I – PHẦN MỞ ĐẦU
Trong chương trình vật lý 10, tĩnh học là một phần rất quan trọng. Nó
giúp học sinh giải quyết các bài toán cân bằng của các vật thể và sự tương
tác giữa chúng. Đối với học sinh giỏi, phần tĩnh học còn quan trọng hơn,
đây là dạng toán thường thấy ở các kì thi lớn nhỏ; từ thi học sinh giỏi tỉnh,
học sinh giỏi quốc gia, Olympic 30 – 4 cho đến các kì thi Olympic khu
vực... Để giải bài toán tĩnh học, thông thường chúng ta sử dụng phương
pháp giải tích. Phương pháp này có thể sử dụng với mọi số lượng lực tác
dụng, lập các điều kiện cân bằng sau đó chiếu lên các trục toạ độ đã chọn.
Ngoài phương pháp giải tích, rất ít học sinh biết được có một phương pháp
nữa đặc biệt hữu hiệu khi chỉ có ít lực tác dụng lên vật rắn, đó là phương
pháp hình học. Trong đề tài này, tôi xin đề cập đến việc sử dụng phương
pháp hình học để giải bài toán cân bằng vật rắn. Tôi hy vọng rằng đây là tài
liệu tham khảo có ích cho các em học sinh. Vì thời gian không nhiều và
trình độ bản thân còn hạn chế, đề tài này chắc khó tránh khỏi thiếu sót, kính
mong quý thầy cô giáo xem xét và góp ý thêm.
II – CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Cân bằng của hệ lực đồng quy
Theo các định luật cơ học, ta biết rằng nếu vật thể bị tác dụng của các
lực bên ngoài cân bằng nhau thì nó có thể đứng yên hoặc chuyển động theo
quán tính. Thí dụ vật có thể chuyển động tịnh tiến thẳng đều.
Từ đây ta có hai kết luận quan trọng:
- Các lực tác dụng lên vật đứng yên cũng như lên vật chuyển động theo
quán tính đều thoả mãn các điều kiện cân bằng của tĩnh học.
- Sự cân bằng của các lực tác dụng lên vật rắn tự do là điều kiện cần,
nhưng chưa đủ đối với sự cân bằng (đứng yên) của bản thân vật thể đó. Do
đó vật thể chỉ đứng yên nếu như trước khi chịu tác dụng của các lực cân
bằng nó đã ở trạng thái đứng yên.
1





Ta cần vẽ riêng rẽ từng vật cân bằng và biểu diễn các lực tác dụng lên
các vật đó.
• Bước 3: Lập các điện kiện cân bằng
Tam giác dựng trên ba lực tác dụng lên vật hoặc từng vật trong hệ phải
khép kín.
• Bước 4: Xác định các đại lượng cần tìm, kiểm tra lời giải và khảo sát
các kết quả thu được.
Giải tam giác đã dựng ta sẽ được các đại lượng cần tìm.
III – PHÂN TÍCH MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH
Bài toán 1: Một thanh kim loại dài AB = 1,5m khối
lượng m = 3kg được giữ nghiêng trên mặt sàn nằm
ngang bằng một sợi dây BC như hình vẽ. Biết BC =
1,5m, đầu dưới A của thanh tựa lên mặt sàn. Hệ số ma
sát giữa thanh và mặt sàn bằng

3
. Góc nghiêng α
2

phải có giá trị bao nhiêu để thanh có thể cân bằng?
Giải

x

Chúng ta hãy so sánh hai cách giải sau:
• Cách 1: Sử dụng phương pháp giải tích:
Áp dụng điều kiện cân bằng tổng quát của vật rắn ta có:
ur ur uuur ur r

2

• Cách 2: Sử dụng phương pháp hình học:
Theo định lý về 3 lực, phản lực của sàn N phải đi qua D (giao điểm 2 giá
của P và T ).
Mặt khác, để thanh cân bằng, N phải nằm trong nón ma sát tgϕ = k tức

là: β ≤ ϕ ; với tgβ =
⇒

AB cos α
cot gα
2
=
AB sin α
2

cot gα
≤ k ⇒ α ≥ 30 0 .
2

• Nhận xét: Rõ ràng trong trường hợp chỉ có 3 lực tác dụng phương
pháp hình học sẽ bài giải ngắn gọn hơn, đơn giản hơn. Chúng ta tiếp
tục so sánh một ví dụ khác.
Bài toán 2: Một thanh đồng chất BC tựa vào tường
thẳng đứng ở góc B nhờ dây AC dài l hợp với tường một
góc α. Cho BC = d. Hỏi hệ số ma sát giữa thanh và tường
phải thoả điều kiện nào để thanh cân bằng?
Giải
• Cách 1: Sử dụng phương pháp giải tích

Ta có: T = 2 sin ( α + β) ⇒ N = 2 sin ( α + β)


và f = mg1 −


cos α. cos β 
2 sin α cos β + cos α sin β
 = mg
.
2 sin ( α + β) 
2 sin ( α + β )

Để có cân bằng thì ma sát phải là ma sát nghỉ: f ≤ kN
⇔ mg

2 sin α cos β + cos α sin β
mg. sin α. sin β
≤k
2 sin ( α + β )
2 sin ( α + β )

⇒ k≥

2 sin α cos β + cos α sin β
2
1
=
+
.

π
2d cos β + cos α
− ϕ ≥ γ . Hay cot gϕ ≥ tgγ ⇒ k ≥
.
2
sin α

• Nhận xét: Đến ví dụ này thì ta thấy rõ được sự đơn giãn và ngắn gọn
của phương pháp hình học với giải tích. Đó là bài toán vật chịu tác
dụng của ba lực, vậy trong trường hợp có 4 lực trở lên liệu áp dụng

5


phương pháp này có hiệu quả hơn không. Ta hãy xét tiếp một ví dụ
khác.
Bài toán 3: Hai quả cầu đồng chất, tâm O 1 và O2 bán kính R1, R2 (R1 >
R2), trọng lượng P1, P2 (P1 > P2) tựa vào nhau ở B và cùng được treo vào
điểm O nhờ hai dây OA1 và OA2. Biết OA1 + R1 = OA2 +R2 = R1 + R2. Tìm
góc nghiêng θ của OA1 với đường thẳng đứng khi cân bằng.
Giải:
• Cách 1: Sử dụng phương pháp giải tích:
Phương trình mômen của quả cầu O1 đối với trục quay
O:

P1 .O1 H1 − N.OH = 0

⇔ P1 ( R 1 + R 2 ) sin θ − N( R 1 + R 2 )
⇒ N=



Vì N = N’, ta nhận được phương trình xác định θ:

(

P1 sin θ = P2 sin 60 0 − θ

)

⇒ P1 sin θ = P2 sin ( 60 0 − θ)
⇒ ( 2P1 + P2 ) sin θ = P2 3 cos θ
⇒ tgθ =

P2 3
.
2P1 + P2

• Cách 2: Sử dụng phương pháp hình học:

6


Ngoại lực tác dụng lên hệ gồm: P1 ; P2 ; T1 ; T2 . T1 và T2 có giá cắt nhau
tại O vậy hợp lực P của P1 và P2 phải đi qua O. Theo quy tắc hợp lực song
P

P

P +P


P2

⇒ tgθ =

P2 3
.
2P1 + P2

• Nhận xét: Vậy ta thấy phương pháp hình học có thể áp dụng được cả
hệ vật được, thậm chí có nhiều hơn ba lực, tuy nhiên bài toán lúc
này không được ngắn gọn và rõ ràng bằng phương pháp giải tích.
Do đó, đối với bài toán có nhiều ngoại lực tác dụng ta nên sử dụng
phương pháp giải tích. Bây giờ tôi xin đưa thêm một số bài tập về
cân bằng vật rắn có thể áp dụng được phương pháp hình học.
Bài 4: Một quả cầu nặng đồng chất được treo bằng dây vào một điểm cố
định trên đường thẳng đứng. Xác định hệ số ma sát giữa tường với quả cầu
sao cho khi cân bằng, điểm nối dây với quả cầu nằm trên đường thẳng đứng
đi qua tâm quả cầu
Giải
Phản lực Q phải qua điểm A, do đó dễ thấy α = 450. Mà để quả
cầu cân bằng Q phải nằm trong nón ma sát tgϕ = k.
⇒ α ≤ ϕ hay tgϕ ≥ tgα = 1 ⇒ k ≥ 1 .

7


Bài toán 5: Vật B có trọng lượng P nằm trong một mặt không nhẵn có
dạng một phần tư cung tròn, vật được giữ cân bằng nhờ lực kéo T đặt vào
dây BAD. Cho hệ số ma sát trượt µ = tgα. Tìm lực kéo T.
Giải

ˆ B sin Q B
ˆ
sin PQ
2 P
2

sin ( α − ϕ)
P
 π + 2α
 .
sin 
− ϕ
 4


Hoàn toàn tương tự khi tính toán T1:
T1 =

sin ( α + ϕ)
P
 π + 2α
 .
sin 
+ ϕ
 4


Vậy lực kéo T được xác định trong khoảng:
sin ( α − ϕ)
sin ( α + ϕ)

HI
1 ⇒ θ 0 = arctg
tgϕ
.
tgθ 0 =
=
=
2k
HD
2a
2tgϕ

Vậy điều kiện cân bằng của thanh sẽ là:
θ ≥ arctg

1
.
2k

Vì điều kiện cân bằng không phụ thuộc vào trị số của Q nên hiện tượng tự
hãm xảy ra.
Bài toán 7: Thanh đồng chất AB = 2l, trọng lượng P,
hai đầu tựa trên nền và tường không nhẵn hệ số ma sát
k. Xác định góc nghiêng α để thang cân bằng?
Giải
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ
Vẽ hai nón ma sát xAy, zBt. Phần giao của 2 nón
ma sát IJMK sẽ chứa giao điểm của 2 phản lực ở
tường và sàn. Vậy điều kiện để AB cân bằng là P
phải qua tứ giác IJMK nghĩa là: x G ≥ x k .

tg β =

CD OE sin α
=
CO
CO

3
OA sin α
3sin α 3
4
=
=
=
CO
4 cos α 4

Vậy:
+ Lực căng dây: T = Ptgβ = ( P1 + P2 ) tgβ = 30 N .
+ Phản lực bản lề: Q = T 2 + P 2 = 50 N .
3
4

+ Q hợp với phương thẳng đứng một góc β = arctg = 37 0 .

10


Bài toán 9: Thanh đồng chất AB, đầu A tựa trên sàn ngang có ma sát,
đầu B được giữ nhờ lực F vuông góc với AB. Thanh AB

2 tgα =

1
⇒ tgα = 0,5
tgα

⇔ α = 35,26 0 ,
và µ có giá trị nhỏ nhất: µ min =

1
2 2

=

2
.
4

IV - KẾT LUẬN
Qua một số bài toán trên ta cũng có thể nhận thấy ưu điểm của phương
pháp hình học khi sử dụng để giải một số bài toán cân bằng vật rắn. Đó là
11


bài giải ngắn gọn rõ ràng, hạn chế được việc giải hệ phương trình (vốn khá
nhiều phương trình và rất dễ nhầm lẫn). Tuy nhiên phương pháp này chỉ
thực sự hiệu quả nếu vật hay hệ vật cân bằng có 3 lực tác dụng. Ngoài ra,
học sinh cần phải nắm kiến thức hình học vững vàng và sử dụng thành thạo
các hàm số lượng giác trong tam giác.
Trên đây là một vấn đề nhỏ mà tôi đã tìm hiểu, rất mong nhận được ý

13