tính cầm tay cho bài toán viết phương trình tiếp tuyến với đường cong”
được áp dụng rộng rãi cho giáo viên dạy toán ở các trường phổ thông trung học,
việc áp dụng giải pháp này củng giúp ít rất nhiều cho các em ( nhất là những HS
trung bình, yếu ) hệ thống, phân loại được kiến thức và áp dụng linh hoạt vào sử
dụng MTCT nhằm giải bài toán trắc nghiệm đạt hiệu quả.
Trên đây chỉ là một vài cách sử dụng MTCT đơn giản cho học sinh lớp 11,
còn khá nhiều những cách khác nữa sâu rộng hơn. Tuy nhiên, trong một điều kiện
khác khi lên lớp 12 các em sẽ được tiếp cận cái mới hơn, đa dạng hơn.
4. Hiệu quả, lợi ích thu được do áp dụng giải pháp:
- Học sinh tự tin, mạnh dạn, chủ động và thích thú trong sử dụng MTCT chọn
kết quả chính xác cho bài trắc nghiệm.
- Nhiều em trong lớp có sự tiến bộ vượt trội
- Rèn luyện cho các em kĩ năng sử dụng MTCT.
Cụ thể: Năm học 2016-2017 tôi dạy lớp 11C2, áp dụng giải pháp trên cho lớp
này so với năm trước đó thì kết quả kiểm tra 45 phút của chương đạo hàm củng như
kết quả kì thi HKII, tôi thấy có kết quả tích cực rõ rệt.
Khi chưa áp dụng : hơn 50% học sinh chưa nắm được cách lập phương trình
tiếp tuyến với đường cong, không hiểu được phương trình tiếp tuyến với đường

16


cong tại một điểm và phương trình tiếp tuyến với đường cong đi qua một điểm.,
một số em không biết sử dụng MTCT cho chuyên đề này.