MỤC LỤC
NỘI DUNG
1. MỞ ĐẦU

TRANG
2

1.1. Lý do chọn đề tài

2

1.2. Mục đích nghiên cứu

2

1.3. Đối tượng nghiên cứu

3

1.4. Phương pháp nghiên cứu

3

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

3

2.1. Cơ sở lý luận

3



19

3.2. Kiến nghị

20

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. MỞ ĐẦU
1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1

1


Trong chương trình Toán ở bậc trung học, số phức được đưa vào cuối chương
trình giải tích 12, tuy nhiên còn rất đơn giản. Hơn nữa trong các kì thi tốt nghiệp THPT
và thi Đại học của những năm trước năm 2017 bài tập về phần số phức chiếm một
phần rất ít, thường ở mức độ không quá khó và tài liệu về số phức không nhiều và
thường tản mạn. Chính vì vậy ở nhũng năm trước khi học sinh học xong phần số phức
cũng chỉ làm được một số dạng toán đơn giản như giải được phương trình bậc hai
nghiệm phức, tính được các yếu tố liên quan đến số phức. Tuy nhiên năm 2017 cùng
với việc chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm thì tỉ lệ của
phần số phức được nâng lên, nội dung đa dạng hơn trong đó có một đến hai câu được
phân bố ở câu hỏi mức độ vận dụng và vận dụng cao. Để làm được các câu đó đòi hỏi
học sinh phải nắm vững kiến thức cơ bản, biết khai thác và vận dụng các kiến thức đó.
Với mong muốn giúp học sinh, nhất là học sinh khá, giỏi có thể tiếp cận và giải quyết
được các bài toán khó đó tôi đã chọn đề tài
“ HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC KẾT QUẢ MỘT SỐ BÀI TẬP

a. Nghiên cứu tài liệu :
- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục ... có liên quan đến nội dung đề tài
- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo.
- Tham khảo các đề minh họa thi THPT-QG của Bộ GD và đề thi thử của các trường
trên toàn Quốc
b. Thực nghiệm (giảng dạy): Đây là phương pháp chính.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
Để thực hiện đề tài, cần dựa trên những kiến thức cơ bản
- Các phép biến đổi về số phức, số phức liên hợp.
- Các phép tính về cộng trừ và nhân chia số phức.
- Các phép biến đổi liên quan đến mô đun của số phức.
- Các kiến thức về đường thẳng, đường tròn, đường elip trong mặt phẳng.
2.2. Thực trạng của đề tài
Năm học 2016 – 2017 Bộ GD-ĐT chuyển đổi hình thức thi THPT quốc gia của môn
toán từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phương pháp dạy và học cũng
phải thay đổi cho phù hợp.Trong đề thi môn toán của kỳ thi THPT Quốc Gia, trong các đề
minh họa của bộ GD - ĐT , và đề thi thử của các trường THPT trên toàn Quốc,học sinh
thường gặp một số câu số phức ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. và để làm các câu
số phức đó học sinh thường làm theo cách biến đổi đại số thông thường mà rất ít khai
thác các ‘’kết quả đẹp ‘’ có trong các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập để
có kiến thức nền tảng để giải toán nên có những bài toán cách giải dài và phức tạp.và
trở thành các bài toán khó đối với các em. Với đề tài: “ Hướng dẫn học sinh khai
thác kết quả một số bài tập trong sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao để giải quyết
một số bài toán mức độ vận dụng – vận dụng cao về số phức’’, tôi mong muốn mang
lại cho các em một cái nhìn mới về số phức, giúp các em thêm hiểu về số phức và tự
tin làm các bài toán về số phức.
2.3. Giải pháp tổ chức thực hiện
Do những tính chất đặc biệt của số phức nên khi giảng dạy nội dung này giáo
viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán giúp học sinh có cái nhìn sâu, rộng

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n > 0 ta có
4n
4n+2
4 n +1
a) i = 1
b) i = i
c) i = −1
Lời giải:

4 n+3
d) i = −i

2
3
4
Ta có: i = −1 , i = −i , i = 1 .

4n+2
4n 2
4n
4 n +1
4n
Vậy a) i = 1 b) i = i .i = i c) i = i .i = 1.( −1) = −1

Tổng quát:

4 n +3
4n 2
d) i = i .i = −i .



2 n

= ( 2i ) = 2n.i n
n

( (1− i)
; ( 1− i) =
2n

A = (1 + i ) 2018 + (1 − i ) 2018 = (2i )1009 + (−2i)1009 = 0 .

)

2 n

= ( −2i ) = (−2) n .i n
n

Chọn C

2016
2016
Câu 2. Tính giá trị các biểu thức sau: B = ( 3 + i) + ( 3 − i) . Biểu thức B có giá
tri là

A. −2

2017


Câu 3. Cho
;
;
. Tìm dạng đại số của w = z1 .z2 .z3 .
1037

A. 2

C. −2

− 21037 3i.

1021

B. −2

1037

3 + 21021 i.

1021

D. 2

3 + 21037 i.

3 − 21021 i.

Lời giải:




( 3 + i )3 = 8i

(1 − i )2 = −2i

( 3 − i )3 = −8i . …

Thì việc giải bài toán trở nên đơn giản hơn.
Bài tập củng cố tính chất.
2
3
17
2016
Câu 1. Số phức z thỏa z = 1 + 2i + 3i + 4i + ... + 18i + ... + 2017i . Khẳng định nào sau
đây là khẳng định đúng?

5

5


A.
B.
C.
D.

z có phần thực bằng 1009 và phần ảo 1008 .
z có phần thực bằng 1009 và phần ảo −1008 .
z có phần thực bằng −1008 và phần ảo bằng 1009 .

2016
B. S = 2

2016
D. S = -2

2
Câu 4. Gọi z1 , z 2 là 2 nghiệm của phương trình: z + 2t + 4 = 0 . Tính giá trị biểu thức

S = z12017 + z2 2017

A. 2

.

2018

2018
B. - 2

C. 0

D. i

Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn ( z − 3 + i ) ( 1 − i ) = ( 1 + i ) . Khi đó số phức w = z + 1 − 2i
có phần ảo?
1009
1009
A. 2 − 1 .
B. −2 .

1
z+z
z−z
a) Phần thực của số phức z bằng 2
. Phần ảo của số phức z bằng 2i
b) Số phức z là ảo khi và chỉ khi z = − z . Số phức z là thực khi và chỉ khi z = z
c)

Với mọi số phức

( )

z = z
n

n

z1 , z2

ta có :

z1 + z2 = z1 + z2

,

a)

(

. Tổng quát

z+z
2
, phần ảo của z

1
z−z
2i
là
.
b) z là số ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 ⇔ z + z = 0 tức là z = − z
z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng ⇔ z + z = 0 tức là z = z
b=

6

6


c)

z = a + bi, z ' = a '+ b ' i ( a, b, a ', b ' ∈ ¡

) thì

z + z ' = ( a + a; ) + ( b + b ' ) i = a + a '− (b + b ')i = a − bi + a '− b ' i = z + z '
,
z.z ' = (aa '− bb ') + (ab '+ ba ')i = (aa'-bb')-(ab'+ba') i

1
z'

1
1
⇔
=8
+
+
=8
2
÷= 8 ⇔
z
+
z
z
+
z
+
z
z
z − z  z − z ÷
z
−
z
z −z


(

)

)

2 z1 − 3i z2 = 17
2 z1 − 3iz2 = 17




a)
−4 12
−4 12


 z1 = 5 − 5 i
 z1 = 5 − 5 i
⇔
⇔
8
31
z = − + i
 z = − 8 − 31 i
2

 2
5 5
5 5

 z1 − iz2 = 6i

b) 3z1 − 2 z2 = 1

−33 22


A.

Lời giải: w

=

z = 3

B.

C.

z =1

D.

z =

1
3

2

z


1+ z + z
2z
= 1+

(

Câu 2. Cho số phức z ≠ 0 sao cho z không phải là số thực và

z
1 + z 2 là số thực .

w=

z

Tính giá trị biểu thức 1 + z
1
A. 5

2

.

1
B. 2

1
D. 3

C. 2

z
z
z


C. z = 2

. Chọn B .

D. z = 4

z +1 z +1
+
= 0 ⇒ ( z + 1) z − 1 + ( z − 1) z + 1 = 0
⇔ 2z z = 2
Lời giải: Từ giả thiết: z − 1 z − 1

(

⇔ zz =1⇔ z =1

)

(

)

. Chọn A

2.3.3. Sử dụng tính chất của mô đun số phức
A . Cơ sở lí thuyết
Số phức
được biểu diễn bởi điểm
z = a + bi

Cho z = a + bi
1)
2)

2
2
(a, b ∈ ¡ ) ; z = a + b ta có các tính chất sau

z = z = − z = iz = −iz
z. z = z

2

Bài tập 8 (Sgk GT 12 nâng cao)
Chứng minh rằngr
r
a) Nếu véc tơ u của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của u
là

r
u = z,

và từ đó nếu các điểm

uuuur
A1 A2 = z1 − z2

b)

A1 , A2

z = a2 + b2

r
; u

r
u = z

r

biểu diễn số z thì u có tọa độ ( a , b ) và

uuur uuuu
r
A1 , A2
z1 , z2
OA1 , OA2
. Vậy
.
theo thứ tự biểu diễn
thì
theo thứ tự
uuuur
uuuur uuur uuuu
r
A A = z1 − z2
biểu diễn z1 , z2 ⇒ A2 A1 = OA1 − OA2 biểu diễn số phức z1 − z2 .Vậy 1 2
.
2
2


z'
z' z'z
1
1
1
= 2 = 2 z'z = 2 z' z = 2 z' z =
z
z
z
z
z
z

.

r
r
r r
c) u biểu diễn z , u ' biểu diễn z ' thì u + u ' biểu diễn z + z '

và

r r
z + z' = u +u'

khi z.z ' ≠ 0 thì
r r
r r 2 r2 r
rr


z + z' ≤ z + z'.
Còn khi z.z ' = 0 thì rõ ràng

B .Ví dụ minh họa

9

9


2.3.3.1. Dạng 1:Sử dụng tính chất modun số phức trong bài toán tính giá trị của
biểu thức.
2
2
Kiến thức thường sử dụng : Cho z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) ; z = a + b ta có các tính
chất sau

z = z = −z



2

; z. z = z .

Với mọi số phức z , z’ ta có




2

z1 + z2

z1 − z2

2

2

) = ( z + z ) ( z + z ) = z .z + z .z
1

2

1

2

1

1

2

2

+ z1.z 2 + z 2 .z1

+ z1 z2 + z2 z1 ⇒ z1 z2 + z2 z1 = 1


.

2018 z1 − 2019 z2

Lời giải:
2018 z1 − 2019 z2

2

(

= ( 2018 z1 − 2019 z2 ) 2018 z1 − 2019 z2

2

2

2

2

(

= 20182 z1 + 20192 z2 − 2018.2019 z1 z2 + z1 z2

(

)


2

2

2

2

= z1 + z2 + z1 .z2 + z1 .z2

(

.

= z1 + z2 − z1 .z2 + z1 .z2

z1 + z2 + z1 − z2

2

2

= 2 z1 + 2 z2

2

)

.





.

(

mz1 + nz2 = ( mz1 + nz2 ) ( mz1 + nz2 ) = m 2 z1 + n 2 z2 + mn z1 z2 + z1 .z2
2

2

2

)

Bài tập củng cố
z + 2w = 3

Câu 1. Cho hai số phức z , w thỏa mãn
trị của biểu thức P = z.w + z.w .
A. P = −14i .
B. P = −28i .
Lời giải: Ta có:

,

2 z + 3w = 6

và

)

2
2
2
2 z + 3w = 6 ⇔ 2 z + 3w = 36 ⇔ ( 2 z + 3w ) . 2 z + 3w = 36 ⇔ 4 z + 6 P + 9 w = 36 ( 2 )

(

)

2
2
z + 4w = 7 ⇔ ( z + 4 w ) . z + 4 w = 49 ⇔ z + 4 P + 16 w = 49 ( 3)

.

.

 z 2 = 33


 P = −28
 2
w = 8 ⇒ P = −28
1) ( 2 ) ( 3)
(
Giải hệ phương trình gồm ,
,
ta có: 

2
2
( z + 9 ) ( z + 9 ) = 243
( z + 9 ) z + 9 = z + 9 = 243

(

)

 z.z = 9
 z. z = 9
⇔
⇔ 2
2
2
2
2
( z.z ) + 9 ( z + z ) + 81 = 243  z + z = 9
( z + z ) 2 = z 2 + z 2 + 2z.z = 9 + 2.9 = 27 ⇒ z + z = 3 3

2
2
2
( z − z ) = z + z − 2z.z = 9 − 2.9 = −9 ⇒ z + z = 3
Do đó
. Vậy P = 3 + 3 3 Chọn A.

11

11

2

2

( 25 z

2

)

+ 25 = 50 ⇔ z

2

(z

2

)

+1 = 2

2

⇔ z =1 ⇔ z =1

Thử lại: Với

z =1


. dấu '' = '' xảy ra khi z1 = kz2 với k ≥ 0

2

z1 + z 2 + z1 − z 2

2

(

2

= 2 z1 + z 2

Ví dụ 1. Gọi M và

m

2

)

.Từ đó suy ra

(

2

z1 + z 2 ≤ 2 z1 + z 2


=
≤
= 2+ ≤
z
z
z
z 2

P=

2z −i
2z + i
2z + i
1 3
=
≥
= 2− ≥
z
z
z
z 2

. Dấu bằng xảy ra khi z = 2i . Suy ra

M=

. Dấu bằng xảy ra khi z = −2i . Suy ra

5
2.

 z1 = 0

  z1 ≠ 0
 ∃k ≤ 0, k ∈ R , z2 = kz1
Dấu = thứ nhất xảy ra khi và chỉ khi 
 z1 = 0

  z1 ≠ 0
 ∃k ≥ 0, k ∈ R , z2 = kz1
Dấu = thứ hai xảy ra khi và chỉ khi 

1−

Ta có

1−

i
i
1
1
≤ T ≤ 1 + ⇔ 1− ≤ T ≤ 1+
z
z
z
z

1
1
1

2 khi  z = 2
. Khi đó z = 2i .

k ≤ 0, k ∈ R

1
i

⇔ k = −
 = k .1
2

1
3 1
z
=
M +m = + = 2

z
=
2
2 khi 
2 2
. Khi đó z = −2i . Vậy
.

z − z = 2,
Ví dụ 3. Với hai số phức z1 và z 2 thỏa mãn z1 + z 2 = 8 + 6i và 1 2
tìm giá trị lớn


(

)

(

z1 + z 2 + z1 − z 2 = ( z1 + z 2 ) z1 + z 2 + ( z1 − z 2 ) z1 − z 2
2

2

(

2

2

2

z1 + z 2 + z1 − z 2 = 2 z1 + z 2

) và z.z = z

)

( *)

2

. Khi đó

1

2

2

+ z1 − z 2 = 14

2

Theo bất đằng thức Bunhiacopxki, ta được

(

2

P = z1 + z 2 ≤ 2 z1 + z 2

2

)=

14

Bài tập củng cố.
Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn z không phải là số thực và
trị lớn nhất của biểu thức
A. 2 .
Lời giải : Do
⇔

=
⇔ 2 z + z. z = 2 z + z 2 . z ⇔ 2 z − z = z . z z − z ⇔ z − z
2
2
2+ z
2+ z
2

⇔ z =2

D. 8 .

)( z

2

)

−2 =0

(vì z không là số thực nên z − z ≠ 0 ) ⇔ z = 2

′
Ta có z − 1 + i ≤ z + 1 − i = 2 + 2 = 2 2 ⇔ M ≤ 2 2 . Chọn B.

Câu 2. Cho các số phức z và w thỏa mãn
T = w +1 − i

( 2 + i)



⇒ ( 2 z − 1) + ( z + 1) i =

z ⇔
w

( 2 z − 1) + ( z + 1)
2

2

=

z
z
2
⇔ 5 z −2 z +2 =
w
w

.

2
⇒ z >0
t = z ( t > 0)
Vì 5 z − 2 z + 2 > 0 ∀z
. Đặt
.
2
1

3 .
Khi đó:

w = k ( 1 − i ) ( k ∈ ¡ , k ≥ 0 )

2

⇔w =
3

2
1
z =2
⇒k 2=
⇔k=
3
3
Dấu đẳng thức xảy ra 
1 1
4 2
⇔w= − i
max T =
3 3 . Vậy
3 . Chọn A.

Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn z + ( 4 + 3z ) i = 4 + ( 1 + i ) z . Tìm mệnh đề đúng.
A.

0< z ≤



+ ( r − 4)

2

⇔ 10r 2 = 2r 2 + 32 ⇔ r 2 = 4 ⇔ r = 2. Vậy z = 2. Chọn B.

2.3.3.3 Dạng 3:Sử dụng tính chất modun số phức trong bài toán :Ứng dụng hình
học của số phức
Kiến thức thường sử dụng.
15

15


Bài tập 8 (Sgk GT 12 nâng cao )
r
r
u
u
1). Nếu véc tơ của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của véc tơ là
r
u = z
và từ đó nếu các điểm A1 , A2 theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 thì
uuuur
A1 A2 = z2 − z1 = A1 A2

.

2

diễn số 2 − 3i
z − ( −i ) = z − (2 − 3i ) ⇔ MA = MB ⇔ M
Giả thiết
thuộc đường trung trực của AB hay
⇒ M ∈ đường thẳng : x- y - 3 =0

2.
3.

z + i = z − 2 − 3i ⇔ z + 1 = z − 2 − 3i = z − 2 − 3i

Trở về câu (a)

iz − 1 = z − 2 − 3i ⇔ i iz − 1 = z − 2 − 3i ⇔ i 2 z − i = z − 2 + 3i ⇔ z + i = z − 2 + 3i

Trở về câu (a)
z1 z2 = z1 z2
z = −z = z

Ở ý b,c giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng tính chất : i = 1

16

16


Ví dụ 2: Cho số phức
điểm biểu diễn số phức
Lời giải: Ta có



w +1 = 0

thì điểm biểu diễn số phức

w

là điểm

A ( 1; 0 )

TH2: w + 1 − 4i = w + 1 + i thì tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường thẳng
2y −3 = 0

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức
và điểm

A ( 1;0 )

w = z − 2 + 2i

. Là đường thẳng

2y −3 = 0

.

Ví dụ 3 Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z biết
Lời giải: áp dụng các công thức :




B.

(E)

M

lần lượt biễu diễn

z

, −3i , 3i . Với

F1 , F2

nằm

. uuuur biễu diễn số phức
.
z + 3i F M
z − 3i
2

 MF + MF2 = 10
⇔ 1
 F1 F2 = 6

là Elip có độ dài trục lớn bằng


∆ABC

Lời giải: Ta có:

C. .

AB = z − z = z . z − 1
2

Đặt

Giả sử tam giác vuông tại

D. .

2

2

BC = z 3 − z 2 = z . z − 1

. Có

vuông.

B.Vô số.

1

z, z 2 , z 3 ( z ∈ £ )


)

(trong đó

.

z = −1 + yi

,

,

z 2 = 1 − y 2 − 2 yi z 3 = ( −1 + 3 y 2 ) + ( 3 y − y 3 ) i

18

18


Khi đó uuur

uuur uuur

, uuur

AB = ( 2 − y 2 ; −3 y )

AC = ( 3 y 2 ; 2 y − y 3 )



. Tính

có điểm biểu diễn thuộc

( −1;0 )

z1 = 6, z2 = 2

·
MON
= 60°

B.

z

do

. Gọi

T = z12 + 9 z22

.

C.

c>0

) .Chọn B.

Khi đó ta có
.
uuuu
r uuur uuuu
r uuur
uuuu
r uur
z1 − 3iz2 . z1 + 3iz2 = OM − OP . OM + OP = PM . 2OI = 2 PM .OI
·
Do MON
= 60°

và

OM = OP = 6

nên

∆MOP

đều suy ra

PM = 6

và

.
3
OI = 6.
=3 3

lần lượt là các

là:

19


A. Tam giác đều.

B. Tam giác vuông tại

C. Tam giác tù.

D. Tam giác có một góc bằng

Lời giải:
Ta có

z13 + z23 = ( z1 + z2 )( z12 − z1 z2 + z22 ) = 0

3
2

3

.
450

.


đến phức tạp. Nhờ sử dụng các tính chất cơ bản của số phức mà nhiều bài toán có lời
giải trở nên ‘’sáng sủa’’ ngắn gọn. Các em học sinh thấy được tầm quan trọng của việc
khai thác hệ thống bài tập trong SGK và sách bài tập.Khi dạy các bài tập 6,7,8 cần
nhấn mạnh dạng toán, các kiến thức liên hệ, khắc sâu ví dụ. Đối với mỗi một dạng
toán nhỏ cần phân tích lý do, hiệu quả của việc vận dụng kiến thức đó, liên hệ đến các
trường hợp riêng, trường hợp đặc biệt, nhìn nhận, so sánh với các cách giải khác đã
được học. Từ đó tiết dạy đạt hiệu quả cao hơn, rèn được tính chủ động lĩnh hội kiến
thức của học sinh, ý thức học tập nghiêm túc, có khả năng cảm nhận toán học tốt hơn.
Qua thực tế, trực tiếp giảng dạy sáng kiến kinh nghiệm này trong các tiết chuyên
đề của các lớp 12T5, năm học 2018 - 2019, tôi nhận thấy rằng các em tiếp thu được
kiến thức tự tin hơn khi gặp các bài số phức ở mức độ vận dụng và vận dụng cao.
Sau khi áp dụng đề tài trên tôi đã khảo sát học sinh và thu được kết quả như sau:
Trước khi dạy chuyên đề.
Lớp
12T5

Sĩ
số
45

Giỏi
SL
%
5 11.1

Khá
SL
%
14 31.1


%
15 33.3

Khá
SL
%
19 42.2

TB
SL
9

20

Yếu
%
20.0

SL
2

%
4.5

Kém
SL
%
0
0


số phức, hướng dẫn học sinh khai thác và vận dụng nội dung các dạng bài tập được đề
cập đến trong sách giáo khoa để biến các bài toán ‘lạ ‘ thành các dạng bài toán quen
thuộc , tạo hứng thú trong học tập của học sinh để việc phát hiện cách giải và giải
quyết bài toán được dễ dàng.
3.2.2. Đối với nhà trường :
Cần có sự động viên nhiều hơn nữa trong phong trào đổi mới phương pháp dạy học,
kiểm tra đánh giá học sinh theo định hướng phát huy năng lực học sinh, viết và áp
dụng SKKN.
3.2.3. Đối với sở giáo dục :
21

21


Phát triển và nhân rộng những đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời sau
mỗi năm sở sẽ tập hợp những sáng kiến kinh nghiệm đạt giải in thành sách nội bộ để
gửi về các trường làm sách tham khảo cho học sinh và giáo viên.
Cuối cùng xin trân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn và các
em học sinh đã giúp đỡ tôi hoàn thành SKKN này.
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác
Người viết

Lê Thị Thúy

TÀI LIỆU THAM KHẢO