SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH PHÂN HÀM ẨN
CHO HỌC SINH LỚP 12 ÔN THI THPT QUỐC GIA

Người thực hiện: Trần Tuấn Ngọc
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Thiệu Hóa
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2019

1


MỤC LỤC
Nội dung
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài…………………………………………..………...
1.2. Mục đích nghiên cứu. …………………………………...………….
1.3. Đối tượng nghiên cứu……………………………….……..………..
1.4. Phương pháp nghiên cứu………………………………..…..……....
II. NÔI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM………...…..…………....
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm. ……………………..……
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……….
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để
giải quyết vấn đề. …………………………………..…………….….


Trước đây, trong các kì thi từ thi tốt nghiệp THPT đến các kỳ thi Đại học, Cao
đẳng hầu như không xuất hiện các dạng tích phân hàm ẩn, vì vậy sự quan tâm của
giáo viên và học sinh về vấn đề này là không có.
Từ khi Bộ GD&ĐT chuyển hình thức thi môn Toán từ thi tự luận sang thi trắc
nghiệm (ngay năm đầu tiên năm 2017) thì dạng tích phân này đã có trong đề thi đã
xuất hiện không dưới 2 câu đã tạo cho nhiều học sinh (không chuyên) phải ngậm
ngùi sau kì thi.
Từ những lý do trên cộng thêm niềm đam mê khám phá, học hỏi tôi đã quyết
định chọn đề tài này với mục tiêu dẫn dắt học sinh biết vận dụng những kiến thức
cơ bản, kết hợp các phương pháp được tiếp cận từ sách giáo khoa để tạo được một
thói quen mới, một phương pháp mới cho dạng toán Tích phân hàm ẩn .
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Với mục tiêu đã nêu trên, sau khi hoàn thành đề tài này tôi có thể sử dụng đề
tại này, vận dụng kiến thức đã được nghiên cứu, đúc kết và sắp đặt có hệ thống vào
giảng dạy cho học sinh. Ngoài ra có thể chia sẻ với đồng nghiệp để cùng khai thác
nội dung đề tại, truyền thụ được kiến thức đến đông dảo học sinh, nhiều đối tượng
học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài này nghiên cứu, tổng kết về các phương pháp giải bài toán tích phân
hàm ẩn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Trong đề tài này, tôi chủ yếu sử dụng phương pháp thống kê, xử lý số liệu.
Xuất phát từ các phương pháp tính tích phân cơ bản học sinh đã được học
trong sách giáo khoa và các bài toán tích phân được sưu tầm từ đề thi THPT QG
năm 2017 và các để thi thử của các trường THPT, các Sở GD & ĐT trên cả nước tôi
phân chia thành từng dạng để có phương pháp riêng giải cho mỗi dạng, các dạng
được sắp xếp từ dễ đến khó để phụ vụ cho việc giảng dạy với nhiều đối tượng học
sinh
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM


b

f  x  dx .
�
a

Ta còn dùng kí hiệu F  x  a để chỉ hiệu số F  b   F  a  .
b

b

Vậy

f  x  dx  F  x  a  F  b   F  a  .
�
b

a

b

Ta gọi

�là dấu tích phân, a

là cận dưới, b là cận trên, f  x  dx là biểu thức dưới

a


�f  x  �g  x  �
�

4


b

c

b

a

a

c

f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx ,  a  c  b  .
�

Tính chất 3:

1.3 Các phương pháp tính tích phân
1.3.1 Phương pháp đổi biến
b

g  u  x   .u '  x  dx ta thực hiện phép đổi biến như sau:

- Khi đề cho kết quả các tích phân của cùng một hàm số f  x  và yêu cầu tính tích
phân (chỉ khác các tích phân đã cho về cận) của hàm số f  x  thì ta dùng tính chất
3 của tích phân.
Ví dụ 1: Cho

4

4

4

2

2

2

f  x  dx  10 , �
g  x  dx  5 . Tính I  �
3 f  x   5g  x  �
dx .
�
�
�
�

(THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - lần 1 năm học 2017-2018)
5




4

1
�
. Tính tích phân I  �
f
(
x
)d
x

4e 2 x  2 f ( x) �
�
�
�dx .
2
1
0

(THPT Trần Quốc Tuấn năm học 2017-2018)
Lời giải
Ta có
1
4
�
e2 x 4 �
�
I �
4e  2 f ( x) �

f  x  dx �
1
�1
�
8

�1 1 �
 2  e8  1  2.�  � 2e8 .
�2 2 �
2.2 Dùng phương pháp đổi biến
Phương pháp giải:
b

- Khi gặp các tích phân dạng

f  u  x   .u '  x  dx thì ta dùng phương pháp đổi biến:
�
a

đặt t  u  x  .
- Khi đề yêu cầu tính tích phân hàm f  x  biết g  f  x  , f  a  x    h  x  (với
h  x  là hàm số cho trước) ta có thể đổi biến t  a  x .
2

Ví dụ 1: Cho

1

f  x  dx  a . Tính I  �
x. f  x

2

Đổi cận: x  0 � t  1 , x  1 � t  2 .
1

2

2

Khi đó: I  x. f x 2  1 dx  1 f t dt  1 f x dx a .
 
  


�
2�
2�
2
0
1
1
Ví dụ 2: (THPT Tứ Kỳ - Hải Dương năm học 2017-2018) Cho hàm số f  x  liên
tục trên  4;  � và

5

f
�
0





3

3

2

2

f x  4 dx  8 � �
2t. f  t  dt  8 � �
t . f  t  dt  4 .
Khi đó �
0

7


3

��
x. f  x  dx  4
2

2

��
x. f  x  dx  4

�

2 f  x  3 f 1 x  1 x

ta sẽ tính được .
I

Lời giải
Đặt t  1  x � dx  dt . Đổi cận : x  0 � t  1 , x  1 � t  0
Suy ra

1

0

1

1

0

1

0

0

f  1  x  dx   �
f  t  dt  �
f  t  dt  �

f  1  x  dx  �1  xdx
1

1

1

1

2
2
� 5�
f  x  dx  �1  x dx � 5�
f  x  dx  � �
f  x  dx  .
3
15
0
0
0
0
2.3 Dùng phương pháp từng phần

8


Phương pháp giải: Khi đề bài cho

b



2

x. f �
 x  dx .
�
0

2

Nhận xét: Đề cho

f  x  dx  3 và
�
0

2

x. f �
 x  dx theo
�
0

2

f  x  dx
�

2


2

�
f  x  dx  2 f  2   3  2.3  3  3 .
0

9


Ví dụ 2: (THPT chuyên Thái Bình năm học 2017 - 2018) Cho hàm số y  f  x  có
5

đạo hàm liên tục trên đoạn  0;5 , thỏa mãn f  5   10 và �
xf �
 x  dx  30 . Tính
0

5

f  x  dx .
�
0

5

5

Nhận xét: Đề cho �
xf �
 x  dx  30 và yêu cầu tính

Đặt �
dv  f �
v  f  x
 x  dx �
�
�
Ta có
5

xf �
 x  dx  30 �  x. f  x  
�
0

5
0

5

5

0

0

f  x  dx 30
�
f  x  dx  30 � 5 f  5   �

5


bằng cách dùng

c

phương pháp từng phần: đặt u  g  x 
d

d

c

c

và dv  f '  u  x   dx để biến đổi

g  x  . f '  u  x   dx theo �
f  u  x   dx . Sau đó dùng phương pháp đổi biến t  u  x 
�

để biến đổi

d

b

c

a



b

f  u  x   dx
�
a

d

theo

f  t  dt . Sau đó dùng phương
�
c

pháp từng phần: đặt u  g  x  và dv  f '  x  dx để biến đổi

d

g  x  . f '  x  dx
�

theo

c

d

f  x  dx .
�

�
�
�
Đặt �
�x � � �
�x �.
�
d
v

f
d
x
v

2
f
��
��
�
�
�2 �
�2 �
�
�
4

�x �
xf �
dx  2 xf

x
�x �
f��
dx  2�
f  t  dt  2 �
f  x  dx  8 .
Đặt t  � dx  2dt . Khi đó I1  �
2
2
��
0
0
0
Vậy I  128  2 I1  128  16  112 .
Ví dụ 2: (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định 2017-2018) Cho hàm số y  f  x 
có đạo hàm liên tục trên � và thỏa mãn f  2   1 ,

2

f  2 x  4  dx  1 . Tính
�
1

0

xf �
 x  dx .
�

2


- Đặt u  x � du  dx ,
0

Vậy

xf �
 x  dx  xf  x 
�

2

dv  f �
 x  dx � v  f  x  .
0
2

0

�
f  x  dx  2 f  2   2  2.1  2  0 .
2

12


2.5 Tính tích phân hàm số f  x  bằng cách xác định hàm số f  x  dựa vào điều
kiện cho trước
2.5.1 Xác định hàm số f  x  khi biết đẳng thức liên hệ giữa f  x  và
f  u x  

6 f  1 x  9 f  x  3 x
 4
�
�
Lấy (4) trừ (3) vế với vế ta có f  x  
1

Suy ra

1

f  x  dx  � 3
�
5
0

0

1







1
3 x  2 1 x .
5


�
�
3 f   x   2 f  x   tan 2 x
6 f   x   4 f  x   2 tan 2 x  3 
�
�
��
�
2
3
f
x

2
f

x

tan
x
9 f  x   6 f   x   3tan 2 x  4 
 
�  
�
2
Lấy (3) cộng (4) vế với vế ta có f  x   tan x .
π
4

Khi đó

2

.
�
�
�
cos 2 x �
2
π�

4

2.5.2 Xác định hàm số f  x  khi biết đẳng thức liên hệ giữa f  x  và f '  x 
Phương pháp giải: Từ đẳng thức liên hệ giữa f  x  và f '  x  ta có thể biến đổi
theo hai hướng sau:
- Hướng 1: Cô lập f  x  và f '  x  về một vế sau đó lấy nguyên hàm hai vế để tìm
hàm f  x  .
- Hướng 2: Nếu không cô lập được f  x  và f '  x  về một vế thì ta biến đổi
đẳng thức liện hệ f  x  và f '  x  sao cho một vế là đạo hàm có dạng tích,
thương của hàm chứa f  x  , sau đó lấy nguyên hàm hai vế để tìm hàm f  x  .

14


Ví dụ 1: Cho hàm số f  x  liên tục và đồng biến trên  1;4 thỏa mãn f  1  0 và
4

f  x  dx .
x  2 xf  x   �
�f '  x  �


2 f  x 1

 x .

Lời giải
Vì hàm số f  x  liên tục và đồng biến trên  1;4  nên ta có f  x  �f  1  0 ,
x � 1;4 và f '  x  �0 , x � 1;4 .
�
Do đó x  2 xf  x   �
�f '  x  �
�� f '  x   x . 2 f  x   1
2

f ' x 

2 f  x 1

 x

f ' x 

2 x3
��
dx  �x dx � 2 f  x   1 
C.
3
2 f  x 1
2


�
4

15


Ví dụ 2: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  0   1 và f '  x   2 xf  x   2 x.e x , x ��.
2

1

xf  x  dx .
Tính �
0

Nhận xét: Ta không cô lập được f  x  và f '  x  từ đẳng thức
f '  x   2 xf  x   2 x.e x vì vế trái của nó không có thừa số chung. Do đó ta tìm
2

cách giải theo hướng thứ hai:
Ta có f �
 x   2 xf  x   2 x.e x � e x f �
 x   2 xe x f  x   2 x (*), ta thấy vế
2

2

2

.v  u.v�

1

1

0

0

xf  x  dx  �
x  x 2  1 e  x dx  1 
Vậy �
2

2

2

3
.
2e

2.5.3 Xác định hàm số f  x  bằng cách tạo ra hàm số dưới dấu tích phân có
dạng bình phương của tổng (hoặc hiệu) sao cho tích phân đó có kết quả bằng
0 (gọi tắt là tạo bình phương cho hàm dưới dấu tích phân)
Phương pháp giải: Đối với các bài toán này ta thường gặp ba dạng sau:
b

Dạng 1: Cho

b

2

a

như sau:
b

g 2  x  dx
Bước 1: Tính �
a

b

�
Bước 3: Tìm số thực k sao cho �
�f  x   k .g  x  �
�dx  0
2

a

Từ đó suy ra f  x   k .g  x   0 � f  x    k .g  x  .
b

b

( x )  dx  m , �
g  x  f ( x )dx  n (với g  x  cho trước) .Tính
 f�
Dạng 2: Cho �


b

làm xuất hiện

a

g  x f �
( x )dx  p
�

bằng cách

a

�
u  g  x
�
dùng phương pháp từng phần: đặt �
dv  f  x  dx
�
b

g 2  x  dx
Bước 2: Tính �
a

17




thức cho trước) ,

f  x  dx  p và yêu cầu tính tích phân từ a đến b của hàm số có
�
a

chứa f  x  .
Với dạng này ta có thể xác định hàm số f  x  bằng cách tạo bình phương cho
b

�
hàm dưới dấu tích phân dạng �
�f  x   k .g  x   l �
�dx  0 (với
2

a

b

k , l ��). Ta tìm hai số thực k , l sao cho �
�
�f  x   k .g  x   l �
�dx  0 . Từ đó suy
2

a

ra f  x   k .g  x   l  0 � f  x   k .g  x   l .

f  x  dx 
�
2
2

và

0

x
3 nên để tính
sin
.
f
x
d
x



�
2
2
0
1

1

f  x  dx
�

f  x  dx  2 �
k sin
f  x  dx  �
k sin �dx  0
�
2
2 �
�
0
0
0
1

1

1

2

�

9
3
1
 2 k .  k 2 .  0 � k 2  6 k  9  0 � k  3 .
2
2
2
Lời giải
2

0
0
0
1

1

1

2

2

 x�
x
�
f  x   3sin �dx  0 . Suy ra f  x   3sin
hay �
.
�
2
2
�
�
0
1

1

x


1

1
x f ( x)dx  . Tính tích phân �
f ( x )dx .
�
3
0
0
Nhận xét: Đây là bài toán dạng 2 nên ta giải theo các bước đã nêu trên.
Lời giải
2

 x  dx , dv  x 2dx � v 
- Đặt u  f  x  � du  f �

x3
.
3
19


1

1

1 3
1
x3

3
3
3
3
3
0
0
0

1

Ta có

.

 x  dx  17 .
�
3 2

0

1

2

�
- Ta tìm hằng số k sao cho �
( x)  kx3 �
�f �
�dx  0  1


k 7

vào (1) ta có

2

�
( x)  7 x3 �
�
�f �
�dx  0
0

7 x4
� f�
( x)  7 x  0 � f '  x   7 x � f  x   
C .
4
3

3

4
Mà f  1  0 nên C  7 . Do đó f x   7 x  7 .
 
4
4
4
1

1

7
xf ( x)dx  và
Biết �
6
0

1

1

13
3
 f ( x) dx  . Tính tích phân I  �
 f ( x) dx .
�
3
0
0
2

20


1

Nhận xét: Đây là bài toán dạng 3: đề bài cho ba tích phân

 f ( x)


cho hàm số dưới dấu tích phân dạng

 f ( x)  kx  l 
�

2

dx  0

0

1





��
 f ( x)  2kxf ( x)  2lf ( x)  2klx  k 2 x 2  l 2 dx  0
0

2

1

1

1


Để có k thì    3l  7   4  3l  12l  13  �0 � 3  l  1 �0 � l  1
2

2

� k  2 .
Từ đó ta có lời giải:
Lời giải
1

Ta có

 f ( x)  2 x  1
�
0



2

1





dx  �
 f ( x)  4 xf ( x )  2 f ( x)  4 x  4 x 2  1 dx
0


số tương ứng. Chẳng hạn:
Đề cho một đẳng thức thì ta chọn f  x   a , a ��.
Đề cho hai đẳng thức thì ta chọn f  x   ax  b , a, b ��.
2
Đề cho một đẳng thức và hàm chẵn thì ta chọn f  x   ax , a ��.
2
Đề cho hai đẳng thức và hàm chẵn thì ta chọn f  x   ax  b , a, b ��.

Đề cho một đẳng thức và hàm lẻ thì ta chọn f  x   ax , a ��.
3
Đề cho hai đẳng thức và hàm lẻ thì ta chọn f  x   ax  bx , a, b ��.

Ví dụ 1:(THPT Tứ Kỳ - Hải Dương năm học 2017-2018) Cho hàm số f  x  liên tục
trên  4;  � và

5

f
�
0

2



x  4 dx  8 . Tính I  �
x. f  x  dx .
3

5

0



5

x  4 dx  8 � �
adx  8 � ax |50  8 � 5a  8 � a 
0

2

8
5

2

8
8
x. f  x  dx  �xdx  4 .
Suy ra f  x   . Vậy I  �
5
5
3
3

22


Ví dụ 2: (THPT Quảng Xương 1- Thanh Hóa năm 2017-2018)Cho hàm số

0

Lời giải

Chọn f  x   ax  b  a, b �� .
Ta có f  2   3 � 2a  b  3 (1)
2

2

�1

f  x  dx  3 � �
 ax  b  dx  3 � � ax
�
�2
0

0

Từ (1) và (2) ta có a  3, b  3 .
Do đó f  x   3x  3 .
2

2

2

0


để thi thử của các trường THPT, các trường chuyên và các Sở GD & ĐT, các em
cũng đã sẵn sàng cho kì thi cuối cùng này của các em.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận
Trên đây là những kinh nghiệm thực tiễn trong quá trình giảng dạy, tìm tòi và đúc
rút kinh nghiệm của bản thân, với đề tài này tôi hy vọng sẽ giúp các em học sinh tự
tin hơn trong việc giải một bài toán tích phân hàm ẩn .
3.2 Kiến nghị
Với nội dung có hạn của đề tài tôi đã nghiên cứu, tôi xin được kiến nghị đến Sở
GD & ĐT, nhà trường và đồng nghiệp đưa vào ứng dụng và tiếp tục cùng tôi mở
rộng thêm nội dung đề tài này cho rất rất nhiều các nội dung khác của môn Toán
như: Hàm số, Số phức, hình học tổng hợp, hình học tọa độ….Từ đó tạo được niền
đam mê học Toán cho học sinh.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Trần Tuấn Ngọc

24


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1)