SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG I

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT QUẢNG
XƯƠNG 1 SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH
HỌC ĐỂ GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN
TRẮC NGHIỆM VỀ CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC

Người thực hiện
: Lê Thị Phương Thảo
Chức vụ
: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực : Toán học

THANH HOÁ, NĂM 2019


MỤC LỤC
Mục

Nội dung

Trang

1. Mở đầu
1.1

Lý do chọn đề tài


3

2.3

Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề

4

2.4

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

14

3. Kết luận, kiến nghị
3.1

Kết luận

14

3.2

Kiến nghị

14

2


để giải quyết vấn đề nhanh, chính xác nhất.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài được áp dụng trong chương số phức của chương trình giải tích lớp
12, học sinh ôn thi THPT Quốc gia.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Trên cơ sở lý thuyết cơ bản trong sách giáo khoa, trước các câu hỏi trắc
nghiệm về cực trị của số phức, tôi thường hướng dẫn học sinh nêu vấn đề từ
những kiến thức nào đã học, trình bày bài số phức rồi mới nhận dạng có dài, mất
thời gian hay không ? Có giải quyết được vấn đề hay không ? Có gặp khó khăn
gì không? Từ đó khuyến khích các em, phát hiện và tìm ra những đặc điểm đặc
trưng có thể làm dấu hiệu nhận biết để giải quyết vấn đề chính xác và triệt để.
Để học sinh tiếp cận vấn đề, tôi đưa các bài toán đặc trưng từ cơ bản rồi
mới mở rộng lên bài toán cực trị của số phức thông qua hệ thống kiến thức liên
quan, nhận xét dấu hiệu nhận biết đặc trưng, đến các bài toán cụ thể để học sinh
3


hình dung một cách trực quan và biết cách sử dụng phương pháp hình học vào
các bài toán đó để đưa ra được phương án trả lời nhanh và chính xác nhất.
2 – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
2.1. Cơ sở lí luận:
Để thực hiện đề tài, cần dựa trên những kiến thức cơ bản:
a)Biểu diễn hình học của số phức
Mỗi số phức z = x + iy ( x, y ∈ R ) được biểu diễn trong mặt phẳng Oxy là
một điểm M ( x; y ) . Khi đó:
uuuu
r
+) Môđun của số phức z bằng OM .
+) Hai điểm biểu diễn của số phức z và số phức liên hợp của số phức z đối
xứng nhau qua trục hoành.

Nhận xét 2: (Một số kiến thức bổ sung).
+)Phương trình đường thẳng ax + by + c = 0.
+) Phương trình đưòng tròn (x − a)2 + (y − b)2 = R2.
x2 y2
+) Phương trình Elip : 2 + 2 = 1
a
b
+) Phương trình Parabol y = ax2
b)Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z
Giả sử M, A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z, a, b.
+) | z − a |=| z − b |<=> MA = MB . Khi đó tập hợp M là đường thẳng trung trực
của đoạn AB.
+) |z - a| = R <=> |MA| = R. Khi đó tập hợp M thuộc đưòng tròn tâm A, bán kính
R.
+) |z - a| + |z - b| = k <=> MA + MB = k (k>0, k ∈ R, |a - b| < k). Khi đó tập
hợp
M là đưòng Elip nhận A, B là hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Số phức là một trong những nội dung quan trọng chương trình toán lớp12
và không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia. Bài toán về cực trị của số phức
là phần thể hiện rõ việc nắm kiến thức một cách hệ thống bao quát và cũng là
phần thể hiện được kĩ năng nhận dạng và tính toán nhanh nhạy, kĩ năng tổng hợp
kiến thức của học sinh khi thực hiện giải quyếvấn đề.
Vì vậy, câu hỏi trắc nghiệm về cực trị của số phức thoạt nhìn thì có vẻ đơn
giản nhưng nếu học sinh không nắm được các dấu hiệu đặc trưng thì thời gian
giải quyết vấn đề lâu, mất nhiều công sức, tạo tâm lí nặng nề, mất bình tĩnh, và
tiêu tốn thời gian dành cho những câu trắc nghiệm khác.
Theo số liệu thống kê trước khi dạy đề tài này ở lớp 12T3 tôi trực tiếp
giảng dạy năm học 2017 - 2018 trường THPT Quảng Xương 1, kết quả như sau:
Năm

khăn do thời gian để xử lí bốn phương án trả lời sẽ mất quá nhiều thời gian và
5


mệt mỏi, học sinh tự đặt câu hỏi có thể dựa trên một số đặc điểm đặc trưng nào
của các dạng đồ thị hàm số biểu diễn hình học của số phức để tìm được phương
án chính xác một cách nhanh nhất.
Sau đây ta sẽ xét một số dạng bài toán quen thuộc và phương pháp hình
học giải nhanh câu hỏi trắc nghiệm về cực trị của số phức, tôi đưa ra một số bài
toán cơ bản và ví dụ minh hoạ, trên cơ sở lý thuyết đã có hướng dẫn học sinh
cách phân tích sử dụng phương pháp hình học phù để đưa ra cách giải đúng và
ngắn gọn nhất:
2.3.1. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z.
Bài toán 1 : (Đề thi minh họa THPT Quốc gia 2017). Cho số phức z thoả
mãn z = 4 . Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z = (3 + 4i)z + i là
đưòng tròn tâm I bán kính R khi đó:
B. I (1;0); R = 10
A. I (0;1); R = 2 5
C. I (0;1); R = 20
D. I (1; −2); R = 22
Lời giải .

Từ giả thiết z = (3 + 4i ) z + i <=>| z − i |=| (3 + 4i ) z |<=>| z − i |= 32 + 4 2 | z |
<=>| z − i |= 5.4 <=>| z − i |= 20 .
Giả sử: z = x + yi thì ta có x 2 + ( y − 1) 2 = 20 .
Tập hợp điểm M trong mặt phẳng là đường tròn tâm I(0;1) bán kính R = 20
Đáp án đúng là A.
Bài toán 2: (Đề thi thử THPT Quốc gia 2018 lần 1 của trường THPT Trần
2 z − z + 3i
= 3 . Tập hợp các điểm

C.
Bài toán 4 : Điểm M biểu diễn số phức z ( z ≠ 0) và điểm M’ biểu diễn số
1
phức z −1 = . Nếu điểm M di động trên đường tròn tâm A(-1;1) bán kính
z
R = 2 thì M’ di động trên đường nào?
B. 2 x + 2 y + 1 = 0
A. x 2 + y 2 + 2 x − 2 y = 0
C. 2 x − 2 y + 1 = 0
D. 2 x + 2 y − 1 = 0

7


x

x
'
=

z
x2 + y 2

−1 1
z
=
=
Lời giải: Ta có:
. Do đó 
z | z |2

*Bài tập tự luyện:
8


Bài 1: Cho các số phức z thoả mãn |z| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn
các số phức w = 3 - 2i + (2 - i)z là một đường tròn. Tính bán kính r của đường
tròn đó.
A. 20
C. 7
B. 20
D. 7
Bài 2: Cho các số phức z thoả mãn |z - 1| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu
diễn các số phức w = (1 + i 3) z + 2 là một đường tròn. Tính bán kính r của
đường tròn đó.
A. r=4
B. r=5
C. r=20
D. r=22
3 + 4i
Bài 3: Điểm biểu diễn số phức z = 2019 có toạ độ là:
i
A. (0;5)
B. (4;-3)
C.(-4;3)
D. (5;0)
Bài 4: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng toạ độ thoả mãn
điều kiện |z - i| = 1 là:
A. Đường thẳng đi qua hai điểm A(1;1) và B(-1;1)
B. Hai điểm A(1;1) và B(-1;1)
C. Đường tròn tâm I(0;1) bán kính R=1

B. m = 8; m = - 8 C. m = 7; m = 9
D. m = 8; m = 9
Bài 8 : Cho điểm A, B, C theo thứ tự là điểm biểu diễn của ba số phức phân biệt
z1, z2 , z3 thoả mãn |z1|=|z2|=|z3|=1 và z1 + z2 + z3= 0. Tính diện tích S tam giác
ABC.
2.3.2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của z
Bài toán 1 : Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 4i = 5 . Giá trị nhỏ nhất
của z là:
A. 3 5
B. 5
C. 5
D. 13
Lời giải: Tập hợp các điểm M là đường tròn có tâm I ( 2; 4 ) và bán kính

R = 5 min z = ON = OI − R = 22 + 4 2 − 5 = 5.
Đáp án đúng là C.
9


Bài toán 2: Nếu các số phức z thỏa mãn ( 1 + i ) z + 1 − 7i = 2 thì z có giá trị
lớn nhất bằng:
A. 4.
B. 3.
C. 7
D. 6.
1 − 7i 

Lời giải: Ta có: ( 1 + i ) z + 1 − 7i = 2 ⇔ ( 1 + i )  z +
÷= 2
1+ i 

Ta tính được IA = IB = 5 > 5 suy ra điểm A, B nằm ngoài đường tròn tâm I.
10


Mặt khác T2 = (MA + MB)2 ≤ (1 + 1)(MA2 + MB2) = 4DM2 + AB2 ≤ 4DK2 + AB2
(Với D là trung điểm đoạn thẳng AB)
Dấu bằng xảy ra khi M ≡ K <=> D, I, K thẳng hàng.
Tìm toạ độ K. Ta có DI = 16 + 4 = 20, DK = DI + R = 20 + 5 = 3 5
uuur uur
uuur DK uur
uuur 3 5 uur 3 uur
DK DI
=
<=> DK =
DI <=> DK =
DI = DI
Suy ra
DK DI
DI
2
20
Với M(a;b) thì a=6 và b=4. Do giá trị lớn nhất của biểu thức T 2 là 4DK2 + AB2
khi và chỉ khi M(4;6). Suy ra P=10. Đáp án đúng là A.
Bài toán 5: ( Trường THPT Lê Quý Đôn - Đống Đa - Hà Nội năm 2018)
Cho số phức z thoả mãn điều kiện | z − 2i |= z + 2 . Tính giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P =| z + 2i | + z − 5 + 9i .
A. 3 10
B. 70
C. 74
D. 4 5


Lời giải: Với z = a + bi ta có | z + 1 − 5i |=| z + 3 − i |<=> a + 3b − 4 = 0 hay
M nằm trên đường thẳng d: x + 3y - 4 = 0.
Số phức z có môđun nhỏ nhất <=> OM có độ dài ngắn nhất, mà OM≥OH (với
H là chân đường vuông góc của gốc toạ độ O trên đường thẳng d) nên OM ngắn
nhất khi M≡ H. Ta đi tìm toạ độ điểm H(a;b), vì H nằm trên đường thẳng d: x +
1
2 6
3y - 4 = 0 hay toạ độ H  ; ÷, suy ra S = . Đáp án đúng là B
3
5 5

Bài toán 7: (Đề thi thử THPTQG của trường đại học Vinh khối chuyên
năm 2018). Cho số phức z1, z2 thoả mãn điều kiện |iz + 2 - i| = 1 và |z1 - z2|=2.
Giá trị lớn nhất của biểu thức P=|z1|+|z2| bằng:
A. 4
D. 3
C. 3 2
B. 2 3
Lời giải: Từ giả thiết ta có | iz − 2 − i |= 1 <=> ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 = 1 và
M1M2 = 2. Với các điểm M1, M2 biểu diễn hai số phức z1,z2 trên mặt phẳng phức
thoả mãn hai hệ thức trên nên M 1, M2 nằm trên đường tròn tâm I (1; 2) bán
kính R = 1 và M1M2 đi qua tâm I của đường tròn. Khi đó P = |z 1|+|z2|=OM1 +
OM2 . Theo công thức đường trung tuyến trong tam giác OM1M2 ta có:

2
OM12 + OM 22 M1M 22
2
2
2 M1M 2

w|max bằng:
A. 20
D. 5 2
B. 2 5
C. 5
Lời giải: Từ giả thiết ta có | iz + 2 − i |= 1 <=> ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = 5 .
Điểm M biểu diễn số phức z trên mặt phẳng nằm trên đường tròn tâm I(1;-2) bán
kính R = 5 .

Khi đó |w| = ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 <=>| w |= MA với A(-1;1). Mà MA≤M1A nên |w|
bằng 2 R = 2 5 khi M≡ M1. Đáp án đúng là B
Bài toán 9: (Toán học tuổi trẻ số 491 năm 2018)
Cho hai số phức z1, z2 đồng thời thoả mãn hai điều kiện | z − 1|= 34 và
| z + 1 + mi |=| z + m + 2i | (m ∈ R ) sao cho |z1 - z2| là lớn nhất. Khi đó giá trị của
|z1 + z2|bằng:
C. 2
D. 10
A. 2
B. 130
Lời giải: Gọi điểm M1, M2 biểu diễn số phức z1,z2 trên mặt phẳng thì |z1 z2| = M1M1, mà theo giả thiết hai số phức z1,z2 đồng thời thoả mãn hai điều kiện
| z − 1|= 34 và | z + 1 + mi |=| z + m + 2i | (m ∈ R ) .
max

13


Nên toạ độ M1, M2 là giao điểm của đường tròn ( x − 1) 2 + y 2 = 34 và đường
thẳng 2 x + 1 + 2my + m 2 = 2 xm + m 2 + 4 y + 4 <=> 2(m − 1) x + (4 − 2m) y + 3 = 0
Vậy |M1M2| lớn nhất khi M1M2 đi qua tâm I(1;0). Hay |z1 + z2|=2OI =2.
Đáp án đúng là C

B. 2
C. 1
D. 2
A. 3
Bài 2: Biết số phức z = a + bi (a,b ∈ R) thoả mãn điều kiện |z-2-4i|=|z-2i| có
môđun nhỏ nhất. Tính M = a2 + b2. .
A. M=10
B. M= 16
C. M= 26
D. M=8
Bài 3: Cho số phức z thay đổi và luôn thoả mãn |z - 3 + 4i| = 4. Tìm giá trị lớn
nhất Pmax của biểu thức P = |z|.
A. Pmax = 12
B. Pmax = 5
C. Pmax = 9
D. Pmax = 3
Phương

trình

14


Bài 4: Cho số phức z thoả mãn điều kiện |z - 2 - 4i| = | z - 2i|. Tìm số phức z có
môđun nhỏ nhất.
A. z=-1+i
B.z= -2+i
C. z = 2+2i
D. z= 3+2i
Bài 5 : Cho số phức z thoả mãn ( z + 3 − i )( z + 1 + 3i ) là một số thực. Tìm giá trị


Năm

Lớp

Trước khi thực hiện đề tài
Số học sinh
Số học sinh
trả lời chính
Sĩ
trả lời
xác trong
số chính xác
30s – 1p

201712T3 48
2018

20

10

Sau khi thực hiện đề tài
Số học sinh
Số học sinh
trả lời chính
trả lời chính
xác trong
xác
30s – 1p

của người khác.

Lê Thị Phương Thảo

16


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa Giải tích cơ bản và Giải tích nâng cao 12
[2]. Huỳnh Văn Minh(2018), giải toán số phức bằng phương pháp toạ độ, Tạp
chí toán học tuổi trẻ.
[3]. Chuyên đề Trắc nghiệm Số Phức của tác giả Đặng Việt Đông.
[4]. Rèn luyện kĩ năng giải bài tập tự luận và trắc nghiệm Giải tích 12 của tác giả
Lương Mậu Dũng – Nhà xuất bản Giáo dục.
[5]. Các bài thi Olympic toán Trung học phổ thông Việt Nam, Nhà xuất bản giáo
dục 2006.

17